Fondamenti di automatica

Revisionato il 10/09/2026

di aqaurora

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Questi sono appunti utili per lo svolgimento alla fine del corso per la prova d'esame di Fondamenti di automatica. All'interno sono presenti innumerevoli esercizi guidati con spiegazione e …

Esame Fondamenti di informatica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Oliva Massimo

Università Politecnico di Milano

A.A. 2024-2025

88 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

Lezione 12

X(z) = z²/(z-a)²

x(k) = (k+1)a^k

ρ < 1

x(k) = Aρ^k(k+1)cos(kθ+φ)

Lezione 12

x(z)

x(z) = z²/(z-a)²

x(k) = (k+1)a^k

ρ < 1

x(k) = Aρ^k(k+1)cos(kθ + φ)

x₍₂₎s

x₍₂₎

x(t)

Cbaedofgb'c'd'f'g'o'

jω/2

-jω/2

Arco di cir. di raggio e^2π

A = x + jϕ

B = 2 + jω_s/2

C = 0 + jω_s/2

D = -1 + jω_s/2

E = -1 + j0

F = -1 - jω_s/2

O' = 1

A' e^2T

ρ = e^2T

ϑ = ωT = 0

B' = e^2T

ϑ = ω_sτ = π

τ = π

ρ = 1

ϑ = π

C' = -1 + jϕ

D' = e^-T

ϑ = π

ρ = e^T = e^-T

ϑ = π

E' = e^-T

ϑ = ρ

E' = e^-T = e^-T + jϕ

F' = D' = -e^-T + jϕ

U = O - j w_s/2

g = e^{j π} = -1 + j0

A = O + j w_s/4

B = - w_s/4 + j w_s/4

A¹ = e^{j π/2} ≡ ϱ + jΘ = w_s/2

T = -π

A¹ = e^{o T} = 1

Θ = w_s/4

2π

w_s

π/2

B^s = e^-π/k e^{j π/2}

Θ = π/2

e^-π/2

δ = 0.7

δ = cos(π/4)

C = -\frac{ω_s}{8} + j \frac{ω_s}{8}

C¹ ⇒ ρ = e^{-\frac{ω_sT}{8}} = e^{-\frac{π}{4}}

θ = \frac{π}{4} ⇒ e^{-\frac{π}{4}} (cos \frac{π}{4} + j sin \frac{π}{4})

D¹ = e^{-\frac{π}{4}} + j ∅

x(t) → X(s) → X*(s) → G(s) → Y*(s) → y*(t)

Lezione 13-14

Y(s) = G(s) · X*(s)

Y*(s) = (G(s) · X*(s))*

y*(cs) = _-∞∑^∞ [G(cs-jhω_s) · X*(cs-jhω_s)]

x*(cs) = X*(cs-jhω_s) th intero positivo o negativo

X*(cs) = _-∞∑^∞ G(cs-jhω_s) · X*(cs)

y*(cs) = _-∞∑^∞ [G(s-jhω_s) · X(t)]

X(e^jω)|_γ = X*(cs)

∴ Y(z) = G(z) · X(z)

Y(z) = G(z) · X(z)

Z^-1{ Y(z) } = Z^-1{ G(z) · X(z) } = ∑_k=0^k g(i) · x(k-i)

Y(s) = G(s) · X(s)

Y^*(cs) = [ G(cs)· X(cs) ]^* ≠ G^*(cs) · X^*(cs)

Y^*(cs) = ¹/_T ∑_∞^∞ G(cs-jhω_s) X(s-jhω_s)

Y^*(s) = G X^*(s)

Y(z) = G X(z) ≠ G(z) · X(z)

G X(z) = Z{ G(s)· X(s) }

X(L)

X(s)

X*(t)

X*(s)

X₁(t)

X₁(s)

G₁(s)

X*(s)

Y(t)

Y(s)

Y*(t)

Y*(s)

Y_*(s) = [G₂(s) · X₁*(s)] *

Y*(s) = G₂(s) · X₁*(s)

X₁*(s) = G₁(s) · X₁*(s)

X₁*(s) = G₁(s) · X*₁(s₀)

Y*(s) = G₂*(s) · G₁(s) · X_*(s)

=> Y(z) = G₁(z) · G₂(z) · X(z)

Y(z) = G(z) · X(z)

X(z)

G₁(z)

Y*(z)

G(z) = G₁(z) · G₂(z)

G(z)

X(z)

G₁(z)

Y(z)

G₂(z)

X(s)

X_f(s)

Y(s)

Y_f(s)

{Y(s) = G₂(s) · X₁(s) ⇒ Y(s) = G₁(s) · G₂(s) · X_f(s)

{X₁(s) = G₁(s) · X_f(s)

Y_f(s) = [ G₁(s)] = [G₁(s) · G₂(s)]_f · X_f^f(s)

Y(z) = G₁G₂(z) · X(z)

X(z)

Y(z)

G₁G₂(z) = { G₁(s)G₂(s) ≠ { G₁(s) }{ G₂(s)

Ex. G₁(s) = 1/(s+1) G₂(s)

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