Geometria euclidea,prodotto scalare

Geometria euclidea

Prodotto scalare

Il prodotto scalare è un'applicazione che mangia 2 vettori e sputa un numero. Dati u e v il prodotto scalare di u e v è:

Se <u, v> allora i vettori u e v si dicono ortogonali. Se <u, u> allora il prodotto scalare è quadratico.

1u = 2 3 2v = -1 1 <u, v> = 3 = (1 2 3) (2 -1 1)

Geometria euclidea

Prodotto scalare

Il prodotto scalare è un'applicazione: dati u = ¹₂₃ e w = ²_-11 il prodotto scalare di u e w è: <u, w> = x₁y₁ + ... + x_ny_n = ||u|| ||w|| cosθ = u^t w

Se <u, v> = 0 allora i vettori u e v si dicono ortogonali. Se <u, u> allora il prodotto scalare è quadratico.

Il vettore nullo è ortogonale a tutti i vettori. u e v sono simmetrici per definizione <u, w> = 3 = ^{1 2 3}_{2 -1 1}

Proprietà

• Bilinearità: <u+v, ω> = <u, ω> + <v, ω> <kμ, ν> = k <μ, ν> Se ∃ un'applicazione b : V x V → R (ν, ω) → b (ν, ω) t.c. ∀ ω₁, ω₂, ν ∈ V e ∀ α, β ∈ R b (αν₁ + βν₂, ω) = α b (ν₁, ω) + β b (ν₂, ω)
• Simmetria: <ν, ω> = <ω, ν> ⇒ Se S^τ = S b si dia simmetrica se ∀ ν, ω ∈ V b (ν, ω) = b (ω, ν)
• Non degenere: Se <ν, ω> = 0 con ∀ ω = 0 ⇒ Se V = {0} Se ogni el. della matrice diagonale ≠ 0 Se rlk = max ⇒ se det ≠ 0 ∃ ν ≠ 0 t.c. <ν, ω> = 0 allora è degenere
• Positivo: Se gli el. sulla diag. princ. della matrice diagonale sono > 0 ⇒ non degenere

Esempi

• Non degenere:

  ⎛ 1 0 ⎞

  ⎜ ⎟

  ⎝ 0 -3 ⎠

• Degenere:

  ⎛ 0 0 ⎞

  ⎜ ⎟

  ⎝ 0 1 ⎠

• Positiva e non degenere:

  ⎛ 5 0 ⎞

  ⎜ ⎟

  ⎝ 0 1 ⎠

Additività & Omogeneità

∀ ω₁, ω₂ ∈ ℝⁿ = + = + Omogeneità ∀ λ, ω ∈ ℝᵐ e λ si ha: = λ

Nota: b_A = (x₁, ..., x_m)= ∑_{1 ≤ i,j ≤ h} a_i,j x_i x_j a_i,j = b_A (e_i, e_j) In generale data una forma bilineare b su uno spazio V b: V × V → ℝ preso una base B di V posso definire la Matrice Associata a b rispetto alla base B: M_B (b) = (m_i,j) con B = (v₁, ..., v_m) m_i,j = b (v_i, v_j)

La matrice associata è una matrice simmetrica, sulla diag. ci sono i prod. scolez degli el. della base con sé stessi. Tramite la matrice la posso usare per calcolare il prodotto tra coppie di vettori.

Dato v in V e w in W, scrivo le compone. risp. alle base ottenendo i vett. v_B e w_B che penso come colonne v vertice x delle sere componenti w vettore y della , , quindi: b(v,w) = v_B^t M_Θ(b) w_B = F_B(v)^t M_B(b) F_B(w)

Se ho b: V x V → R su V e B e C come basi di V allora M_C(b) M_Θ,C (id_V)^t ⋅ M_Θ(b) ⋅ M_Θ,C(id_V)(M_C→Θ)^t (M_C→Θ)

Prendo A = (1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0) considero b