Insiemi numerici, numeri complessi

Insiemi numerici

Naturali

Naturali vita quindi li pastore concetto intuitivo: sono un amo e posso usare; ha, conta quante pecore. Derivano anche le operazioni: mi diventano mio 2, regala mie amico le +2 pecore pecore un un; avrò regalo amico 5 mio -5 ne al nne. Naturali rimangono: ho numeri 5, si regalo ai 5 così aggiunge 0, lo nene ne 0 me →. Fratelli 3, moltiplicazione ha 2, 3×2 = 6 pecore: ognuno.

Per indicare insieme dei numeri naturali si usa IN. {{ }} IN 2,3 dal dipende 1 3 incluso lo IN sia = libro 0 oppure 0 1,2 se: = .., .. . .,, ,, naturali.

Interi relativi

{Interi relativi{relativi negativi} IN } interi +0 interi U U s -2 = o = + = - -, .., indica Z insieme si Questo con. Intuitivo: può dare debito in 5, 1 devo 6 essere sono ne pecore.

Relativi trattano gli di libri interi alcuni. Il approccio intuitivo anche si, prof questo accontenta se, più pignolo modo in. Ha tra figli pastore lo dividerle? 2 che Un deve: i un 2 e pecore muore =, qui numeri nazionali arrivano i.

Razionali relativi

Da (Razionali relativi) indica ☒ si con: "denominatore equivalenti identificando frazioni numeri I nazionali tra le quelle loro con sono", "nullo non". §f- equivalenti razionale} lo che stesso devo sono ↳ sapere numero e sono, frazioni denominatore nazionali numeri di equivalenza qui i.

Da classi non sono contra nullo. Di equivalenti classi equivalenza semplicemente i numeri uguali: sono.

Proprietà dell'insieme ☒

Proprietà dell'insieme ☒ (definite operazioni di indicata In) indicate le (prodotto con somma con sono + • e, seguenti proprietà le: commutativa fab ☒ bta bA1 Ea a + p = →, , .

(b) associativa bta2 c+A a+ C+ = p →. ] che $fatale"" 3 neutro +0 E indicato alla a rispetto elemento aa o con somma =, ☒ di indicato tale che razionale ah c- ! opposto a 3 detto aa con un _, , , (a) 0 a + = - c' è ↳ di differenza livello è formale la ma numero una un somma sempre non a, negativo perché negativo dell' di deriva (opposto opposto concettualmente altro e un un, positivo) di da opposto un un.

Commutativa b.b MiM pa. a =. G. associativa b) b-MZ a. pc e. =. Unità " " al tac ☒ indicato 1] tale prodotto 3 che neutro detto M rispetto elemento 1 con aa. =, ,,} ☒ !{ ]E ☒ fa rispetto (" di)" di ma elemento detto opposto reciproco al prodotto ai O un o^ tale che 1a- = a. bb) ☒ bVaD (Ec.a C. a CC ++ = , ,, ① ③.

"Qualsiasi" operazioni def proprietà insieme è 2 detto campo: con con e, . ☒ di Quindi è esempio campo un. Insiemi Z campi Gli IN invece sono e non. Il insiemi detti altri campi "che è proprietà che concetto algebra ci le" in stesse sono con sono.

Legge di annullamento del prodotto

Legge di annullamento di prodotto del ☒ dei fattori fattori. In è b il allora bio 0) nullo prodotto due ⇐ a tra se o Va.i uno == →, nulli entrambi sono o.

Dimostrazione "" l') Dimostriamo sinistra (implicazione prima ⇐ a r Supponiamo ci fornirà D = elenco O un dimostrazioni (1+0) delle 1a.a.a a aaa.1 0-0 += =+ = =[ ][ ] [[ ]33 ] da A MM ☐ sapere. Sommiamo probabilmente membri entrambi Questa ia: a_ dovremo non saperla.

a)( (a)a. 0 aa + i+ + = -_ ][ Ah0 a 0+ O =. ][ quindi Per 3A a. -0o + a 0=0o a-= bb Dunque 0a.0: se == analogamente ba. 0-0 segue se a =, "Dimostriamo" implicazione destra)(ora verso b Supponiamo a. ao -1-0 con = ^ )a- ( [ ] moltiplicando esiste Allora MA per ,, ^ ^ a- a-b b1a. > o ⇐ O == .. . segnato ) "" di dimostrazione la ⇐ o per = b analogamente se a--1-0 0,.

Ordinamento in ☒

?⃝ ☒ in Ordinamento " " È " " definito ordinamento indicato E che tale con un: ( ) "ordinamento totale totale" ☒ 0 fa bbb fa01 E ai vale v → =. , , dell'b che e-io prenda E vale comunque a altro uno 0,) ad (esempio riflessività numeri complessi sarà "☒" ci fa Ya ae coi non 02: l'ordinamento totale b ☒ Va E03,.

" )"(antisovietica (bfb a) E^ ba a- ☒ E04 b Coe ,,. (b transitività c) )(fEbas an co operazioni compatibilità le con b btc ☒ C1 a E< ca + tec somma e conc.. (b b) 3070 a.a C2 70^. ⑥ ②.

" " ordinato Def anche le proprietà Un campo è detto campo e con .. ☒ ordinato è Dunque campo un. Di Regole S semplificazione proprietà di delle altre campo conseguenza sono una → ordinato btc fb SI E a > ⇐ atc bene 52 -1-0 ba < a.: a. c se = Eoib b53 Ea. > a ⇐ 0 > c C se: bE< a.ab: < > c0 se e.

Potenze di numeri nazionali

A di numeri nazionali Potenze noi ad significa che imporre siamo: = ☒ Z E sia 'sia K E q uguaglianza uguaglianza e per,, definizione È "K se si 1 9 > pone qq q: =.= . . .. .. U s-- modo scrivere altro per q volte K moltiplicato volte K { } [K E se Z 0 E q^ mie con -- e = , f- KK ^^ > → -K( ) -qk y si pone corrisponde il reciproco fare: a = l' considerare esponente e 9° positivo E- 1 se 91 = 0: o e = N B. . 0° definisce si Non. " '(5)(f) § § es E-==.

Principio di induzione

D' Principio induzione (l'(sia) affermazione un' intero coinvolge intero) che negativo P no le no non n >. Cade P La tessera ( ) sia vera no = no. Ogni l' (P) che tessera PG implicazione cade fa vera) la cadere valga nti vera =. , successiva è Allora PCU) the no vera 7. ↳ conclusione tessere domino le tutte del cadono: intuitivo.

Altri consideriamo invece considerano lo dimostriamo lo risultato non lo come un., teorema dimostrano lo ovvero., domino Penso successiva della al caduta la ognuna causa., ' è cade la affermazione tessera e vera = DDRi ._ti\. tessere domino del.

Proposizione e dimostrazione per induzione

☒ Proposizione siano Eqs 92 0: Qn con q > >, ., "" Allora vale 92 91 tu 1 >>. Induzione Dimostrazione per "" "" (P è) > qa qn, "gi( PG )P) è 1 considero no no q > = =, ai QÌ è che perché = vero eqr 91 = Utri att cioè (supponiamo (che P) P 91 sia 1) cerchiamo dedurne 92 di > vera n n+ e.

Utti """"" q qui q92 91.9292 > > 92, , =.= . ][ 53 [ )53 epcu) un "" )( estremi dunque gli > q92, Pluta)(Abbiamo P) dive n "che da induzione moltiplichiamo Provata sappiamo q qz per qui > per, , (PG entrambi membri è) ) i71 tu vero " " Pcu) > q → q., [" ]" 53 moltiplico 91 per q91 = 92 > q → ,..

Esercizio

? {che tu Esercizio mostrare } IN2 En \ 3 > '2° ( ) P 17070 vera o PG ') ' 271 > vera 12 '223(2) 434p vera 2 "( ) {' 'N'P } è 2 tuu > 3 En " ?4 PG) 2 16716 è è che 34 no vera ovvero =,.

(Supponiamo) P (di) P cerchiamo sia dedurne vera n Utri e" n' (P) è è 2 > vera n '^"+ ( )() P Deduco nti72 ovvero uni, "" 47' n' ? n' '" a lui 2 tu 1 li 2 72 = u = +. .= '( ] Zut 1}P li s, soluzioni Due: ' '' 2)(1) )(Q è) antine u > 7 n Utri' n' Tutti 3 +zu 1639? (4) è Q è vera zu 170u -- è zu 1--0-- "^ +F- fetidire Q è ± )[E^ Devo vera ± ia = < ? Fi )2 (( ^3 lett lett )^ +- ItfFa concordanza E V ✗ 71- ✗ s ' n' 2 Tutt (1) tutt = ut ++ = 2,4 - - uguali uts " 2 è è (1) 22 72 7 2ut2 = >. È che gli vero u per quindi consideriamo bene ziltrz 4 < 4 le > ovvero le per va →.

Radici nazionali e irrazionali

Radici nazionali gli di positivi irrazionali derivano cui numeri da → ④}{Dato 1Nke p p ° e' > ^o e (qk la radice tale è che ☒ di aritmetica esima esiste K E = p9 quel) se p- ,, .% FP indica Se si si a- Tale scrive valore sottintende K si 2 con eq. , . F È 327T } = 3 = 3 K Ero è 27 27 quel ep numero q q: ==.

Trova Problema questo si: numero sempre non % { } MiK esiste primo E intero p numero non o, FsFÀ E$Es,. , E entrambi ☒ se primi f-esistesse E fra essere loro q non: possono q = → = pari altrimenti sarebbero non, ¥' '' primi loro tra deve zu2 > ⇐ q essere = = m uno = _ il dispari eluizà di può è è quadrato pari pari esserlo se allora ma unu non, ,.

?' 4 dispari è multiplo se multiplo è tu di è ne ne pari allora non numero ↳ ma, , lui' dispari è dispari è dispari se ne pari u ma e ne sono ,, $ 92 = 2 In ogni ☒ si E trova quindi assurdo 9 caso: un, ☒ ☒ E.

Risvolto geometrico

In Risvolto geometrico Ad ogni razionale corrisponde retta punto numero un sulla || i|. 2 30 1': lUso. Per compasso un n; '1^+1 'E I( e esistente trovare non =, , E^ '1a) in sulla o e retta 2 =. Fae = Ogni ad nazionale corrisponde sulla retta punto ma numero un, B tutti punti i N numeri della nazionali retta sono non -. . esiste ☒ E non q ☒ E Dobbiamo ampliare 9 periodo dare solo con non a senso per e . . . .

Idea intuitiva dei reali

Idea intuitiva (☒) può forma finiti in ogni periodici decimali si decimale E rappresentare oq ¥% f- 0,531 = 0% 3333 0,01 0,5 0,1 = === =. __, "Possiamo" irrazionali nuovi i allora che dati numeri da infinite decimali siano numeri con pensare la periodici dopo virgola cifre non,.

L' IR detto numeri dei unione è irrazionali nazionali numeri indica insieme si degli reali dei con e .