Giornata di Studio Analisi Non Standard 4 (ebook)

IV Giornata di studio

Analisi non standard

Nelle scuole superiori

Atti del convegno

Vicenza 7 nov 2014

La giornata, organizzata dalla Mathesis di Vicenza,

si è svolta nell'aula Lampertico

messa a disposizione

della Società di Mutuo Soccorso di Vicenza

il giorno 7-11-2014.

Impaginazione a cura di Paolo Bonavoglia

© Matematicamente.it

info@matematicamente.it

ISBN

9788896354780

maggio 2015

Analisi non standard nelle scuole superiori 1

Indice generale

Presentazione...............................................................................................3

L'infinito più facile: alcune riflessioni su un'esperienza NSA in una classe

quinta del Liceo Socio-Psico-Pedagogico

G Z ........................................................................................5

Di Giuseppe Zambon

Strumenti liberi per insegnare l'Analisi non standard

B S D Z ...............................................................19

Di Bruno Stecca e Daniele Gambelli

Il differenziale alla Robinson in una e più variabili

G G .......................................................................................21

Di Giorgio Goldoni

Gli infinitesimi di Leibniz

T B .......................................................................................32

Di Tiziana Mascelli

Analisi non standard e fisica: un caso di ottica

A C ......................................................................................41

Di Andrea Bentomo

Esercizi NO LIMITS in NSA

S C .......................................................................................50

Di Sergio Basiraghi

La continuità con la NSA

P B ....................................................................................78

Di Paolo Bonavoglia

Un piano di lavoro NSA per il quarto anno di un Istituto Tecnico per

Geometri L R ..........................................................................................93

Di Lucia Capella

2 IV Giornata di studio

Analisi non standard nelle scuole superiori 3

Presentazione

Il 20 novembre 2011 si teneva a Venezia nei locali del Convitto

“Marco Foscarini” una giornata di studio sull'uso didattico dell'Analisi

Non Standard nelle scuole superiori che, nata nell'ambito della lista

Cabrinews, voleva mettere a confronto alcune esperienze di

insegnamento dell'analisi nelle scuole superiori che seguono in

maggiore o minore misura l'approccio NSA.

La cosa accese un notevole interesse per l'argomento e nel 2012 si

tenne un secondo convegno sullo stesso tema a Modena, seguito da

un terzo convegno di nuovo a Venezia nel 2013.

Obiettivo è sempre quello di far conoscere questo approccio

all'analisi matematica che Kurt Gődel, da molti considerato il massimo

matematico del XX secolo, aveva sin dal 1973 indicato come l'analisi

del futuro.

Nel 2014 la giornata si è tenuta a Vicenza a cura della locale

sezione della Mathesis.

Gli scopi principali di questa giornata nazionale dedicata al tema

NSA sono di mostrare agli insegnanti della scuola superiore come

l'Analisi Non Standard viene utilizzata da colleghi che appartengono a

realtà scolastiche diverse (liceali e non) e di spiegare le ragioni per le

quali questi stessi colleghi sono stati spinti a sostituire l'approccio

standard con l'NSA.

Nel corso della giornata è stato anche presentato un progetto, nato

nell'ambito dell'università di Verona, per la realizzazione di materiali

didattici liberi per la didattica dell'Analisi Non Standard.

Si ringrazia la Società Generale di Mutuo Soccorso di Vicenza che

ha messo a disposizione la sala Lampertico per il convegno.

4 IV Giornata di studio

Analisi non standard nelle scuole superiori 5

L'infinito più facile: alcune riflessioni su un'esperienza NSA

in una classe quinta del Liceo Socio-Psico-Pedagogico

di Giuseppe Zambon

1. Esempi introduttivi

Dopo aver partecipato alla prima giornata nazionale di studio sull'analisi

non standard, a Venezia nel 2011, ho rapidamente deciso di sperimentare,

nell'insegnamento dell'analisi matematica, l'approccio con gli infinitesimi,

convinto che esso ne costituisca un veicolo didatticamente più semplice ed

efficace di quello tradizionale.

In questo intervento ripercorro, molto sinteticamente, alcuni punti

fondamentali dell'introduzione dei numeri infinitesimi e dei numeri infiniti nel

percorso didattico, così come li ho presentati ai miei studenti. I contenuti, così

come le immagini sono quasi integralmente tratti dal testo Il professor

Apotema insegna….I numeri iperreali di Giorgio Goldoni (ed. Ilmiolibro.it).

Alcuni esempi

introduttivi hanno

lo scopo di far

comprendere allo

studente l'utilità,

se non la

necessità, di

introdurre nel

calcolo numeri

infinitamente

piccoli. 1

La retta

secante al grafico

della parabola

1 Questo esempio è particolarmente semplice e può essere compreso con facilità

da studenti di qualunque tipo di scuola. Nel testo citato sono presenti esempi

introduttivi assai più raffinati.

6 IV Giornata di studio

in due punti vicini, somiglia molto alla retta tangente. Il coefficiente

angolare nell'esempio in figura è tanto più vicino a 2 quanto più il punto B è

vicino al punto A, cioè quanto più Ɛ è piccolo. Se Ɛ fosse infinitamente

piccolo, la retta sarebbe la retta tangente e il coefficiente angolare sarebbe

esattamente 2.

Perché dunque non possiamo usare nella pratica matematica numeri

infinitamente piccoli?

La loro esistenza è esclusa da una delle proprietà fondamentali dei numeri

reali: il postulato di Archimede (sia che esso venga introdotto direttamente

nel sistema di assiomi o dedotto dal postulato della continuità di Dedekind).

Il postulato di A. stabilisce che qualunque grandezza può essere misurata,

con un numero finito di passi unitari, qualunque sia l'unità di misura scelta.

Esso può essere enunciato in questi due modi, logicamente equivalenti ma

diversi nella sfumatura psicologica che suggeriscono:

• PA1: Dati due segmenti diversi, esiste sempre un multiplo del minore
• che supera il maggiore
• PA2: Dati due segmenti diversi esiste sempre un sottomultiplo del
• maggiore che è più piccolo del minore

Nella prima versione il postulato ci fa chiaramente capire che non

esistono segmenti infinitamente grandi, poiché esiste sempre un multiplo

(finito) di un altro segmento, che possiamo assumere come unità di misura,

che lo supera. Nella seconda versione ci dice esplicitamente che non

esistono segmenti infinitamente piccoli. 2

Per ammettere l'esistenza di un numero infinito dobbiamo (violando PA1)

ammettere l'esistenza, lungo la linea dei numeri, di un luogo così lontano che

un viandante immortale che si incamminasse in quella direzione a passi

unitari e costanti, non lo raggiungerebbe mai.

Tuttavia è forse l'esistenza dei numeri infinitesimi (violazione di PA2) che

risulta intuitivamente più facile da accettare, forse perché meno condizionata

dal diffuso pregiudizio con il quale tendiamo a dare per scontato e inviolabile

il postulato di A. Supponiamo di prendere un segmento, per esempio il

segmento unitario [0;1] , di tagliarlo a metà, eliminare la metà di destra e di

proseguire il lavoro con la metà rimanente, sempre con tagli a metà.

Immaginiamo ancora un uomo immortale che con cadenza regolare

prosegua per tutta la sua immortale vita questo lavoro. Ci chiediamo cosa gli

rimane alla fine di questo processo. E' chiaro che le possibili risposte (al netto

2 Naturalmente il postulato così espresso per i segmenti può essere

analogamente espresso per i numeri reali che li misurano.

Analisi non standard nelle scuole superiori 7

di tutte le possibili obiezioni sul valore epistemologico del supporre concluso

un processo infinito) sono due: gli rimane un punto (misura 0) o gli rimane

qualcosa di infinitamente piccolo ma che ha ancora la natura di segmento. Dal

punto di visto dell'intuizione è forse più facile accettare quest'ultima risposta:

dividendo un segmento in due ottengo sempre due segmenti. Eppure

accettare questa risposta significa ammettere l'esistenza di un numero

infinitamente piccolo e quindi anche, come facile verificare, l'esistenza di un

numero infinitamente grande, cioè di quel luogo inaccessibile al viandante

immortale di prima.

Sulla necessità logica di accettare o meno il postulato di Archimede, vale la

pena di ricordare questa frase di D. Hilbert: “La possibilità di misurare tutte le

dimensioni e tutte le distanze dell'universo (da quelle dei corpi celesti a quelle

che costituiscono il mondo atomico) riportando una volta dopo l'altra una data

lunghezza terrestre, non è per nulla una pura conseguenza logica dei nostri

teoremi sulle congruenze o della configurazione geometrica. ..... La validità

del postulato di Archimede nel mondo della natura richiede una conferma

sperimentale, né più né meno di quanto la richieda il postulato delle

parallele.” Questa affermazione stabilisce una interessante analogia tra la

nascita delle geometrie non euclidee e quella dell'analisi non archimedea,

l'analisi non standard.

Queste riflessioni sul postulato di Archimede, da collocare tra gli esempi

iniziali e l'introduzione sistematica dei numeri iperreali, offrono l'occasione di

accennare alla travagliata storia dei numeri infinitesimi, prima intuiti e

utilizzati con grande profitto dai padri dell'Analisi, poi criticati dai filosofi per

crescenti esigenze di rigore e di coerenza formale, quindi abbandonati e infine

definitivamente riabilitati dalla logica del XX sec.

2. Numeri iperreali

L'insieme numerico che otterremo ammettendo l'esistenza di numeri infiniti

e infinitesimi ed estendendo ad essi le usuali regole dell'algebra è l'insieme

dei numeri iperreali.

La descrizione dei numeri iperreali avviene su due binari paralleli. Accanto

alle definizioni e alle descrizioni delle proprietà algebriche vi è una descrizione

intuitiva della natura di questi numeri che si appoggia sull'esperienza

sensoriale e in particolare quella visiva. Si tratta di una descrizione topologica

della retta basata sull'uso di strumenti ottici ideali, che permettono di vedere

con ingrandimento arbitrario qualunque parte della retta, vicina o

lontanissima. Questi strumenti sono già introdotti da Keisler nel suo testo

3

3 H. Jerome Keisler ELEMENTARY CALCULUS

8 IV Giornata di studio

sull'analisi non standard, tuttavia l'uso proposto da Goldoni è nuovo e

didatticamente molto efficace. Egli infatti utilizza questi strumenti per

l'esplorazione della retta reale e solo successivamente in modo molto

naturale ne estende l'uso alla retta iperreale, i numeri infinitesimi sono

visualizzati allo stesso modo dei numeri reali piccoli, solo con strumenti ottici

più potenti.

Ammetteremo quindi, violando il postulato di Archimede, che esista sulla

linea dei numeri un luogo inaccessibile al viandante immortale (infinito) o,

equivalentemente, che quell'immortale che ha passato la vita a dividere a

metà il suo segmento si ritrovi alla fine in mano ancora un segmento

(infinitesimo)

Devo rimarcare il fatto che di fronte alla richiesta di immaginare un

numero infinitamente grande o infinitamente piccolo, in genere, gli studenti

non battono ciglio, trovano la cosa molto semplice e naturale. Naturalmente

questo non significa che tutti abbiano la stessa intuizione di questi concetti e

neppure che ne abbiano una intuizione corretta: guidare e uniformare la loro

intuizione sarà l'obiettivo della fase successiva, quella appunto della

descrizione con gli strumenti ottici. Ma in questo modo abbiamo evitato di

erigere tra gli studenti e il mondo dell'analisi matematica quel muro non

facile da scavalcare che è costituito dalla teoria dei limiti alla Weierstrass.

3. Strumenti ottici

Telescopio standard

Microscopio standard Zoom standard

Microscopio standard:

Il microscopio standard a n ingrandimenti, puntato su un qualunque punto

della retta reale, mostra un intervallo di retta centrato in x e ingrandito n

Analisi non standard nelle scuole superiori 9

volte rispetto alla scala ordinaria.

Telescopio standard:

puntato su x mostra nel suo campo visivo una porzione di retta, centrata su

x senza cambiare scala

Zoom standard:

puntato tipicamente sull'origine, serve per vedere la retta rimpicciolita di n

volte

L'uso di questi strumenti permette agli studenti di vedere la retta,

muoversi su di essa, perlustrare punti lontanissimi o piccolissime parti di retta

nelle immediate vicinanze di qualche punto interessante. Naturalmente

ciascuno di questi strumenti ha un preciso equivalente algebrico, che in

questa fase non è utile esplicitare. La rilevanza didattica dell'uso di questi

strumenti consiste nello sviluppare, facendo leva sull'esperienza sensoriale,

una corretta e condivisa intuizione della topologia della retta, inizialmente

della retta reale, e poi, di quella iperreale.

Esempio: utilizziamo in modo combinato gli strumenti ottici introdotti per

visualizzare con precisione sulla retta reale il numero 367,01002.

Naturalmente questo numero non è rappresentabile con precisione nella

scala ordinaria della retta, in cui sia visibile l'origine e in cui le unità siano

chiaramente distinguibili. L'utilizzo degli strumenti consente di esplicitare il

processo logico-operativo mediante il quale determino con precisione la

posizione del numero. Poiché

367,01002 è troppo grande

perché io possa visualizzarlo

nella scala ordinaria, (sarei

costretto ad usare una unità

troppo piccola e il disegno

risulterebbe incomprensibile)

punto un telescopio standard

sul punto 367, sul suo campo

visivo punto un microscopio

standard a 100 ingrandimenti

e sul suo campo visivo

distinguo con chiarezza il

punto 367,01 sul quale punto

un microscopio a 1000

ingrandimenti. Nel campo visivo di quest'ultimo microscopio vedo

chiaramente il numero 367,01002.

10 IV Giornata di studio

Il numero ε è infinitesimo se in valore assoluto esso è minore di ogni

numero reale (standard) positivo

Il numero M è infinito se in valore assoluto esso è maggiore di ogni

numero reale (standard) positivo

4. Strumenti non standard

Cerchiamo ora di

visualizzare sulla retta un

numero infinitesimo ε. Esso

ovviamente apparirà nella

scala ordinaria sovrapposto

allo zero e così apparirà nel

campo visivo di qualunque

microscopio standard. (cerchio

di sinistra) Se così non fosse

avremmo trovato

(visualizzato) numeri reali più

piccoli di ε, il che è assurdo.

Per separare ε dallo zero è Microscopio non standard

necessario un nuovo

strumento, il microscopio

non standard, analogo al

microscopio standard ma

con infiniti ingrandimenti.

(cerchio di destra)

Regolando opportunamente

la manopola

dell'ingrandimento del

microscopio non standard

riuscirò a separare

chiaramente ε dallo zero, in

questa scala però non sarà

visibile nessun numero reale Telescopio non standard

(a parte lo zero), p. e. il

numero 1 si troverà infinitamente lontano e non sarà raggiungibile con

nessuno strumento standard, per visualizzarlo dovrei inquadrarlo con un

telescopio non standard, che a differenza di quello standard può raggiungere

punti infinitamente lontani.

Analisi non standard nelle scuole superiori 11

In modo del tutto analogo si procede per la visualizzazione sulla retta di un

numero infinito. Se M è un numero infinito, M è maggiore di ogni numero reale

(standard), M non rientra quindi nel campo visivo di nessuno zoom standard,

se ciò avvenisse avrei trovato (visualizzato) numeri reali più grandi di M; per

visualizzarlo devo usare uno zoom che rimpicciolisce la retta infinite volte, uno

zoom non standard. Nella notazione lo strumento non standard si riconosce

4

per l'indicazione ×∞ al posto di ×n.

5. Classificazione dei numeri iperreali

A questo punto

abbiamo introdotto i

numeri infinitesimi e i

numeri infiniti e

abbiamo costruito un

modo semplice per

visualizzarli sulla retta.

Abbiamo quindi tre tipi di numero, infinitesimi, finiti e infiniti, più lo zero che fa

tipo a sé, a causa delle sue particolari proprietà algebriche.

Un numero finito (f) è un numero in valore assoluto minore di almeno un

125

x< 10

numero standard positivo. Per es. se allora x è finito.

Viceversa se un numero è maggiore di ogni numero standard allora esso è

infinito (I)

Un numero è non infinitesimo se esso è in valore assoluto maggiore di

−11

x> 10

almeno un numero standard positivo. Se allora x è non

infinitesimo.

Un numero finito non infinitesimo (fni) è un numero in valore assoluto

compreso tra due numeri standard positivi.

Un numero è infinitesimo (i) se esso è in valore assoluto minore di ogni

numero standard positivo, se tale numero è diverso da zero diremo che è

infinitesimo non nullo (inn)

Con questo insieme numerico esteso ora cominciamo a operare con le

usuali operazioni algebriche le quali vengono estese ai nuovi numeri.

Cominciamo col notare che conoscendo il tipo degli operandi siamo in grado

(quasi sempre) di prevedere il tipo del risultato, il che risulta molto utile nel