Studio della funzione e calcolo di aree: [math] f{{\left({x}\right)}}=\frac{{{x}+{1}}}{{{x}^{2}+{1}}}[/math]

Pubblicazione del 3-05-2009

http://www.matematicaescuola.it/Analisi/Studi%20di%20funzioni/Funzione_razionale_fratta_03_calcolo_aree.pdf

Studio di funzione e calcolo di aree

Considerata la funzione f(x) = (x + 1) / (x² + 1), determinare il dominio, studiare il segno, determinare gli eventuali asintoti, precisarne la derivabilità, la monotonia, gli eventuali punti di massimo o di minimo relativo o assoluti, studiare la concavità e la convessità, trovare i flessi e rappresentarla nel piano cartesiano.

2. Riscontrato che il grafico G della funzione ammette tre punti di flesso, dimostrare che questi sono allineati.

3. Detto F il punto di flesso avente ascissa positiva, scrivere l’equazione della retta t₁ tangente al grafico in F e dimostrare che detta retta non ha con il grafico G altri punti in comune.

4. Calcolare l’area della regione finita di piano delimitata dall’asse delle ascisse, dal diagramma della curva e dalla retta t₁.

Soluzione

1. Studio della funzione

a. Dominio. La funzione è definita su tutto l’asse reale ed è continua in ogni punto del dominio.

b. Segno e zeri.

f(x) > 0, per x > −1; f(x) = 0, solo per x = −1; f(x) < 0, per x < −1.

Limiti ed eventuali asintoti

c.

lim_x→+∞ (x + 1) / (x² + 1) = 0; lim_x→−∞ (x + 1) / (x² + 1) = 0.

L’asse delle ascisse è asintoto orizzontale per il diagramma della funzione sia per x → −∞, che per x → +∞ e non esistono pertanto asintoti obliqui.

Derivabilità, monotonia, massimi e minimi

d. La funzione è derivabile su tutto l’asse reale, con derivata

f'(x) = (1 − 2x − x²) / (x² + 1)².

La derivata è continua; addirittura esiste la derivata di qualsiasi ordine continua.

f'(x) > 0 ⇔ 1 − 2x − x² > 0 ⇔ x² + 2x − 1 < 0.

La disuguaglianza è soddisfatta nell’intervallo [−1 − √2; −1 + √2].

La funzione è strettamente decrescente in ciascuno degli intervalli (−∞; −1 − √2), (−1 + √2; +∞); è strettamente crescente nell’intervallo (−1 − √2; −1 + √2).

Il punto di ascissa x = −1 − √2 è di minimo assoluto.