Geometria e Algebra lineare - Teoria

Name: Geometria e Algebra lineare - Teoria
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Author: Costanza.V

Revisionato il 25/07/2026

di Costanza.V

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Appunti di teoria con vari esercizi svolti in classe. Argomenti: spazi e sottospazi vettoriali, base, rango, applicazioni lineari, matrici, calcolo matriciale, matrici diagonalizzabili, …

Esame Geometria e algebra lineare

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Podestà Fabio

Università Università degli Studi di Firenze

A.A. 2019-2020

87 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Algebra lineare

Retta euclidea

Fissiamo origine O e unità di misura OA.

OB = t volte OA, t ∈ ℝ.

t è positivo se è dalla stessa parte di A.

t è negativo se è dall'altra parte.

Piano

Fissiamo origine O e una retta per O sulla quale posso riconoscere un punto che funga da unità di misura.

Per "definire" il piano ho però bisogno di un'altra retta orientata con cui punto B.

OA e B danno "dirette" di misura.

Dato un punto P sul piano consideriamo due rette parallele per P alle rette guide.

Esse si intersecono in A′ e B′.

OA′B′ è un parallelogramma. OA′ e OB′ sono segmenti orientati (vettori), la cui somma usando le regole del parallelogramma è OP.

OA′ = t₁ OA, cioè sono multipli delle unità di misura.

OB′ = t₂ OB

OA′ + OB′ = OP = t₁ OA + t₂ OB

P = (t₁, t₂) ∈ ℝ²

ℝⁿ = { (x₁, ... x_n) | x₁, ..., x_n ∈ ℝ }

cioè l'insieme delle coppie (n-upla) traici (n-1, n-2,...)

OP̅ = (t₁, t₂)

OQ̅ = (s₁, s₂)

OP̅ + OQ̅ = (t₁ + s₁, t₂ + s₂)

ℝⁿ = { (x₁, ... x_n) | x₁, ..., x_n ∈ ℝ }

0 = (0,0,...0)

V = (x₁, x₂, ... x_n)

W = (y_i, y₂... y_n)

U = (x₁, ... x_n) ∈ ℝⁿ

a ∈ ℝ

a * U = (ax₁, ax₂, ... ax_n) a è uno scalare, si moltiplica per ogni componente del vettore.

V + W = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, ..., x_n + y_n)

Spazio vettoriale

Un insieme V è detto spazio vettoriale se fa le seguenti proprietà:

È definita una somma: ∀ x₁, x₂ ∈ V, x₁ + x₂ ∈ V
È definita la moltiplicazione per scalare: ∀ a ∈ ℝ, ∀ x ∈ V, ∃ -x ∈ V tale che x + (-x) = 0 (inverso additivo).
∃ 0 ∈ V tale che 0 + x = x ∀ x ∈ V
(a + b) * x = a * x + b * x
(a * b) * x = a * (b * x)
a * (x + w) = a * x + a * w

Algebra lineare

Retta euclidea

Fissiamo origine O e unità di misura OA̅

O͞B = t volte OA̅, x∈ℝ

t è positivo se è dalla stessa parte di A

t è negativo se è dall'altra parte

Piano

Fissiamo origine O e una retta per O sulla quale posso definire un punto che funga da unità di misura.

Per definire il piano ho però bisogno di un'altra retta orientata con cui posso B

Dato un punto P sul piano considerando due rette parallele per P alle due rette date.

OAB è un parallelogramma OĀ β̅

OA̅ e OB̅ sono segmenti orientati; concordi,

OA̅ + Ob̅ = p͞ + t2 obt che se sono multipli della unità di misura

Rt Ũ Queoo ṭ ti fa ḡu aṉ Ra ∫ō

OP͞ = (ṯ1, ╺,)

ū T Ṻʻ WhS = (ΣaSh

Ŏ F (Xl, x,0)

1k ∇ V = conformee puRTo me uʻr erzeugiß anCrgo seTi

Un insieme

È definita una SOMMA Ā112, 212. v

Esp. Rn

Matrice

Matrice è una tabella di numeri ordinati con righe e colonne. È uno spazio vettoriale

A è di tipo m x n

A = [a_ij]

A₁ = A₂ = A₁ =

Sottospazio vettoriale

V spazio vettoriale W ⊆ V

Comunque presi due vettori, V₁, w₂ ∈ W allora v₁ + v₂ ∈ W ∀α ∈ IR V w ∈ W allora α · w ∈ W

Esempio

V = IR²

W = Come lo dimostro?

somma

2. vettore

Osservazione

esempio 3

W={ (x,y)∈ℝ² | y=x³ }

esempio 4

W={ (x,y)∈ℝ² | ax+by=0 }

Non passo per l'origine

W'={ (x,y) | ax+by≠0 }

w₁=(x₁,y₁)∈W

w₂=(x₂,y₂)∈W

wᵢ={ (x,y) | ax+by=0 }

T.s: w₁+w₂∈W

w₁∈W ⇔ ax₁+by₁=0

w₂∈W ⇔ ax₂+by₂=0

w₁+w₂=(x₁+x₂, y₁+y₂)∈W

Adesso mi chiedo t∈ℝ w=(x,y)∈W anche t.w=(tx,ty)∈W?

a.(t.x)+b(t.y) = t(ax+by) =0

V=ℝⁿ dati a₁,a₂,...an∈ℝ

W={ (x₁...xₙ)∈ℝⁿ | a₁x₁+a₂x₂+...anxₙ=0 }

w₁=(x₁...xₙ)∈W

w₂=(y₁...yₙ)∈W

a₁(x₁+y₁)+a₂(x₂+y₂)+...an(xₙ+yₙ)=0

V spazio vettoriale (es. V=ℝ³ ) { (x₁...xₙ) | x₁...xₙ∈ℝ³ }

W⊂V ∀v∈V L(V) = { t.v | t∈ℝ }

per costruire ho preso un sottospazio e l'ho moltiplicato per i suoi multipli. Ottengo un sottospazio

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