Analisi matematica 1

Analisi 1

Gli insiemi

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C è detta catena di inclusioni.

• N: insieme dei numeri naturali (interi positivi).
• Z: insieme degli interi (interi con segno).
• Q: insieme dei razionali (numeri decimali rappresentabili come le frazioni, quindi con decimali finiti o periodici; è il quoziente di due interi con denominatore ≠ 0).
• R: insieme dei numeri reali (anche i decimali infiniti come π).
• R \ Q: insieme degli irrazionali (solo decimali infiniti).

La retta reale

Tutti i punti di una retta orientata possono essere associati ai numeri dell'insieme R. Essendo che la retta è orientata allora è possibile stabilire un ordine di grandezza: si parla di ordinamento totale se, presi due numeri x e y distinti, è sempre vero che o x < y oppure x > y. NB La retta reale non si può assegnare ai numeri C!

Gli intervalli

Sottoinsiemi di R compresi tra due estremi fissati: dati a e b estremi, dell'intervallo:

• (a,b) = { x ∈ R / a < x < b } intervallo aperto.
• [a,b] = { x ∈ R / a ≤ x ≤ b } intervallo chiuso.
• [a,b) = { x ∈ R / a ≤ x < b } intervallo semi aperto a sx.
• (a,b] = { x ∈ R / a < x ≤ b } intervallo semi aperto a dx.

NB se l'insieme è infinito (∞) è sempre aperto!

Gli insiemi limitati

Def. A ⊂ R A ≠ ∅ k ∈ R diciamo che k è un maggiorante di A quando: k ≥ a ∀ a ∈ A.

Def. A ⊂ R A ≠ ∅ k ∈ R diciamo che k è un minorante di A quando: k ≤ a ∀ a ∈ A.

Def. A ⊂ R A ≠ ∅ k ∈ R diciamo che k è il massimo di A quando: k ∈ A.

Def. A ⊂ R A ≠ ∅ k ∈ R diciamo che k è il minimo di A quando: k ∈ A.

A è superiormente limitato quando esiste un maggiorante di A.

A è inferiormente limitato quando esiste un minorante di A.

A è limitato quando è sup. e inf. limitato (cioè A è limitato se ∃ k ∈ R / -k ≤ x ≤ k ).

Analisi 1

Gli insiemi

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C è detta catena di inclusioni.

• N: insieme dei numeri naturali (interi positivi).
• Z: insieme degli interi (interi con segno).
• Q: insieme dei razionali (numeri decimali rappresentabili con le frazioni, quindi con decimali finiti o periodici; è il quoziente di due interi con denominatore ≠ 0).
• R: insieme dei numeri reali (anche i decimali infiniti come π).
• R \ Q: insieme degli irrazionali (solo decimali infiniti).

La retta reale

Tutti i punti di una retta orientata possono essere associati ai numeri dell’insieme R. Essendo che la retta è orientata allora è possibile stabilire un ordine di grandezza. Si parla di ordinamento totale se, prese due numeri x e y distinti, è sempre vero che o x < y oppure y < x. NB La retta reale non si può estendere ai numeri C!

Gli intervalli

Sottoinsiemi di R compresi tra due estremi fissati. Dati a e b estremi, dell’intervallo:

• (a, b) = { x ∈ R / a < x < b } intervallo aperto.
• [a, b] = { x ∈ R / a ≤ x ≤ b } intervallo chiuso.
• (a, b] = { x ∈ R / a < x ≤ b } intervallo semi aperto a sx.
• [a, b) = { x ∈ R / a ≤ x < b } intervallo semi aperto a dx.

NB L’insieme infinito (∞) è sempre aperto!

Gli insiemi limitati

Def. A ⊂ R, A ≠ ø. K ∈ R Diciamo che K è un maggiorante di A quando: k ≥ a ∀ a ∈ A.

Def. A ⊂ R, A ≠ ø. K ∈ R Diciamo che K è un minorante di A quando: k ≤ a ∀ a ∈ A.

Def. A ⊂ R, A ≠ ø. K ∈ A Diciamo che K è il massimo di A quando: k ≥ a ∀ a ∈ A.

Def. A ⊂ R, A ≠ ø. K ∈ A Diciamo che K è il minimo di A quando: k ≤ x ∀ a ∈ A.

• A è superiormente limitato quando esiste un maggiorante di A.
• A è inferiormente limitato quando esiste un minorante di A.
• A è limitato quando è sup. e inf. limitato (cioè A è limitato se ∃ k ∈ R / −k ≤ x ≤ k ).

I numeri complessi

C = {z = a + ib : a, b ∈ ℝ }

• a è la parte reale Re(z).
• i è l'unità immaginaria.
• b è la parte immaginaria Im(z).

Proprietà

• z = a + ib.
• w = α + iβ.
• z + w = (a + α) + i(b + β).
• z ∙ w = (aα - bβ) + i(ab + bd).
• z (w) = α (a + ib).

NB: un numero reale è un numero complesso con p