Matematica per le applicazioni I - i numeri razionali

Memorie di matematica

Eugenio Montefusco

Queste note sono semplicemente un promemoria. L’intenzione è di ripassare alcuni argomenti di matematica che dovrebbero essere già noti, usando esercizi, qualche applicazione e premettendo un minimo di chiacchiere condito con qualche formula sintetica. Mi auguro che sia superfluo per tutti gli studenti, o che lo sia ben presto...

La dispensa è organizzata in cinque paragrafi, rifacendosi all’orario dei precorsi di matematica. Il primo paragrafo parla di numeri e intende richiamare solo le regole pratiche dell’algebra senza addentrasi nei problemi della fondazione della matematica. Nel paragrafo si affronta lo studio di equazioni e disequazioni, proponendo 2 esercizi da risolvere. La sezione successiva richiama alcune nozioni di geometria analitica. Infine, negli ultimi due paragrafi, si ripassano i concetti di funzioni periodiche ed esponenziali, riflettendo un poco su alcune definizioni basilari dell’analisi matematica che dovrebbero essere note. Naturalmente la scelta degli argomenti è del tutto personale, aspetto suggerimenti o correzioni visto che non mancano sviste o possibilità di miglioramento. Alcuni esercizi proposti sono di taglio un po’ più teorico, nella speranza che aiutino a capire maggiormente la materia, gli esercizi di tipo standard dovrebbero essere risolti senza eccessiva difficoltà.

In bibliografia sono riportati i testi a cui mi sono ispirato per l’organizzazione del materiale e la costruzione degli esercizi. Ovviamente gli argomenti proposti sono solo una minima parte del bagaglio culturale matematico che dovrebbe avere ogni scienziato, ma per colmare le altre lacune contiamo sulla buona volontà del lettore!

Note redatte per il precorso di matematica per studenti del corso di laurea in fisica, informatica e matematica, a.a. 2002-03.

1. Numeri, numeri, numeri...

1.1. La prima classe di numeri

Due chiacchiere sui numeri razionali. La prima classe di numeri che si incontra in matematica (e nella vita?) è quella dei numeri naturali ovvero {0, 1, 2, 3, . . .}. Essi strettamente legati alla necessità di enumerare. Le quattro operazioni note, ovvero somma, prodotto e soprattutto le loro inverse sottrazione e divisione (o forse il bisogno di gestire i debiti e le spartizioni?), ci costringono ad allargare i nostri numeri interiorizzonti. Si introducono così i {0, ±1, ±2, . . .} numeri razionali, frazioni, e, in un secondo momento, i cioè l’insieme delle frazioni, ma entriamo nello specifico.

Per frazione intendiamo il rapporto di due interi, e supporremo che il denominatore sia sempre un numero naturale non nullo, ovvero un intero positivo. Due frazioni a/b e c/d si dicono equivalenti se ad = bc, in tale caso entrambe rappresentano lo stesso numero razionale. In genere si preferisce prendere come rappresentante la frazione ridotta ai minimi termini, cioè quella il cui denominatore e numeratore non hanno fattori in comune (o, equivalentemente, hanno massimo comun divisore 1). Come noto valgono le seguenti leggi:

a/b > c/d se e solo se ad > bc,

a/b + c/d = (ad + bc)/bd,

a/b · c/d = ac/bd,

a/b : c/d = ad/bc, c = 0.

Svolgere le seguenti espressioni.

• 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/6,
• 1/2 · 1/4 + 1/6 + 2/24 + 1/4 + 1/6 : 1/6 + 1/24 + 1/3 · 1/2 + 1/4,
• 1/12 : 1/2 + 1/10 : 1/4 + 1/8 : 1/6 + 1/7,
• 1/2 · 1/4 − 1/8 + 1/16 + 1/3 + 2/5 + 1/7,
• 1/2 − 1/3 − 1/4 − 1/5 − 1/6,
• 1/2 · 1/3 − 1 + 1/4 + 1/5 + 1/6.

Alcuni problemi di geometria forzano ad allargare il nostro concetto di numero con l’introduzione dell’insieme numeri reali. Non discuteremo di questo, rimandando ai corsi di analisi, e ci limiteremo ad elencare gli assiomi che compongono la struttura di IR. In questo insieme sono definite due operazioni la somma e il prodotto ed un ordinamento che godono delle seguenti proprietà:

∀a, b ∈ IR a + b = b + a,

∀a, b, c ∈ IR a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c,

∃0 ∈ IR tale che ∀a ∈ IR, a + 0 = a,

∀a ∈ IR ∃(−a) ∈ IR tale che a + (−a) = 0,

∀a, b ∈ IR a · b = b · a,

∀a, b, c ∈ IR a · (b · c) = (a · b) · c = a · b · c,

∃1 ∈ IR\{0} tale che ∀a ∈ IR, 1 · a = a,

∀a ∈ IR\{0} ∃a⁻¹ tale che a · a⁻¹ = 1,

∀a ∈ IR a ≤ a,

Se a ≤ b e b ≤ a allora a = b,

Se a ≤ b e b ≤ c allora a ≤ c,

∀a, b ∈ IR a ≤ b o b ≤ a,

∀a, b, c ∈ IR a · (b + c) = a · b + a · c

∀a, b, c ∈ IR con a ≤ b allora a + c ≤ b + c,

∀a, b ∈ IR con a, b ≥ 0 allora a · b ≥ 0.

In futuro scriveremo a · b = ab e ab⁻¹ = a/b. Infine menzioniamo l’assioma di continuità, il quale, insieme ai precedenti assiomi, caratterizza IR, noi non parleremo di questo assioma rimandando a corsi o testi ([1] e [3], per esempio) più avanzati. Proponiamo ora pochi esercizi di tipo teorico, essi possono essere tralasciati per soffermarsi maggiormente sugli esercizi successivi.

Svolgere i seguenti esercizi.

• Provare che a0 = 0, ∀a ∈ IR.
• Provare che se a ≤ 0 allora (−a) ≥ 0.
• Dimostrare che, dati a, b, c ∈ IR, se a + b = a + c allora b = c.
• Mostrare che se a ≤ b e s ≥ 0, allora as ≤ bs.
• Dimostrare che se 0 ≤ a ≤ b allora a² ≤ b² (a cosa serve che a ≥ 0?).
• Ponendo aⁿ = a · . . . · a (n volte, con n numero intero) e (a⁻¹)ⁿ = a⁻ⁿ provare le seguenti proprietà delle potenze: a^m · aⁿ = a^n+m, a^m : aⁿ = a^m−n, (aⁿ)^m = a^nm, a⁰ = 1.

1.2. Problemi legati alla somma e al prodotto

Tutti gli assiomi precedentemente enunciati devono essere meditati: molti degli errori che si ripetono con una certa frequenza sono dovuti ad una conoscenza superficiale delle proprietà dei numeri reali. In particolare invitiamo a riflettere sulla legge distributiva del prodotto rispetto alla somma e al fatto che 0 non possiede un inverso rispetto all’operazione prodotto.

Semplificare le seguenti espressioni:

(x^3/4 − x^3/4)², (1 + a²)^4/3, (1 + a^1/2)^1/3.

Spiegare perché le seguenti operazioni non sono corrette:

(1 + a^2/3)^3/2 = 1 + a,

x² + x = 2x,

x² + 1/y = x + 1/y,

√2 · √3 = 1,

√2 + √3 = √5,

√2 √3 = √6.

Semplificare la seguente espressione:

1/a + 1/bc + 2/a − 2/b − 1/c + (a + b)/c − a/bc + 1/a − 1/b − 1/c.

1.3. Problemi legati all’ordinamento

Ordinare una coppia di numeri (ovvero dire chi è il più grande tra i due) può sembrare una banalità eppure è un problema da affrontare con attenzione, avere le idee chiare su quest’argomento significa capire molto meglio le proprietà delle disequazioni.

Dire quali delle seguenti disuguaglianze sono vere:

2/3 < 1, −1/2 ≤ 3/5, 1/2 ≥ 2/4, 1 < 1/(1/3 + 1/2).

Assumendo che a < 0 < b < c, dire quali delle seguenti relazioni sono vere:

ab < ac, ab ≥ ac, ab ≤ ac, ab > 0.

1.4. Il valore assoluto

Il valore assoluto o modulo di un numero reale è così definito:

|a| = a se a ≥ 0,

|a| = −a se a < 0.

Il senso della definizione deve essere estremamente chiaro: è la distanza di a da 0 su di una retta che rappresenta IR, quindi, in particolare, il modulo di un numero è sempre una quantità non negativa ed è nulla se e solo se a = 0.

Approfittiamo del momento per sottolineare una cosa estremamente importante, anche se decisamente poco nota. Poiché la radice quadrata (come tutte le radici di ordine pari) dà come risultato solo numeri non negativi vale ∀a ∈ IR √a² = |a|! Più avanti ritroveremo questa uguaglianza.

Esercizi.

• Calcolare i seguenti moduli: |2|, |1/5 − 3/2 · −3|, |1 + 1/3|.
• Provare che |a + b| ≤ |a| + |b|, ∀a, b ∈ IR.

2. Equazioni e disequazioni: miscellanea

2.1. La legge di annullamento del prodotto

Dagli assiomi di IR discende che un prodotto è nullo se e solo se uno dei suoi fattori è zero, risolvere equazioni significa esattamente questo: calcolare i valori dell’incognita per cui almeno uno dei fattori che compongono la nostra espressione è nullo. Quindi dobbiamo saper scomporre in fattori le nostre espressioni.

• Risolvere l’equazione x² − x − 6 = 0.
• Dire se l’equazione x² − 5x + 7 = 12 ha soluzioni.
• Risolvere l’equazione 2x + 4 = 0.
• Dire se x = 2 è radice del polinomio 2x³ − x² − 4x − 4, e in caso affermativo dividere il polinomio per x − 2.
• Dividere il polinomio p(x) = 6x² − 2ax + a²x − 1 per il polinomio d(x) = a − 2x.

2.2. Il prodotto e il suo segno

Le proprietà dell’ordinamento dei numeri reali ci dicono che un numero è maggiore di zero se e solo se i suoi fattori negativi sono in numero pari (provarlo!), questa idea è alla base della teoria delle disequazioni ed è fondamentale rifletterci un poco sopra. Questa e la precedente spiegazione giustificano l’accanimento nel fattorizzare opprotunamente polinomi e roba simile per tanti anni di scuola...

Risolvere le seguenti disequazioni.

• −2/5 ≥ 0,
• 3x/2 + 1/2 ≥ x/4 + 1/8 + 1/2 + 1/4 + 1/8,
• x³ + 3x²/4 − (x − 1)/2 ≤ 1 + 1/2 + x − 3/2,
• (x − 3)(x − 3) − (√3x − 1) ≥ 3 − √3(1 − x),
• x² − 15x + 16 > 0,
• x² − 8 ≥ 0,
• (x + 2)(x − 2)(x − 3) < 0,
• (x − 1)(x + 2)(x² − x − 6) ≥ 0,
• (−x + 1)/(x − 1) < 2.

Sapendo che Ax + B ≥ 0 se e solo se x ≥ 3, cosa si può dedurre per la disequazione Ax² + b ≥ 0?

È vero che A(x) > 0 e A²(x) > 0 sono equivalenti?

2.3. Sistemi di disequazioni

Questa tipologia di esercizi non presenta alcuna difficoltà rispetto ai precedenti, infatti si tratta di risolvere separatamente le disequazioni che formano il sistema e, solo alla fine, intersecare gli insiemi delle soluzioni nella speranza che tale intersezione non sia vuota...

Risolvere i seguenti sistemi:

• x² − 5x + 4 < 0, x − 2 ≥ 0,
• (x² + x) ≥ 0, 3x − x ≥ 0,
• x(2x − 1) > 0, x² − 1 > 0,
• 3x + 2 < 3, 2x + x + 4 ≤ 0,
• (x + 2)/(2x + 4) ≥ 0, 2(x + 1) > x,
• −4x + 1 < 5, 3x − 4/2 > 0,
• (x + 2)/(2x + 2x) > 3, 3x + 5/(x − 1) < 5 − 2x.

2.4. Ancora equazioni & disequazioni

Esercizi di vario tipo, l’unico consiglio è di procedere con calma e di usare la testa.

Risolvere le seguenti equazioni:

• √(x² − 4x − 2) = √(x − 2) − √(x + 2),
• √(2 − x²) = 4 − √x,
• √(3x − 2) − √x = 2 − √x,
• √2 = 2 − √3x.

Risolvere le seguenti disequazioni:

• |x − 1| ≤ 2,
• |x − 1| ≤ 3x + 4,
• x − 3x + 1 ≥ |x| ≥ |x − 1|,
• |x − 1| ≥ √2,
• |x − 7x + 12| ≥ 3|x − 3|,
• 2 − 2x < 2 − (1 + 3|2x − 3|),
• √(3 − |3 − 2x|) − 2x/(x − 2) < 0,
• |2 − 3x|/(3x − x + 2) < 1,
• √(5x + 2)/(x + 1) − 2 < 2 − √x,
• (x − 1)/(x + 1) ≥ (x − 2)^1/3 /(x + 2)^1/2,
• x + 1 < x + 2x + 3x².

Risolvere i seguenti sistemi:

• 2x + y = 0, x − y = 0,
• x + y = 0, x − 3y = 7,
• x − y = z, x + z = 3,
• −y − 4x = 0, −y − 2x + 5z = 4.

3. Geometria analitica

L’idea fondamentale di Descartes che è alla base della geometria analitica è quella di fornire il piano euclideo di un sistema di riferimento ortogonale. In questo modo è possibile associare a rette e coniche delle equazioni e far corrispondere a equazioni delle curve piane: il risultato è che ora i metodi dell’algebra sono a disposizione per lo studio della geometria. Ovviamente non possiamo condensare la geometria analitica in poche pagine, quindi rimandiamo ad opportuni testi per uno studio completo, in ogni caso proponiamo vari esercizi. Il lettore non dovrebbe incontrare problemi nel risolverli.

3.1. Punti e rette

Nella geometria cartesiana i punti sono individuati tramite due coordinate (le proiezioni sugli assi coordinati), mentre le rette sono in corrispondenza con le equazioni di primo grado (lineari) in due incognite. Ricordiamo alcune formule indispensabili:

• Dati due punti P e Q la loro distanza è √((x_P − x_Q)² + (y_P − y_Q)²).
• Dati due punti distinti P e Q esiste un’unica retta passante per essi di equazione (x − x_Q)(y_P − y_Q) = (y − y_Q)(x_P − x_Q).
• Date due rette {ax + by + c = 0} e {a₀x + b₀y + c₀ = 0}, esse sono parallele se ab₀ = a₀b, perpendicolari se aa₀ + bb₀ = 0.

Esercizi.

• Trovare la distanza tra le seguenti coppie di punti (1, 2) e (−2, 3), (1, 2) e (√2, 1), (−3, 0) e (2, −1).
• Scrivere l’equazione e disegnare le rette passanti per le seguenti coppie di punti (2, −1) e (−1, 0), (−2, 1) e (−2, 3), (1, 2) e (−1, −1).
• Scrivere l’equazione della retta passante per il punto (2, −1), e avente coefficiente angolare −3x poi disegnarla.
• Tracciare la retta di equazione y = −3x + 5 e quella di equazione −3x − 4y − 9 = 0.
• Scrivere l’equazione della retta passante per (1, 2) e parallela a −(x + 1) = 3y.
• Scrivere l’equazione della retta passante per il punto (1, 2) ortogonale alla retta dell’esercizio precedente.
• Calcolare la distanza tra il punto (1, 1) e le rette x + 2 = 0 e x + y = 1.

3.2. Qualcosa sulle coniche

Le coniche occupano un posto importante nella matematica e nel suo sviluppo storico, in questa sede ci limitiamo a dire che sono in corrispondenza con equazioni di secondo grado (o quadratiche) nelle due variabili, per uno studio un po’ più completo rimandiamo ad opportuni manuali (ad esempio [2]). Completiamo questo paragrafo con un’importante osservazione: per cercare i punti comuni a due (o più) curve è sufficiente risolvere il sistema composto dalle equazioni delle curve. Ricordiamo alcune equazioni.

L’equazione di una circonferenza è (x − α)² + (y − β)² = ρ², dove il centro ha coordinate (α, β) e ρ > 0 è il raggio della curva.

L’equazione di una generica parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate è {y = ax² + bx + c}.

• Scrivere l’equazione della circonferenza centrata nell’origine e avente raggio 2.
• Scrivere l’equazione della circonferenza centrata nel punto (−1, 2) e passante per il punto (0, 2).
• Trovare centro e raggio della circonferenza x² + y² − 6x + 2y + 6 = 0, inoltre disegnarla sul piano cartesiano.
• Trovare i punti comuni alla retta −x − y + 2 = 0 e alla circonferenza centrata in (1, 2) avente raggio 1.
• Scrivere l’equazione della circonferenza centrata in (−1, 1) e tangente alla retta −3x − 4y − 9 = 0.
• Trovare i valori del parametro k per cui la retta kx − y + k = 0 risulta esterna, secante e tangente alla circonferenza individuata dall’equazione x² + y² − 2x = 0. Relativamente ai valori di k per cui si ha tangenza calcolare le coordinate del punto comune a retta e conica.
• Disegnare la parabola y = 3x² − x + 1 e determinare i punti di intersezione con la retta di equazione y = x + 1.
• Determinare i valori di k per cui la parabola y = x² − 4x + k interseca la retta 2x + y = 0 in due punti.
• Scrivere l’equazione della parabola avente asse di s