Calcolo integrale

Integrali

Integrali indefiniti

Abbiamo certo f → f'.

Problema inverso: calcolare F.

Primitiva (o antiderivata).

Sia data una funzione f: I → R _intervallo, diciamo che F: I → R è una primitiva (o antiderivata) di f se F' è derivabile e F'(x) = f(x) ∀ x ∈ I.

Ex. f(x) = x → F(x) = x²/2.

f(x) = sin 3x → F(x) = -1/3 cos(3x).

f(x) = 1/x² → F(x) = -1/x.

F'(x) = x → F'(x) = f(x) = 1.

G(x) = x + 7 → G'(x) = f(x) = 1.

In generale R(x) = x + cost. R'(x) = f(x).

Se F è una primitiva di f ⇒ F + c è una primitiva di f.

Integrali

Integrali indefiniti

Abbiamo certo f → f'.

Problema inverso: calcolare F.

Primitiva (o antiderivata).

Sia data una funzione f: I → ℝ _intervallo, diciamo che F: I → ℝ è una primitiva (o antiderivata) di f se F' è derivabile e F'(x) = f(x) ∀ x ∈ I.

Es. f(x) = x ⇒ F(x) = 1/2 x².

f(x) = sin3x ⇒ F(x) = -1/3 cos(3x).

f(x) = 1/x² ⇒ F(x) = -1/x.

F(x) = x ⇒ F'(x) = f(x) = 1.

G(x) = x + 7 ⇒ G'(x) = f(x) = 1.

In generale R(x) = x + cost. R'(x) = f(x).

Se F* è una primitiva di f ⇒ F + c è una primitiva di f.

Teorema sulle primitive

Teorema: f:I→R I intervalli.

Se F₁ e F₂ sono primitive di f allora esiste c∈ℝ t.c. F₁(x)=F₂(x)+c ∀x∈I.

Viceversa se F₁ è una primitiva di f e c∈ℝ allora F₂(x)=F₁(x)+c è una primitiva di f.

Dim.

Sono F₁, F₂ due primitive di f.

Provo che F₁(x)−F₂(x) è costante, cioè (F₁(x)−F₂(x))'=0 ⇒ F₁(x)−F₂(x)=f(x)−f(x)=0 ⇒ F₁−F₂=cost.

Integrale indefinito

Sia data f:I₁→R.

L'insieme di tutte le primitive di f si chiama integrale indefinito di f su I e si indica ∫f(x) dx.

La funzione f è detta integranda.

∫f(x) dx= {F(x)+c : F'(x)=f(x) c∈ℝ}.

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/n+1 + c n≠-1.

∫1/x dx = ln|x| + c ⇒ I = ℝ-{0}.

D[ln|x|] = 1/|x| ⋅ D[|x|] = 1/|x| segno(x) = 1/x.

segno(x) = {1 x>0 -1 x<0}.

Metodi di integrazione

Metodi di integrazione.

Derivata di una somma = somma delle derivate.

(c f(x))' = c f'(x).

\(\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx\).

\(\int c f(x) dx = c \int f(x) dx \quad c \in \mathbb{R}\).

Integrazione per parti

Integrazione per parti.

Nel calcolo differenziale abbiamo \(\left( f(x)g(x) \right)' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\).

Vale la relazione \(\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx\).

Dim.

Sia h(x) una primitiva di f'(x)g(x) ossia \(h(x) = \int f'(x)g(x)dx \Rightarrow h(x) = f(x)g(x)\).

Sia \(k(x) = f(x)g(x) - h(x)\).

La tesi diventa: mostrare che k(x) sia una primitiva di f(x)g'(x) = k'(x)= f(x)g'(x).

\(k'(x) = \frac{d}{dx} [f(x)g(x) - h(x)] = [f(x)g(x)]' - h'(x) = f'(x)g(x) + g'(x)f(x) - [f'(x)g(x)] = f(x)g'(x)\).

Es.

\(\int x \cos x dx = x \sin x - \int 1 \cdot \sin x dx = x \sin x + \cos x + c = F(x)\).

\(F(x) = \sin x + x \cos x - \sin x + o = x \cos x\).

∫lnx dx = xlnx - ∫x 1/x dx = xlnx - x + c.

∫e^x-sinx dx = e^x-sinx - ∫e^tcosx dx = e^x-sinx - e^xcosx + ∫e^x-(x-sinx) dx.

∫e^x-sinx dx = e^x(sinx-cosx) - ∫e^xsinx dx.

∫e^xsinx dx = e^x(sinx-cosx)/2 + c.

∫e^x-sinx dx = e^x-sinx - ∫e^xcosx dx = e^x/sinx - e^x/sinx + ∫e^xsinx dx.

Tautologia.

Integrazione per sostituzione

Integrazione per sostituzione.

Sia G una primitiva di f in I cioè G'(x)=F(x) ∀ t ∈ I.

Sia t=φ(x) dove φ(x) è definita in [a₁,b₁] tale che φ([a₁,b₁])⊆I.

Dunque G(t) è una primitiva di f(x) ↔ G(φ(x)) è una primitiva di f(φ(x)) φ'(x).

∫G(t) dt = ∫f(φ(x)) φ'(x) dx t = φ(x) dt = φ'(x) dx.

Ex. ∫ ₁ ln x / x dx     φ(x) = ln x = t     φ'(x) = 1 / x    ∫ t ⋅ dt = 1/2 t² + c = 1/2 (ln x)² + c.