Formulario Elettrotecnica

Fasori

Dominio nel tempo

x(t) = X_mcos(ωt + φ)

x(t) = X_msin(ωt + φ) = X_mcos(ωt + φ - ^π/₂)

Dominio dei fasori

NB: il fasore è riferito al valore massimo.

Dominio dei fasori

Dominio del tempo

x(t) = Re { X e^jωt }

Dominio dei fasori

X = Xe^jφ

Dominio del tempo

x(t) = Re { X e^jωt }

Esempio

X = ¹/₂ + j ^√3/₂

Metodo 1

x(t) = Re { ( ¹/₂ + j^√3/₂ )(cos(ωt) + j sin(ωt)) } =

= Re { ¹/₂cos(ωt) - ^√3/₂sin(ωt) + j( ^√3/₂cos(ωt) + ¹/₂sin(ωt)) } =

= ¹/₂cos(ωt) - ^√3/₂sin(ωt)

Metodo 2

|X|= √( ( ¹/₂ )² + ( ^√3/₂ )² ) = 1

φ = arc tg (^√3/₂/¹/₂) = arc tg √3 = ^π/₃

Re (X) >= > 0

x(t) = Re { 1 e^{j π/3} e^jωt } = Re { 1 e^{j(ωt + π/3)} } =

= cos(ωt + ^π/₃)

Teoria: valore efficace, trasformazione stella triangolo e tronchi di tensioni trifase

Fasore riferito rispetto al valore massimo

x(t) = X_mcos(ωt + φ) → X = X_me^jφ

x(t) = Re { X e^jωt }

Fasore riferito rispetto al valore efficace

x(t) = X_mcos(ωt + φ) X = ^X_m/_√2 e^jφ

→ x(t) = √2 Re { X_e e^jωt }

Fasori

Dominio nel tempo ➔ dominio dei fasori

x(t) = X_m cos(ωt + φ) ➔ X = X_m e^jφ

cosφ + jsinφ

NB: il fasore è riferito al valore massimo.

x(t) = X_m sin(ωt + φ) = X_m cos(ωt + φ - π/2)

X_m e^{j(φ - π/2)} = X_m e^jφ e^-jπ/2 = -j X_m e^jφ

= -j

Dominio dei fasori ➔ dominio del tempo

X = Xe^jφ

x(t) = Re {X e^jωt}

Esempio

X = 1/2 + j √3/2

Metodo 1

x(t) = Re {(1/2 + j√3/2) (cos(ωt) + j sin(ωt))}

= Re {1/2 cos(ωt) - √3/2 sin(ωt) + j (√3/2 cos(ωt) + 1/2 sin(ωt))}

= 1/2 cos(ωt) - √3/2 sin(ωt)

Metodo 2

|X| = √( (1/2)² + (√3/2)²) = 1

φ = arctg √3/2= arctg √3 = π/3

X = |X| e^jφ

|X| = √( (1/2)² + (√3/2)²) = 1

φ = arctg √3/2 = arctg √3 = π/3 x(t) = Re {1 e^jπ/3 e^jωt}

= Re {1 e^{j(ωt + π/3)}}

= cos (ωt + π/3)

Teoria: valore efficace, trasformazione stella-triangolo e terne di tensioni trifase

Fasore riferito al valore massimo

x(t) = X_m cos(ωt + φ) ➔ X = X_m e^jφ

X ➔ x(t) = Re {X e^jωt}

Fasore riferito al valore efficace

x(t) = X_m cos(ωt + φ)

X = X_m / √2 e^jφ

X ➔ x(t) = √2 Re {X e^jωt}

Teorema del max trasf. di potenza attiva

Z assorbe la max. potenza attiva sse Z = Zth*

P_{o max} = 1/2 |E_th|² / 4Re{Zth} (Fissori, inferiori rispetto al valore max)

Impedenza e ammettenza

Impedenza e Ammettenza / = = + [Ω]

Impedenza resistenza reattanza / = = + [S]

Ammettenza conduttanza suscettanza

Condensatore

Condensatore^1/ = C [F] = capacità

= 1/2 C²

Energia assorbita dal condensatore

Induttore

Induttore^1/ = /L [H] = induttore

= 1/2 L²

Energia assorbita dall'induttore