Forza elastica e formula della legge di Hooke

In questo appunto di Fisica si affronta lo studio della forza elastica, definendone le caratteristiche come vettore, tramite il modulo, la direzione ed il verso e descrivendo come si giunge alla formulazione della sua espressione.

Corpi elastici e corpi rigidi

Prima di affrontare uno studio dettagliato della forza elastica è bene descrivere alcune caratteristiche dei corpi esistenti in natura.
I corpi che sono oggetto di studio in Fisica vengono distinti in categorie a seconda di alcune loro proprietà. In base alle proprietà possedute da un corpo, che possono dipendere sia dalla natura del corpo che dalla sua produzione, si stabilisce la sua categorie di appartenenza ed a seconda di questa, scegliamo le leggi fisiche con cui gestire ed affrontare il suo studio.
I corpi si possono dividere in:

• corpi rigidi o anelastici
• corpi perfettamente elastici
• corpi non perfettamente elastici

I corpi rigidi godono della proprietà secondo la quale se vengono sottoposti a sollecitazioni mediante forze di qualsiasi natura, rimane costante nel tempo la distanza fra ogni loro punto.
Questo significa che se si sottopone un corpo rigido a qualsivoglia sollecitazione mediante forze, lo stesso non si deforma, bensì raggiunta la sollecitazione limite, arriva a rottura.
I corpi perfettamente elastici, contrariamente ai corpi rigidi, se sottoposti a sollecitazioni da parte di forze, tendono a far variare la loro forma (dilatandosi o contraendosi) ed una volta cessata la sollecitazione tornano esattamente nella forma iniziale. Possiamo quindi dire che un corpo perfettamente elastico si deforma se sottoposto all’azione di forze e torna nella sua configurazione indeformata nel momento in cui cessano di agire le sollecitazioni.
I corpi non perfettamente elastici, se sottoposti a sollecitazioni, si deformano, ma nel momento in cui cessano di agire le forze cui lo abbiamo sottoposto, rimangono delle deformazioni residue, la cui entità serve per quantificare la più o meno buona elasticità del corpo stesso. Per cui si può affermare che un corpo non perfettamente elastico si deforma sotto l’azione di forze, ma quando queste cessano di agire rimane parzialmente deformato.
Sia i corpi rigidi che i corpi perfettamente elastici sono dei modelli fisici ideali che non si ritrovano in natura, poiché per quanto rigido possa essere un corpo, sarà sempre dotato di una piccola elasticità. Ugualmente per quanto possa ritenersi elastico un corpo, rimarranno sempre delle deformazioni residue a fine sollecitazione.
In natura avremo sempre a che fare con corpi non perfettamente elastici, per quanto buona possa essere la loro caratteristica di elasticità.

Molla ideale

La trattazione che affrontiamo riguarderà i corpi perfettamente elastici ed in particolare tutti quei dispositivi (molle ed elastici) capaci di esercitare sollecitazioni elastiche le cui caratteristiche saranno descritte nei paragrafi successivi.
Una molla è un dispositivo che può essere realizzato in vari materiali, i quali determinano le sue caratteristiche di resistenza o rigidezza, capace di esercitare una forza elastica.
Nello studio che faremo utilizzeremo sempre molle ideali, ossia dispositivi elastici con le seguenti caratteristiche:

1. massa trascurabile o nulla;
2. deformazioni residue nulle.

La massa della molla dovrà essere considerata nulla, poiché se così non fosse, la molla potrebbe deformarsi sotto l’azione del proprio peso una volta posta in posizione verticale. Tale deformazione dovuta al peso proprio della molla non deve influenzare l’azione di questo dispositivo, quindi si suppone di poter trascurare la massa della molla.
La molla ideale ha deformazioni residue nulle, ossia cessate le azioni sollecitanti agenti su di essa, torna nella sua configurazione iniziale indeformata. Per esempio se sottoponendo una molla ideale ad una tensione, T, vediamo che tale dispositivo di allunga di 1cm, nel momento in cui la tensione (forza sollecitante T) cessa di agire, tale molla si accorcia esattamente di 1cm e torna nella sua configurazione iniziale indeformata.
Le ipotesi descritte sopra per una molla ideale non sono realizzabili nella realtà (anche se con le tecnologie moderne si riesce ad approssimarle molto bene), ma servono per costruire un modello fisico matematico di riferimento necessario per lo studio dei fenomeni elastici.

Che cos'è la forza elastica e qual è la Legge di Hooke?

Robert Hooke era un fisico e matematico inglese del Seicento che apportò un grande contributo allo studio dell’elasticità dei corpi.
La legge di Hooke mette in relazione la forza agente (o sollecitante) su di un corpo elastico con la deformazione che questo subisce di conseguenza, affermando che esiste una proporzionalità diretta fra forza sollecitante e deformazione subita.
Più precisamente afferma che:
Un corpo elastico sottoposto a sollecitazioni da parte di forze, subisce una deformazione direttamente proporzionale a tali forze.
A tale conclusione si può arrivare sperimentalmente utilizzando una molla ad asse verticale con un estremo fissato ed uno libero, ed applicando a questa della masse di valore via via crescente.
Si nota che sotto l’azione del peso delle masse applicate, la molla si deforma allungandosi. Aumentando la massa applicata all’estremo libero della molla, aumenta la deformazione (allungamento) in modo lineare.
Calcolando il rapporto fra il peso applicato alla molla e l’allungamento prodotto dal peso stesso, tale valore risulta essere costante per i vari pesi applicati, ossia
P1/L1 = P2/L2 = P3/L3 = P4/L4 = P5/L5 = … = Pn/Ln = k
Tale valore k risulta essere la costante di proporzionalità fra forza applicata e deformazione ottenuta che dimostra l’esistenza di una relazione di proporzionalità diretta fra le grandezze fisiche agenti.
La formula vettoriale che ne è stata ricavata e che descrive questa relazione è la seguente:
Fe = -k(ΔL)
dove
Fe è il vettore forza elastica
k è la costante elastica o rigidezza della molla
ΔL è la variazione di lunghezza della molla.
La forza elastica, Fe, è la reazione esercitata dalla molla quando viene sollecitata.
La costante elastica della molla è una grandezza che si misura in Newton su metri, N/m, (Sistema Internazionale) e che quantifica quanto una molla sia deformabile o meno, chiamata per questo anche rigidezza della molla, perché indice di quanto la molla sia rigida. Si osserva che più è alto il valore di k, maggiore dovrà essere la forza da impiegare per ottenere una data deformazione della molla, minore è il valore di k, minore dovrà essere la forza applicata per ottenere la stessa deformazione.
La rigidezza di una molla è una sua caratteristica di costruzione, ossia quando un tale dispositivo viene progettato e costruito si tiene conto delle sollecitazioni agenti e delle deformazioni accettabili che dovrà sostenere, per ottenere un dato valore della rigidezza.
La deformazione ΔL, che può essere un allungamento o una contrazione, viene definita come un vettore spostamento, il cui modulo è la variazione di lunghezza della molla rispetto alla sua configurazione indeformata, Lo.
ΔL = Lf – Lo [m]
Lf = lunghezza finale della molla una volta applicata la forza sollecitante
Lo = lunghezza iniziale della molla o lunghezza a riposo
La direzione di ΔL sarà sempre diretta lungo l’asse della molla ed il verso sarà quello della forza sollecitante.
Nell’ambito di questo trattato non considereremo deformazioni che abbiano direzione diversa da quella dell’asse della molla in esame.
Analizziamo in dettaglio modulo, direzione e verso della forza elastica.
Il modulo di Fe è dato da
Fe = k(ΔL) [N]
ossia è il prodotto della costante di rigidezza per la variazione di lunghezza della molla, ΔL = Lf – Lo
La direzione di Fe coincide con quello dell’asse della molla, mentre il suo verso è sempre tale da opporsi alla deformazione, per tale motivo si mette il segno meno nella forma vettoriale della formula della forza elastica.
Tale segno negativo sta a significare che la forza elastica si oppone sempre alla deformazione che le si vuole imprimere: se si applica una sollecitazione che tende ad allungare la molla, questa risponderà con una forza che tenderà ad accorciarla; se si applica una sollecitazione che tende a comprimere la molla, questa risponderà con una forza che tenderà ad allungarla.
Se ne conclude che una molla, se sollecitata, applicherà sempre una forza elastica, che tende a riportarla nella sua configurazione indeformata, ossia alla sua lunghezza a riposo, Lo.

Forza posizionale

La forza elastica viene definita come forza posizionale ossia una forza che dipende dallo spostamento del suo punto di applicazione.
Facciamo un semplice esempio per chiarire meglio questo concetto.

Consideriamo una molla ideale ad asse verticale, con l’estremo superiore fissato e quello inferiore, libero.
Le caratteristiche della molla sono le seguenti:
k = 550N/m
supponiamo di applicare all’estremo libero di tale molla le seguenti masse
M1 = 1Kg
M2 = 1,5Kg
M3 = 2Kg
Otterremo
Fe1 = (1)(9,81)N = 9,81N
Fe2 = (1,5)(9,81)N = 14,7N
Fe3 = (2)(9,81)N = 19,6N
Troveremo rispettivamente che
ΔL = (Fe)/k
ΔL1 = (9,81)/(550) m = 0,018m
ΔL2 = (14,7)/(550) m = 0,027m
ΔL3 = (19,6)/(550) m = 0,036m
Dai valori approssimati trovati delle deformazioni si può vedere che per sollecitazioni maggiori (pesi maggiori) si ottengono deformazioni maggiori.
Per deformazioni maggiori il punto di applicazione della forza sollecitante si sposta verso il basso.
Per approfondimenti riguardanti la forza posizionale vedi anche qui