Funzioni concavi e convesse

Funzioni concave e convesse

Le funzioni concave (convesse) giocano un ruolo chiave nelle applicazioni economiche.

Dal punto di vista analitico queste funzioni, posta la differenziabilità, possono essere caratterizzate da proprietà che coinvolgono le derivate. In particolare il segno della derivata seconda.

Definizione

Ricordiamo la definizione. Una funzione: è concava se [, ] →

Se la retta secante che unisce due punti qualsiasi del grafico giace interamente sotto il grafico. Prendiamo due punti qualsiasi del grafico consideriamo la ()), ( )) e (, (, secante.

Un punto compreso fra y e x sarà del tipo con . La sua (1 ) (0,1) + − ∈ immagine sarà . L’immagine del punto rispetto alla secante sarà invece ( (1 )) + − ( ) (1 ) (). ∀(, ) + −

A questo punto f è concava se ∈ accade che ( (1 )) ( ) (1 )() (0,1) + − ≥ + − ∈

Se abbiamo solo > e non >= allora diremo che f è strettamente concava.

Similarmente f è convessa se -f è concava, cioè se la secante giace sopra il grafico e cioè se ( (1 )) ( ) (1 )() (0,1) + − ≤ + − ∈

Se abbiamo solo < e non <= allora diremo che f è strettamente convessa.

Convessità di una funzione e di un insieme

È importante non confondere la convessità di una funzione con la convessità di un insieme.

Un insieme U se per ogni x e y di U anche il segmento congiungente appartiene ad U.

Non sempre è facile tracciare il grafico di una funzione e comunque ciò è possibile solo per ≤ 2; è quindi necessario un criterio di natura analitica. Vale il seguente teorema.