Simmetria delle figure: un'introduzione significativa alla matematica

Insegnare la simmetria

Renato Betti

Politecnico di Milano

Sunto: La simmetria delle figure piane viene usata per introdurre in modo significativo molte nozioni di interesse matematico.

Parole chiave: simmetria, isometria, rotazione, traslazione, riflessione, glissoriflessione, strutture algebriche, gruppo. 1

La simmetria è legata alla bellezza delle figure

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La vera bellezza è una deliberata, parziale rottura di simmetria (proverbio Zen)

Saqqara, 25 secolo a.C. 3

Variazioni sul tema del sole

Periodo neolitico 4 2

I teoremi di Talete

• Ogni diametro divide il cerchio in parti di uguale area
• Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali
• Angoli opposti al vertice sono uguali
• Angoli inscritti in una semicirconferenza sono uguali

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I solidi platonici

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Il problema matematico della simmetria

Discutere: cercare un linguaggio che permetta di esprimere gli elementi fondamentali della simmetria e le loro relazioni

....NONONONO.... r2

....↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑.... r2mg 7

Riconoscere

Riconoscere: essere in grado di confrontare due modelli

....↑↓↑↓↑↓↑↓↑↓↑.... 8 4

Classificare

Classificare: determinare tutti i possibili modelli di simmetria e i criteri che permettono la loro organizzazione

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“Quanta” simmetria ha una figura?

{id , ρ , σ , σ } {id , ρ , ρ , ρ }

π 1 2 π/2 π 3π/2

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Per ottenere una “misura” della simmetria non è sufficiente contare il numero di isometrie che portano la figura in sé.

Bisogna anche tener conto di come si compongono e della loro “parità”.

I numeri misurano dimensioni, i gruppi misurano la simmetria. 11

Classificazione delle isometrie piane

Teorema: le uniche isometrie piane sono traslazioni, rotazioni, riflessioni e glissoriflessioni. Le traslazioni e le rotazioni non alterano l’orientazione delle figure (sono pari, o destrorse), le riflessioni e le glissoriflessioni sono isometrie dispari, o sinistrorse. 12 6

Identità:

Traslazione: ..……

Rotazione:

Riflessione:

Glissoriflessione:

……… ……..

…….. ………. 13

Isometrie destrorse: :

Isometrie sinistrorse 14 7

Il principio del caleidoscopio

Ogni gruppo di isometrie piane è il gruppo di simmetria di una figura 15