Fondamenti di automatica

Fondamenti di Automatica - riassunto teoria

Osservabilità

Osservabilità: proprietà che l'influenz._ta l'uscita si occupa di A 1.

Raggiungibilità

Raggiungibilità: proprietà, le cu. armonica può essere isolata si occupa di B.

Risposta libera dell'uscita

Risposta libera dell'uscita: ye = C e^At X₀ = C X₀ + CAt X₀ + CA² t² X₀ + CA³ t³ X₀ +...

Sviluppo in serie di 1^o modo naturale osservabile.

Risposta libera dello stato

Risposta libera dello stato (sistema): X_e(t) = e^AtX₀= X₀ + AT X₀ + A² t² X₀ + A^{3 3} X₀.

1 osservabile¹ non osserv. influenza l'uscita A non influenzano l'uscita.

Modo naturale _λ1 = -1 dotato della soluzione dello sviluppo in serie.

Sys e modi naturali

Sys può essere che parte di esso non dia contributo all'uscita detto modi naturali non osserv. autovalori associati non osserv.

• Sys oss. Se tutti gli autovalori sono osservabili.
• Se non oss. è instabile il sys intero non è stabilizzabile.

Se non possiamo misurarlo dell'uscita non possiamo controllarlo.

Modo naturali instabili (valore > 0 per t →00).

SottoSYS instabile sys.

Da matrici a equazioni differenziali

Da matrici a EQ di differenziali A = (3 1 4 -2) B = (1/3 _u1 _u)(1 -1)(y) C = (1 -1).

Impianto_x'₁ = 3 x₁ + 1 x₂ + 1/3 und_x'₂ = 4 x₁ -2 x₂.

Y = 1 x₁ - 1 X₂.

X(0) =X₀.

Condizione iniziale.

Proprietà matrici

Proprietà matrici: si può moltiplicare rigo x colonna sem x colonna rigo.

• Inverto elementi diagon. princip.
• Cambio segno diagon. second.
• Divido x il det.

Se mon diagonale-triang. M. triang. sup. M. triang. inf.

Il diagramma a blocchi uso x determinate le parti oe.

Forma canonica osservabile

Forma canonica osservabile: vettore di stato N.B. l’uscita dipende solo dalla parte oss.

Osservabilità in uscita -> non potremmo vedere una parte della dinamica -> cioè alcuni modi naturali che caratterizzano la risposta libera del sys.

Raggiungibilità attraverso il forzamento (immesso) u possiamo non raggiungere (eccitare) uno dei modi naturali.

X_g = ∫(A(t-τ) + B(u(τ)))dτ -> integrale di convoluzione.

Forma canonica raggiungibile

Forma canonica raggiungibile x mettere in risolto le proprietà di R e R- matrice trasformazione sup -∀ matrice A, B, C ∃ una T_R ∈ R^r×m nonsingolare t.c.:

A_g = T_e · A · T_e^-1 = (_Ae x (_Ae A_g

B_e = T_e · B parte RAGG parte non RAGG.

C_R = C · T_e^-1.

Spazio di stato

Spazio di stato in 2 parti: x̅ = (x̅_e x̅_i).

x̅̇ = A_e x_e + A₂ x_i + b_e u.

∀ matrice A, B, C ∃ una Te → immesso il contributo delle armoniche.

y = C_e x_e + C₂ x_i.

X _g = C(t-τ) -∫ - condizione iniziale.

Se il sys è in forma canonica OSS è facile identificare sottosys OSS e non OSS.

σ{A} = σ{A₂} ∪ σ{A_E}.

Se μ=r=m → il sys. si dice raggiungibile.

Esempio

Esempio A= ⎛1 2 0⎞ B= ⎛1⎞ (0) C= (1 1 ⎠0).

X = ⎛X₁⎞(X₂)0.

Se il sys è in forma canonica Raggi è facile identificare sottosys Raggi e non Raggi.

• Individuo blocco nullo in B lontano in A con la linea orizzontale.
• Trovo blocco il blocco nullo in A e riporto linea verticale in C.

Suppon sottosys _R e _R̅.

λ ^{(I 0)}_{(0 I)}= ^{(I 0)}_{(0 λ)}.

6∪ autovalori multipli: > sono sulle diagonale principale.

• Matrici diagonali triangolari.

Oppure det(I - A) = |I - A|.

Sistemi_{S R} = {A₁₁