Geometria - Appunti

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Author: andrea22x

Revisionato il 03/09/2026

di andrea22x

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Gli argomenti trattati in questi appunti sono:- Equazioni lineari e numeri (Sistemi di equazioni lineari. Matrice associata a un sistema lineare. Sistemi equivalenti. Numeri naturali, interi, …

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria dell'informazione

Dal corso del Prof. Accascina Giuseppe

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

A.A. 2014-2015

241 pagine

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Estratto del documento

Ricorda

Dimenticare y = mx + q => non possono essere scritte le rette || a x = 0

ax - 5 = 0 => x = ⁵/_a => ax = 5

{3x - 4y = 0
2x - 5 = 0 => {3x - 4y = 0
2x = 5

ax = b => x = ^b/_a => x = a^-1b con a ≠ 0

Soluzione dei sistemi

{5x + 4y = 2
ax = a

{4y = a
x = a

{y = 1
x = a Soluzione del sistema (a;1)

Sistemi equivalenti

S {4x - 5y = 0
x + 5y = 6

S' {4x - 5y = 0
5x = u

{x = 1
4x + 4y = 9

{4x + 5y = 3
2x - 3y = 1 => {4x + 5y = 3
4x - 6y = 1u

Due sistemi sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni

Ricorda

Dimenticare

y = mx + q

non possono essere scritte le rette || a x = 0

ax - 5 = 0 => x = 5/a => ax = 5

{ 3x - 4y = 0
2x - 5 = 0 => { 3x - 4y = 0
2x = 5

ax = b => x = b/a => x = a^-1b con a ≠ 0

Soluzione dei sistemi

{ 5x + 4y = 2
ax = a

{ 4y = a
x = a

{ y = 1
x = a

Soluzione del sistema (a;1)

Sistemi equivalenti

S { ax - 5y = 0
x + 5y = 6

S'{ ax - 5y = 0
5x = u

{ x = 1
ax + 4y = 9

{ 4x + 5y = 3
2x - 3y = 1 => { 4x + 5y = 3
ax - 6y = 1u

Due sistemi sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni

Soluzioni dei sistemi

Infinite

2x+4y=3
4x+2y=6

2(2x+4y=3) =>
4x+2y=6
4x+2y=6

Nessuna (se un'equazione è impossibile)

ax+by=c
0=x=h con h≠0
x(x,y):h=0 => dovrebbe essere h=0

Ha soluzioni se: ac-bd≠0

Matrice

Sistema può essere scritto in scrittura matriciale

es. 2x + y = 3 4x + 2y = 6 x + 2y + z = 1 x - 4y = 2

Matrice del sistema colonna delle variabili matrice colonna

Ogni elemento a_ij ha i propri indici: i = riga j = colonna

a₂₂ = 0

a₃₂ = 1

a₁₃ = 0

Def: E' una tabella composta da p righe e q colonne

Insieme delle matrici: M(p, q, ℝ) (3, 2) ≠ (3 2) soluz. sistem. matrice coord. cartes

Matrici quadrate

Def: Sono matrici con p = q, stesso numero di righe e colonne

M(p,q,ℝ) = M(p,ℝ)

Tipologie

¹/₁ 0 0
1 0 0
2 -1 3 _T^R(3) Matrice triangolare inf. j > i diagonale princip

1 1 2
0¹ 0 2 _T^R(3) Matrice triangolare sup. i > j

0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 Matrice diagonali D(m,ℝ) = _T^R(m) ∩ _T^R(m)

1 0
0 1 Matrice identità (soluzioni del sistema)

(a₁₁ a₁₂ a₁₃
a₂₁ a₂₂ a₂₃
a₃₁ a₃₂ a₃₃)

i > j

T^R(3) = { (a_ij) i = 1,2,3
j = 1,2,3
Se i > j, allora a_ij = 0 }

Matrici simmetriche

M(m,m,ℝ)

a_ij = a_ji

m = 3

( 2 1 √1/2
1 0 3
√1/2 3 1 )

M(m,m,ℝ) = { (a_ij) | a_ij = a_ji; i = 1,..m, j = 1,..m }

D(m,m,ℝ) ⊂ Sim(m,ℝ)

Matrice trasposta di A

( = A^t oppure

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