Giornata di Studio Analisi Non Standard 1 (ebook)

Giornata di studio

Analisi non standard

Nelle scuole superiori

Atti del convegno

Relatori

Giorgio Goldoni, ITIS Leonardo da Vinci, Carpi

Paolo Bonavoglia, Liceo Classico "M. Foscarini", Venezia

Pietro Cacciatore, Liceo Classico "Tito Livio", Padova

Christian Bonfanti, Liceo Scientifico "R. Steiner", Milano

La giornata si è svolta nella sala del Drago

presso il Convitto Nazionale “Marco Foscarini” di Venezia

il giorno 20-11-2011.

Impaginazione a cura di Paolo Bonavoglia

Venezia aprile 2012

© Matematicamente.it

ISBN 9788896354285

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Universal Book – via Botticelli, 22 – 87036 Rende (CS)

Analisi non standard nelle scuole superiori 3

Indice generale

Presentazione..........................................................5

1961-2011 la NSA compie 50 anni....................................6

20 anni di calcolo infinitesimale

G G ......................................................7

Di Giorgio Goldoni

Il ritorno dell'infinitesimo

P B ....................................................31

Di Paolo Bonavoglia

Infinitesimi: dalla contraddittorietà all'esistenza

P C ....................................................51

Di Pietro Cacciatore

Un esempio di sperimentazione di NSA in un liceo scientifico:

limiti e opportunità

C B ...................................................63

Di Christian Bonfanti

4 Giornata di studio

Analisi non standard nelle scuole superiori 5

Presentazione

L'insegnamento dell'analisi nei licei, come del resto all'Università,

ricalca quasi sempre la sequenza limiti-derivate-integrali, dove i limiti

sono definiti alla maniera di Weierstrass, cosa che comporta notevoli

difficoltà di comprensione iniziale e un appesantimento tale da

sacrificare gli altri due argomenti in particolare l'ultimo (gli integrali).

Un po' come un pranzo con un antipasto tanto pesante da far passare

in secondo piano i piatti principali.

In realtà dal 1961 esiste un diverso approccio all'analisi che

recupera in modo logicamente rigoroso gli infinitesimi di Leibniz. Si

tratta della Non-Standard Analysis (NSA) di Abraham Robinson.

La NSA ha molti aspetti interessanti, uno di questi è appunto la

possibilità di affrontare in modo radicalmente diverso l'insegnamento

dell'analisi nelle scuole superiori, introducendo derivate e integrali

prima dei limiti, e non necessariamente all'ultimo anno.

Questa giornata di studio, nata nell'ambito della lista Cabrinews,

su proposta del prof. Tito Pellegrino, ha messo a confronto quattro

esperienze di insegnamento dell'analisi nelle scuole superiori che

seguono in maggiore o minore misura l'approccio NSA.

La giornata si è svolta negli spazi messi a disposizione dal Convitto

Nazionale “Marco Foscarini” di Venezia ed è stata inaugurata dal

Rettore prof. Rocco Fiano.

Erano presenti più di quaranta docenti di matematica, tra i quali il

prof. Ruggero Ferro dell'Università di Verona, traduttore del libro di

Keisler e pioniere della NSA in Italia, che è anche intervenuto nel

pomeriggio sul modo di introdurre numeri reali ed iperreali nella

scuola.

Per l'organizzazione e la buona riuscita del convegno è stato

determinante l'aiuto fornito da quattro studenti del liceo, ai quali va

un doveroso ringraziamento: Marco Ciotola (2C), Gianni De Michelis

(2CE), Alvise Dolcetta (1B), Marco Voltolina (2AE) e Giacomo

Zamprogno (1B).

6 Giornata di studio

1961-2011: la NSA compie 50 anni

Fu infatti nel 1961 che Abraham Robinson pubblicò il suo

primo articolo sull'Analisi Non standard; nell'autunno del 1960

aveva avuto per la prima volta l'idea di rifondare l'Analisi

matematica sui numeri infinitamente piccoli (infinitesimi) e su

quelli infinitamente grandi (infiniti) come era ai suoi inizi con

Leibniz, Bernoulli, Eulero, mentre è del 1965 il classico Non-

standard Analysis.

Analisi non standard nelle scuole superiori 7

20 anni di calcolo infinitesimale

Di Giorgio Goldoni

Ho iniziato a insegnare l'Analisi non standard, che preferisco

chiamare col vecchio nome di calcolo infinitesimale, nell'anno

scolastico 1992/1993, nel corso di informatica dell'Istituto Tecnico

Industriale "Leonardo da Vinci" di Carpi (MO), dove insegnavo già da

diversi anni e dove ancora oggi insegno. Nel primo anno ho introdotto

in modo molto immediato e informale gli infinitesimi e gli infiniti,

concentrandomi principalmente sul loro uso nel concetto di derivata e

di integrale. Ben presto però, nello svolgimento delle parti più

avanzate del programma, ho avvertito la necessità di premettere una

trattazione più ampia e più chiara dei numeri iperreali. Questo mio

intervento vuole essere una testimonianza di come i numeri iperreali

possano essere introdotti in modo molto intuitivo nella scuola

superiore facendo uso di strumenti ottici ideali ispirati ai microscopi e

ai telescopi di Keisler.

Come introdurre i numeri iperreali?

La costruzione dei numeri iperreali a partire dai numeri reali è

certamente improponibile nella scuola superiore e, in particolare, in

un istituto tecnico industriale, dove la matematica ha un aspetto

prevalentemente applicativo. Del resto, ormai, nemmeno nei corsi

universitari di Analisi standard si affronta in dettaglio la costruzione

dei numeri reali a partire dai razionali, ma si introducono i reali in

modo assiomatico, che è come dire che ci si appoggia, di fatto,

all'intuizione che lo studente già possiede delle loro proprietà. La

trattazione assiomatica ha il pregio di fornire immediatamente

l'operatività, ma nasconde un grave pericolo per lo studente. Infatti,

l'assiomatizzazione è di solito la sintesi finale di una vasta esperienza

precedente, che lo studente non possiede e la cui mancata

8 Giornata di studio

conoscenza rischia di impedirgli di formarsi un'immagine intuitiva

dello strumento che sta usando, col rischio di sentirsi

definitivamente estraneo all'argomento. Ho così optato sì per un

approccio assiomatico, ma opportunamente annacquato e

accompagnato da una visualizzazione che renda il più possibile ovvi

gli enunciati degli assiomi, riempiendoli di significato come si fa per

la geometria.

Da dove partire?

Nella mia esperienza, la cosa migliore si è rivelata partire da

qualche problema in cui si veda la potenza dell'uso degli infinitesimi

e degli infiniti; qualche problema non banale da risolvere per altra

via dove, con gli infinitesimi e gli infiniti, in quattro righe si arriva al

risultato giusto. In modo informale, ovviamente. Questo per

motivare lo studente a intraprendere una strada che subito lo

colpisce per la spettacolarità del modo di ragionare e per la rapidità

con cui si arriva al risultato.

Ma, riguardo all'introduzione assiomatica dei numeri iperreali, da

dove partire? Come prima cosa, cerco di far capire ai ragazzi come

mai nei numeri reali non ci sia posto né per gli infinitesimi (non

nulli, perché lo zero c'è!) né per gli infiniti. In una carrellata di

problemi introduttivi si è fatto uso di quantità infinitesime o infinite

per fare un certo calcolo, ma non ci sono numeri reali infinitesimi né

infiniti. Perché? A questo punto invito gli studenti ad analizzare il

processo di misura di una grandezza, processo che ha costituito di

solito per loro il primo approccio ai numeri reali. Per misurare un

segmento, ad esempio, si guarda quante volte ci sta l'unità di

misura, poi si passa ai decimi, ai centesimi, ecc. Si tratta di un

procedimento che è legato all'uso particolare della base dieci, ma

che, di fatto, è del tutto generale. Invitando i ragazzi ad analizzare

quali proprietà dei segmenti siano coinvolte in questo processo,

emerge immediatamente l'accettazione dell'assioma che un

segmento possa essere sempre diviso in un numero arbitrario di parti

uguali. Quasi mai, però, gli studenti sono consapevoli del fatto che

persino il primo passo del processo di misura implichi l'accettazione

Analisi non standard nelle scuole superiori 9

di una proprietà dei segmenti di solito taciuta nella scuola

dell'obbligo, e cioè che riportando successivamente l'unità di misura si

possa superare, prima o poi, qualsiasi segmento. Il primo passo,

quello che consiste nel trovare la parte intera del numero che

esprime la misura del segmento dato rispetto all'unità, presuppone

dunque che l'unità di misura, riportata un numero sufficiente di volte,

finisca per superare il segmento dato. Quindi, il fatto teorico che

impedisce l'esistenza dei numeri infinitesimi e infiniti è quello che di

solito viene chiamato assioma di Eudosso o di Archimede: dati due

segmenti diversi, esiste sempre un multiplo del minore che supera il

maggiore. Per inciso, la tacita accettazione di questo assioma è resa

oggi ancor più difficile da riconoscere perché siamo abituati a

misurare ogni ordine di lunghezze e l'assioma di Eudosso/Archimede è

finito col diventare un pregiudizio. Gli astronomi oggi misurano le

distanze delle stelle e delle galassie ma, nell'antichità, c'erano seri

dubbi persino sul fatto che si potesse misurare la distanza Terra-Luna.

E il dubbio non era dovuto a difficoltà tecniche, ma riguardava

l'esistenza stessa di un multiplo dell'unità di misura in grado di

superare quella distanza. Archimede, nell'Arenario, ci dice che "molti

affermano essere infiniti i granelli di sabbia della spiaggia di

Siracusa". Oggi, al contrario, abbiamo il pregiudizio, fin da piccoli,

che si possa misurare ogni distanza. C'è un'altra versione, del tutto

equivalente alla prima, dell'assioma di Eudosso/Archimede: dati due

segmenti diversi esiste sempre un sottomultiplo del maggiore che è

più piccolo del minore. Si tratta di enunciati equivalenti dal punto di

vista logico, ma differenti dal punto di vista psicologico: il primo aiuta

in modo più netto l'intuizione ad arrivare alla conclusione che non

esistono segmenti infiniti, mentre il secondo che non esistono

segmenti infinitesimi. Per quanto sia grande un segmento, c'è un

multiplo dell'unità di misura che lo supera, quindi non c'è posto per

segmenti infiniti. Per quanto sia piccolo un segmento, c'è un

sottomultiplo dell'unità di misura che diventa più piccolo di quello,

quindi non esistono segmenti infinitesimi. Per poter introdurre

segmenti infiniti o infinitesimi dobbiamo allora partire dall'ammettere

l'esistenza di coppie di segmenti tali che nessun multiplo del minore

superi il maggiore o che nessun sottomultiplo del maggiore sia più

piccolo del minore. Dal punto di vista dell'intuizione, significa

accettare che un essere immortale che cammini a velocità costante

10 Giornata di studio

con passi uguali al segmento minore non possa mai raggiungere la

fine del segmento maggiore.

Infinitesimi e infiniti e loro visualizzazione

Ho dedicato i primi anni a sviluppare un approccio visivo molto

efficace agli infinitesimi e agli infiniti. Questo non per evitare una

trattazione algebrica, che svolgo in parallelo a quella visiva, ma per

fare in modo che gli studenti posseggano una forte intuizione degli

iperreali e dei risultati delle operazioni coi vari tipi di iperreali.

Conformandomi all'uso, chiamo numeri standard i numeri reali e

segmenti standard i segmenti la cui misura rispetto a un'unità

prefissata è esprimibile mediante un numero reale. Nella

rappresentazione visiva, chiamo poi scala ordinaria la scala della

retta in cui i punti corrispondenti ai numeri 0 e 1 sono ben visibili e

nettamente separati fra loro. Non si tratta di una scala ben precisa:

nel campo visivo rappresentato dal foglio o dalla lavagna devo poter

vedere lo zero e l'uno ben separati fra loro.

Faccio poi uso di alcuni strumenti ottici immaginari. Il primo è il

microscopio standard a n ingrandimenti. Lo posso puntare su un

numero x qualsiasi della retta nella scala ordinaria (ma anche in

qualsiasi altra scala) e vedo una porzione di retta centrata in x e

ingrandita di n volte.

Un secondo strumento è il telescopio standard, che ci mostra una

parte lontana di retta nella stessa scala della retta vicina, qualsiasi

Analisi non standard nelle scuole superiori 11

sia la sua scala. Per esempio, il numero x è fuori del campo visivo (c'è

il cartello "a destra"). Allora punto il telescopio su x e vedo una

porzione di retta centrata in x, nella stessa scala della parte di retta

che rientra nel campo visivo.

12 Giornata di studio

Introduco infine un terzo strumento: lo zoom all'indietro, che

chiamo semplicemente zoom standard. Lo zoom standard ci mostra

una porzione di retta rimpicciolita di n volte rispetto alla scala

iniziale e si punta tipicamente nell'origine.

Gli strumenti ottici appena introdotti possono essere combinati

tra loro, nel senso che ciascuno strumento può essere applicato al

campo visivo di un altro. Ad esempio, posso puntare un microscopio

nel campo visivo di un telescopio. Dico ai miei ragazzi che un

telescopio standard puntato su Marte ci mostrerebbe i marziani

come se fossero davanti a noi e puntando un microscopio

nell'immagine del telescopio potremmo osservare i pori della pelle

marziana! È importante osservare che tutto quello che possiamo

descrivere con gli strumenti ottici ha un esatto corrispondente

algebrico e che la scelta dell'approccio visivo ha lo scopo di fissare in

profondità nello studente le proprietà dei numeri iperreali.

A questo punto passo a definire i segmenti e i numeri infiniti e

infinitesimi. Che cos'è un segmento infinitesimo? Un segmento

Analisi non standard nelle scuole superiori 13

infinitesimo è un segmento tale che nessun suo multiplo superi l'unità.

Ma se nessun suo multiplo supera l'unità, allora non può superare

nessun altro segmento standard; infatti, se un multiplo del segmento

dato superasse un qualsiasi segmento standard, poiché esiste un

multiplo di quel segmento standard che supera l'unità, allora

avremmo che un multiplo del segmento dato supererebbe l'unità.

Dunque, un segmento infinitesimo è un segmento che è minore di ogni

segmento standard (non nullo). Analogamente, un numero

infinitesimo è un numero in valore assoluto minore di ogni numero

standard positivo. Come visualizziamo i numeri infinitesimi?

ε

Consideriamo un numero infinitesimo (positivo). Cosa significa

ε

affermare che è infinitesimo? Significa che, per tutti gli n (e uso

nel disegno i quantificatori), se punto nello zero un microscopio

standard a n ingrandimenti, lo vedo sempre sovrapposto allo zero. Per

ε

separare dallo zero occorre un nuovo strumento: un microscopio

non standard a infiniti ingrandimenti (che disegno allo stesso modo

×∞ ×

in luogo di

del microscopio standard indicando soltanto n

come fattore di ingrandimento). Nel campo visivo del microscopio non

ε

standard, opportunamente regolato, vedo lo zero e nettamente

separati.

Quand'è che un segmento è infinito? È infinito se nessun multiplo

dell'unità lo supera. Ma allora non può essere superato da nessun

14 Giornata di studio

segmento standard, perché un opportuno multiplo dell'unità supera

ogni segmento standard e quindi un segmento infinito è un segmento

che è maggiore di ogni segmento standard. Un numero infinito è

allora un numero in valore assoluto maggiore di ogni numero

standard. Come visualizziamo un numero infinito M (positivo)? Nella

retta, nella scala ordinaria, c'è un cartello che indica che M rimane a

destra del campo visivo. Cosa significa affermare che M è infinito?

Significa che, comunque io punti uno zoom standard nell'origine, non

riesco mai a farlo rientrare nel campo visivo dello zoom. Quindi, per

ogni n, se rimpicciolisco n volte, M continua a rimanere a destra del

campo visivo. Occorre un nuovo strumento, che è lo zoom non

standard, che riesce a fare rientrare nel campo visivo il numero

infinito M.

Un segmento finito (finito è la negazione di infinito) è un

segmento che è minore di almeno un numero standard, cioè è un

segmento che si riesce sempre a fare rientrare completamente nel

campo visivo di uno zoom standard puntato in un suo estremo. Un

numero finito è allora un numero in valore assoluto minore di

Analisi non standard nelle scuole superiori 15

almeno un numero standard. Per esempio, i numeri standard sono

tutti finiti. Infatti sono tutti minori di se stessi più uno, che è ancora

un numero standard.

Un segmento non infinitesimo è un segmento maggiore di almeno

un segmento standard (non nullo). Quindi un numero non infinitesimo

è un numero in valore assoluto maggiore di almeno un numero

standard positivo.

Abbiamo quindi una classe di numeri che sta fra gli infinitesimi e

gli infiniti. Un segmento finito e non infinitesimo è un segmento

compreso tra due segmenti standard (non nulli). Così un numero finito

non infinitesimo è un numero in valore assoluto compreso tra due

numeri standard positivi. Come si visualizza un numero finito non

infinitesimo a (positivo)? Bisogna sempre fare tre casi: piccolo, medio

o grande (come con la birra!). Comincio dal caso in cui a sia "piccolo".

Nella scala ordinaria, dove lo zero e l'uno li vedo separati, lo vedo

sovrapposto allo zero. Ma non è infinitesimo: è soltanto piccolo!