Insiemi e funzioni

Gli insiemi

Insiemi particolari

A = {x ∈ Z | x = 2m, m ∈ Z}

Legenda simboli
∅ = Vuoto, privo di descrizione
N = Insieme numeri naturali incluso 0
N⁺ = Insieme numeri naturali escluso 0
Z = Insieme numeri interi
Q = Insieme numeri razionali
R = Insieme numeri reali

Insieme vuoto
∅ = Insieme comune con nessuna descrizione o elementi detti anche elementi non definiti.

Sottoinsieme
P = Un elemento sotto Q con stato generico.

Proprietà

• P ∧ Q = Congiunzione
• P ∨ Q = Disgiunzione
• ¬P = Negazione
• P ⊂ Q = Implicazione a livello di insiemi
• P ≡ Q = Equivalenza a livello di definizione

Quantificatori universali

• ∀ = Per ogni
• ∃ = Esiste
• ∄ = Non esiste

Definizione sottoinsieme
A ⊆ B vuol dire che (∀x(x ∈ A → x ∈ B))

Es. {x ∈ N | x²}

Ripasso funzioni

f : X → Y
definizione f = {(x,y) : x ∈ Y : φ f(x)}

Univocità
∀ x₁, x₂ ∈ Y . (y(x₁) = x₁ .x₁ = x₂)

Proprietà

• f_s f inversa ⇒ f. funzione
• g. f inversa ⇒ φ iniettiva
• g. o. φ inversa ⇒ g funzione .e. f inversa
• g. f. relazione ⇒ g inversa e f inversa
• f. relazione ⇒ g. φ inversa e g inversa.

f : X → Y applicazione
a) g. inversa e b.x,y,x : g. o. f inversa. inversa di φ
b) g. e θ inversa e b.x,y,x : g. o. f inversa. inversa di φ

Osservazione

Se g. inversa. funzione e inverse o uguale.
g. inversa → X (corrispondente R,e e numero di y)
esperimento replicate y = φ(y) numero inversa e muore
φ : X → Y applicazione
{x : y} = {(a,c), (b,c)} y = c

g) y = X replicato da 1 y=₀ u = Xy b) Y → X
φ(a) = 1, φ(b) = 1, φ(c) = 1, φ(d) = 3

φ: Y → X
y₁ R₁ X → y
y₁ φ(c₁) = c₁, y₂ φ(c₂) = c₂, ... y_n φ(c_n), ...
y₁ = d₁; y_n = d_n ≠ y, ∀ n y_n φ(a_n), a_n ≠ a

Teorema

φ: X → Y e suriettivo
Allora φ inverso ha un'unità a sxa → φ inverso a f^-1 = R inverso a sx
∀ x ∈ X, x f^-1, R^-1 c, φ inverso
Risulta verso sx è una relazione
f^-1 = è una relazione
Suriettivo con unità tale che φ
Relazione → Contro X e Y
Contiamo X e φ -> Y
g(y) = x con g(y) = h(x, y e φ(x) = y
x φ y ⇔ ∃ y ⇐ x -> φ(x) = φ con x g(y)
∀ x ⇔ y → φ ⇔ y e φ inverso e φ subunità ed invertibile
∀ (x ∈ X) (x, g(x)) (g inverso) ∀ x ⇔ g(x)
y = φ(e) e φ(a) e φ(fn) ⇐ x(f^-1 a) e x^sub−1 φ inverso

Teorema

f: X → Y e suriettivo
Allora φ inverso con divisione esatta e φ_n.
Se dom coincide ed è invertibile allora omet
Se f (a, b, c), f divide ed ordina non vzor. 1 e φ a φ b a s

Teorema

R (X→Y) omorfo φ e φ inverso una compatibile
Dimg = φ e invertibile ⇒ φ es
φ e invertibile allora f^-1 Surrettiva per il diagramma commutativo o inverso
g inverso a (x) su x connesione e φ(x) = gy inverso con surietti e φ(g(x)) f = x g(y)

Prodotto cartesiano di funzioni

f: X → Y e g: Z → W
f × g : X × Z → Y × W
(f ⊗ g) ((x₁, z), f(x₁), g(z¹)) (y = w)
x × t = x