Formulario di trigonometria

Formule trigonometriche C. Enrico – F. Bonaldi 1

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Formule trigonometriche

In trigonometria esistono delle formule fondamentali che permettono di calcolare le funzioni

goniometriche della somma di due angoli o della loro differenza, della metà, del doppio ecc.

Si chiamano formule di: addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione, parametriche, prostaferesi,

Werner.

FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

Dimostriamo ora come si arriva alle formule di sottrazione del coseno e del seno, che sono quelle da

cui si ricavano le altre in maniera immediata: 2 2

Disegniamo la circonferenza goniometrica di equazione x + y = 1

α−β,

Per ipotesi gli angoli RÔS e QÔP sono congruenti e di ampiezza i segmenti RQ e PS sono

congruenti perché corde uguali che sottendono archi uguali; si avrà quindi:

2 2

RQ = PS

e le coordinate dei loro estremi saranno allora:

R(1 ; 0)

α ; α)

P(cos sin

β ; β)

Q(cos sin

(α−β) ; (α−β) ]

S[ cos sin www.matematicamente.it

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per la formula della distanza fra due punti è

2 2

2 = ( α − β ) + ( α − β )

RQ cos cos sin sin

analogamente:

2 2

2 = [ − 1 ] + [ ]

PS cos(α−β) sin(α−β)

quindi possiamo uguagliare le due relazioni ed ottenere in tal modo

2 2 2 2

[ ] + [ ] = (cos α − β) + (sin α − β)

cos(α−β)−1 sin(α−β) cos sin

svolgendo i quadrati si otterrà:

2 2

(α−β) + 1 − 2 + (α−β) − 2 =

cos(α−β) sin sin(α−β)

cos

2 2 2 2

= α + β − 2 α β + α + β − 2 α β

cos cos cos cos sin sin sin sin

2 2

2 2

α + α β + β = 1,

per il primo principio della trigonometria, risulta sin cos = 1 e sin cos

quindi diventa

2 − 2 = 2 − 2 α β − 2 α β

cos(α−β) cos cos sin sin

semplificando per due e cambiando i segni si ottiene alla fine la formula di sottrazione del coseno:

− β) = α β + α β

cos(α cos cos sin sin

Ecco la formula di sottrazione del seno:

(α−β) = 90° − (α−β) ],

ricordando che è sin cos[ possiamo scrivere

= 90° − (α−β) ] = (90° + β) − α) ]

sin(α−β) cos[ cos[

Utilizzando la formula di sottrazione del coseno e ricordando le relazioni che intercorrono tra archi

associati, può scriversi

= 90° − (α−β) ] = (90° + β) − α ] = + β)cos α + + β)sin α =

sin(α−β) cos[ cos[ cos(90° sin(90°

− β α + β α

sin cos cos sin

quindi la formula cercata è

− β) = α β − α β

sin(α sin cos cos sin

Le altre due formule si ricavano facilmente tenendo conto che è

= α−(−β) ] + β) = (α−(−β) ]

sin(α+β) sin[ e cos(α cos[ www.matematicamente.it

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Quindi le formule di addizione sono le seguenti:

= α β + α β

sin(α+β) sin cos cos sin

= α β − α β

cos(α+β) cos cos sin sin

Per la tangente, che sappiamo essere il rapporto tra seno e coseno (2° principio della goniometria),

le formule sono:

α β

+

tan tan

( )

α β

+ =

tan α β

−

1 tan tan

α β

−

tan tan

( )

α β

− =

tan α β

+

1 tan tan α

valide solo se è (α+β) ≠ 90° + k 180°, (α−β) ≠ 90° + k 180°, ≠ 90° + k 180° ed infine

β ≠ 90° + k 180°, i