Didattica delle frazioni: analisi e problemi di introduzione

Tesi di laurea in Matematica

Università di Palermo

Discussa il 29.03.2007

Didattica delle frazioni

Leda Campaniolo

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Prefazione

Lo scopo di questa tesi è analizzare i problemi connessi con l’introduzione dei concetti di frazioni/numeri razionali/numeri con la virgola nella scuola primaria e secondaria di primo grado. L’approccio sarà fatto da un punto di vista didattico e cercherò di valutare, per quanto possibile, i diversi aspetti e le problematiche legate alle varie possibilità di introduzione di tali concetti, il loro significato immediato relativo alle conoscenze pregresse degli alunni e alle loro convinzioni, coglierne i problemi a essi legati come gli ostacoli epistemologici ed errori frequenti di scrittura.

La grande quantità di letteratura presente su tali problemi didattici, e anche l’abitudine di molti autori di terminare le loro trattazioni con un’ipotesi di curricolo sull’insegnamento delle frazioni (dove molto spesso troviamo il suggerimento di introdurre le frazioni facendo riferimento alle “frazioni egizie”), mi consigliano l’introduzione di un preambolo storico.

Lo scopo è quello di far vedere che, così come è stato difficile nel corso dei millenni la nascita, l’evoluzione, la consapevolezza e l’assunzione di questi concetti a concetti matematici, tanto lo sarà nel processo di interiorizzazione nella mente di un allievo.

Richiami bibliografici sono segnalati durante la trattazione e riportati in bibliografia. Nella parte storica e discorsiva, le parti riguardanti le frazioni sono segnalate dal simbolo ►.

Inoltre approfondimenti, miti e leggende che ritengo possano essere utili come curiosità da portare agli studenti per attirare la loro attenzione su argomenti di fondamentale importanza come le frazioni, sono segnalati come note e riportati alla fine di ogni paragrafo come appendici.

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1. Prefazione storica

Dalle prime testimonianze di millenni addietro sull’uso dei numeri e di “oggetti” assimilabili a frazioni o decimali ad oggi, da un punto di vista gnoseologico, i termini “frazioni” o “decimali” non hanno ancora un significato chiaro e generano spesso confusione. Nel tentativo di fare chiarezza terminologica, ritengo utile inserire una spiegazione sull’etimologia di queste parole.

• Frazione: viene dal latino “fractiònem” da “fràctus” (participio passato “fràngere”: rompere); l’atto del frangere o frangersi, spezzamento, rottura. Non è inteso quindi nell’origine di questa parola la richiesta prettamente matematica della divisione in parti uguali. m
• Il simbolo ha origine incerta, ma sicuramente cominciò ad essere usato da Leonardo Pisano (1170-1250) nel suo Liber Abaci del 1202 dove i numeri frazionari venivano chiamati “rupti” o anche “fracti” e il trattino orizzontale fra numeratore e denominatore (anche questi termini di origine incerta che si affermarono in Europa nel XV sec.) è chiamato “virgula”, cioè “bastoncello” (da “virga”, bastone). È curioso che ancora oggi per indicare per esempio una quantità di euro compresa fra 4 e 5 si usa dire 4 euro e rotti.
• La “riduzione della frazione ai minimi termini” è molto antica ma si trova esplicitamente presentata in Luca Pacioli (1445-1515) e in Nicolò Tartaglia (1499-1557) sotto il nome di “schisare”; il massimo comun divisore viene detto “schisatore”.[1]
• Decimali: la derivazione etimologica è latina, proviene dall’aggettivo “decimalis” che vuol dire “ripartito” o “ordinato a dieci a dieci”. - 3 -

In aritmetica l’uso di questo termine è svariato. Esiste infatti il

• “Calcolo decimale”, che è quel sistema nel quale si trattano le operazioni scritte nel sistema decimale.
• La “frazione decimale”, che è una frazione avente per denominatore una potenza di dieci.
• “Unità decimale”, che è una frazione decimale con numeratore uno.
• “Numero decimale”, che è una frazione decimale quando viene scritta nella forma di “numero con la virgola” (es. 123/100 ≈ 1,23).
• “Sistema decimale”, che indica un sistema posizionale che ha come base 10.

1.1. Storia delle frazioni

Secondo Boyer, [4] il concetto di numero è uno dei più antichi concetti matematici, e, le sue origini, sono avvolte nella nebbia della preistoria.

Testimonianze scritte di significato numerico, ci pervengono da resti archeologici databili al periodo preistorico, come un osso di lupo risalente a circa 30.000 anni fa e ritrovato in Cecoslovacchia, [4] che presentava 55 tacche profondamente incise disposte in due serie la prima di 25 e la seconda di 30.

Si pensa che i segni numerici, probabilmente, abbiano preceduto le parole che indicavano i numeri e si suppone, in genere, che la matematica sia sorta in risposta ai bisogni pratici dell’uomo o addirittura in connessione con riti religiosi primitivi.

► Tornando al nostro argomento di discussione, possiamo dire che la nozione di frazione decimale si sviluppò relativamente tardi, e, in generale, non era in stretto rapporto con i sistemi numerici ideati dall’uomo per i numeri interi.

Sembra, che le tribù primitive, non avessero virtualmente bisogno di frazioni in quanto, per necessità pratiche connesse con la quantità, l’uomo primitivo poteva scegliere quantità sufficientemente piccole da renderne superfluo l’uso.

Pertanto non vi fu una evoluzione coerente dalle frazioni binarie alle frazioni quinarie e decimali: i sistemi decimali furono essenzialmente il prodotto della matematica dell’età moderna. [4]

Convenzionalmente si comincia a parlare di storia della matematica facendo riferimento alla civiltà egiziana circa nel 3000 a.C. [4]

Vaglierò a grandi linee quelle che sono le impostazioni protomatematiche presenti nelle maggiori civiltà citate in ordine cronologico, usando per comodità, anche se impropriamente, alcuni termini che si riferiscono a concetti che sono stati inquadrati come concetti matematici solo in epoche recenti.

¹ Le nozioni protomatematiche sono quelle conoscenze che i matematici utilizzano senza chiamarle o definirle in termini matematici (implicite) - 5 -

1.2. Gli Egiziani (3000 a.C.)

Si ritiene che gli egiziani usassero le frazioni ed avessero un loro modo di rappresentarle.[31]

Per esprimere le frazioni, gli egizi si servivano, in genere, del geroglifico della bocca, segno che si leggeva e che, nel contesto, significava “parte”, che veniva posto sopra il numero facente funzione di denominatore:

Quando il denominatore non poteva venire rappresentato tutto intero sotto il segno della “bocca”, essi scrivevano l’eccedenza di seguito:

1 2 3

Alcune frazioni, come 2/3 e 3/4, e due frazioni non unitarie, erano raffigurate con segni speciali. Per 1/2, usavano semplicemente il geroglifico che segue e che si leggeva ed esprimeva l’idea della metà.

Altri simboli venivano utilizzati per le frazioni 2/3 e 3/4.

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Queste due ultime espressioni non erano affatto concepite come frazioni.

Gli egizi non conoscevano, infatti, frazioni con il numeratore diverso da uno. Per esprimere, ad esempio, la quantità 3/5 usavano i seguenti simboli.

La quantità pari a 1/2 + 1/10.

La frazione 2/47 si scomponeva così 1/60 = 1/60 + 1/3 + 1/4 + 1/5.

Gli Egizi avevano quindi bisogno, per eseguire il calcolo con le frazioni, di “tavole” sulle quali leggere le scomposizioni di ogni frazione di uso comune in somma di frazioni con numeratore unitario, in modo che il numero di queste fosse il più piccolo possibile.

1.3. La Mesopotamia (2400 a.C.)

La civiltà fiorita in Mesopotamia, viene spesso indicata come civiltà babilonese, sebbene tale designazione non sia rigorosamente corretta [4] non essendo Babilonia sempre e costantemente il centro della cultura legata alla Mesopotamia.

Parleremo quindi di “babilonesi” in maniera impropria intendendo con questo termine le civiltà dei sumeri, degli assiri e babilonesi, popoli che si avvicendarono in quelle terre nel periodo che va dal 2400 a.C. al 538 a.C., quando Babilonia cadde sotto Ciro re di Persia. Non sappiamo

² Tali scomposizioni venivano fatte secondo tabelle complicatissime, tabelle di cui troviamo esempi nel Papiro di Rindh, che è il più esteso papiro egizio di natura matematica giunto fino a noi, datato 1650 a.C.; contiene tabelle per scomporre le frazioni in somma di frazioni unitarie e 84 problemi aritmetici, algebrici e geometrici con le relative soluzioni.

³ Vedi appendice 2 - 7 -

molto sulle origini arcaiche dei loro sistemi numerici ma restano abbondanti testimonianze del fatto che usassero un sistema posizionale con base principale 60 e base secondaria 10. [16]

Fra le innumerevoli tavolette di argilla ritrovate, in quelle risalenti all’epoca della dinastia degli Hammurabi [31] è illustrato il loro sistema sessagesimale, cioè il sistema a base 60 utilizzato non solo dai babilonesi ma anche in tutto il resto della Mesopotamia.

Si può affermare che la matematica mesopotamica fosse ad un livello molto più alto della matematica dei contemporanei Egizi. Infatti, questi ultimi, avevano grossi problemi ad effettuare già semplici calcoli mentre i Babilonesi sapevano eseguire calcoli complessi, come ad esempio la divisione, basandosi su apposite tavole dei reciproci e moltiplicando quindi il dividendo per il reciproco del divisore. La loro numerazione, però, peccava nel non possedere un simbolo per lo zero e uno strumento che separasse la parte intera di un numero dalla sua parte frazionaria.

► Non risultano esistere, dai documenti in nostro possesso, scritture speciali per le frazioni, [16] ma si suppone che si limitassero all’analogo dei nostri numeri decimali che però nel loro caso erano numeri sessagesimali.

La prevalenza del 60 nel sistema posizionale sumero/assiro/babilonese si è conservata fino ad oggi nelle misure angolari (angolo giro 360°) e nelle misure temporali (un’ora è fatta da 60 minuti), segno di un prevalere di quella aritmetica in questi due campi rispetto a tutte quelle che seguirono. - 8 -

1.4. I Greci (500 a.C.)

L’inizio della storia greca risale al secondo millennio a.C. quando, incolti invasori, calarono dalle regioni settentrionali, senza portare alcuna tradizione matematica o letteraria, ma pronti ad assorbire la cultura degli altri popoli. In breve tempo realizzarono progressi che andarono al di là di ciò che avevano appreso da altre civiltà.

Assumendo come riferimento storico alla data dei primi giochi olimpici (776 a.C.), sappiamo che in quel periodo si era sviluppata una fiorente letteratura come testimoniano opere di Omero ed Esiodo, ma, non abbiamo alcuna indicazione di quella che era la matematica del tempo.

Soltanto nel VI sec. a.C. con Talete e Pitagora si cominciò a poter parlare, seppur indirettamente, di matematica greca. [4]

Il primo sistema di rappresentazione numerica greco, fu quello attico, databile attorno al 500 a.C. [16], ed era un sistema puramente additivo in cui esisteva un numero limitato di simboli di valore costante.

Il numero 1 era rappresentato con un trattino verticale, ripetuto fino a quattro volte per rappresentare, appunto, i numeri da 1 a 4. A questo simbolo, se ne aggiungevano altri appositi per il 10 = - o (trattino orizzontale, cerchietto grande); il 100 = ד; il 1000 = Ψ; il 10.000 = C.

Nell’epoca alessandrina (III sec. a.C.), questo sistema venne sostituito dal sistema ionico o alfabetico.

Nella numerazione ionica, si faceva uso delle lettere dell’alfabeto greco che richiedeva ben ventisette simboli, tre in più di quanti ne contenesse l’alfabeto classico, motivo per cui si utilizzavano delle lettere presenti nell’alfabeto arcaico: stigma o sigma finale (ϛ), qoppa (Ϙ) e sampi (Ϡ).

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• α (alfa): 1; ι (iota): 10; ρ (rho): 100.
• β (beta): 2; κ (kappa): 20; σ (sigma): 200.
• γ (gamma): 3; λ (lambda): 30; τ (tau): 300.
• δ (delta): 4; μ (mu): 40; υ (upsilon): 400.
• ε (epsilon): 5; ν (nu): 50; φ (phi): 500.
• ϛ (stigma): 6; ξ (xi): 60; χ (chi): 600.
• ζ (zeta): 7; ο (omicron): 70; ψ (psi): 700.
• η (eta): 8; π (pi): 80; ω (omega): 800.
• θ (theta): 9; Ϙ (qoppa): 90; Ϡ (sampi): 900.

La scrittura di un numero si otteneva per giustapposizione di questi simboli, con un principio di posizione analogo a quello della numerazione decimale: ad esempio, il numero 123 si scriveva come ρκγ e non γρκ, sebbene questo potrebbe sembrare equivalente visto che i simboli hanno un valore fisso.

Era possibile anche scrivere numeri più grandi di 999: per le migliaia fino a 9000 si precedeva uno dei numeri unitari con un apostrofo (’), così ad esempio 1000 diventava ’α, mentre per le decine di migliaia si usava il simbolo M, ad esempio 320000 diventava M λβ.

► I greci rappresentavano anche le frazioni utilizzando l’apostrofo, posizionandolo però alla fine del numero anziché all’inizio. Così, per esempio, 1/2 diventava β’. Questa notazione andava bene finché il numeratore era unitario, ma quando non lo era si prestava a facili ambiguità. Ad esempio, ξβ’ è 60/2 oppure 1/62.

Per questo motivo, nel tempo, si utilizzarono altri metodi, come ad esempio porre un trattino sopra al numeratore per distinguerlo.

► I greci, al pari degli egiziani, si limitavano a considerare frazioni il cui numeratore era uno, e, soltanto a partire dal I sec. d.C. Erone e poi Diofanto, introdussero l’uso sistematico di frazioni con numeratore qualsiasi. ⁴

In particolare, Diofanto di Alessandria (II sec. d.C.), introdusse una rappresentazione del tutto analoga alla nostra, scrivendo la frazione come un numero che sovrasta una linea che sovrasta un numero, solo che il ruolo del numeratore e del denominatore era invertito, così per esempio la frazione ε/γ si scriveva 3/5.

Per questo e per aver snellito notevolmente il simbolismo matematico di quel tempo, Diofanto è da alcuni ritenuto il “padre” dell’algebra. [4]

Probabilmente la complicata rappresentazione greca dei numeri fu in un certo senso un freno allo sviluppo di tecniche aritmetiche a dispetto del prodigioso sviluppo che invece compirono in geometria.

Ciò nonostante i greci svilupparono una teoria delle grandezze, delle proporzioni, conobbero perfettamente i numeri razionali, il tutto sempre interpretato secondo la geometria sintetica.

⁴ Vedi appendice 3 - 11 -

Un loro grande merito è quello di aver organizzato sistematicamente tutto il sapere matematico conosciuto fino allora. ⁵

1.5. I Cinesi (incerto 1200 a.C. o 300 a.C.)

Le civiltà fiorite lungo i fiumi Yangtze e Giallo sono paragonabili, per la loro antichità, a quelle sviluppatesi lungo il Nilo o tra il Tigri e l’Eufrate [32]; tuttavia, i dati cronologici nel caso della Cina sono meno attendibili di quelli relativi all’Egitto e alla Babilonia. La datazione dei documenti matematici cinesi è molto difficile; si pensi, ad esempio, che le valutazioni riguardanti il “Chou Pei Suan Ching”, considerato il più antico testo di argomento matematico, differiscono tra loro di quasi un millennio, dal 1200 a.C. al 300 a.C.

La numerazione cinese era essenzialmente decimale e usava notazioni piuttosto diverse da quelle in uso in altre regioni. In Cina furono in uso fin dai primi tempi due sistemi di notazione: in uno era predominante il principio moltiplicativo, nell’altro veniva usata una forma di notazione posizionale. Nel primo schema vi erano simboli distinti per ogni cifra da uno a dieci e altri simboli per le potenze di dieci: nella scrittura dei numeri le cifre in posizioni dispari (da sinistra a destra o dal basso in alto) venivano moltiplicate per la cifra immediatamente successiva. Così il numero 678 sarebbe stato scritto come un sei seguito dal simbolo di cento, poi un sette seguito dal simbolo di dieci e infine il simbolo di otto.

Nell’altro sistema di notazione numerica a “bastoncini” le cifre da uno a nove e i primi nove multipli di dieci si presentavano così:

⁵ Vedi appendice 4 - 12 -

Usando questi simboli disposti alternativamente da destra verso sinistra, si potevano rappresentare numeri grandi quanto si voleva. È impossibile determinare con precisione la data di nascita della numerazione a bastoncini, ma essa era certamente in uso parecchi secoli prima dell’Era cristiana.

L’uso in Cina di un sistema posizionale centesimale, invece che decimale, era particolarmente adatto ai calcoli effettuati coi bastoncini disposti su una tavoletta. Notazioni distinte per potenze contigue di dieci permettevano ai cinesi di usare una tavoletta con colonne verticali non specificate. Prima dell’VIII secolo la posizione in cui si richiedeva uno zero veniva semplicemente lasciata vuota. Sebbene in testi anteriori al 300 d.C. i numeri e le tavole di moltiplicazione compaiano in forma scritta, di fatto, i calcoli venivano effettuati con trattini o bastoncini rappresentanti i numeri e disposti su una tavoletta.