Fisica Tecnica

Fisica tecnica

Laurea triennale in Ingegneria Gestionale

C. Scimeca, R. Scimeca

Università degli Studi di Palermo | Scuola Politecnica

Prefazione

Il presente testo costituisce una sintesi completa del corso di Fisica Tecnica, di V. La Rocca, ed è diviso in due sezioni: “Trasmissione del calore e moto dei fluidi” e “Termodinamica”. Le fonti sono appunti presi a lezione, slide e altro materiale didattico fornito dal professore e, dove necessario, approfondimenti sul web.

La prima sezione sintetizza la parte dello studio della fisica tecnica che concerne la trasmissione del calore e il moto dei fluidi. Per quanto riguarda la prima parte, verranno trattate approfonditamente le 3 forme di trasmissione del calore prima singolarmente e poi in forma mista. Non mancano applicazioni pratiche come scambiatori di calore e problema della sbarra. Nella seconda parte, dopo una introduzione alle leggi dell'idrostatica ci si occupa delle correnti fluide nei tubi. Il manuale da cui si è preso maggiormente spunto è "fisica tecnica - trasmissione del calore, moto dei fluidi" (Rodonò, Volpes).

La seconda sezione tratta della parte di fisica tecnica relativa alla termodinamica. Dopo una esaustiva introduzione ai concetti fondamentali della termodinamica, non manca l'analisi approfondita dei cicli termodinamici più importanti (Carnot, Otto, Diesel, Rankine, termomotore a gas) anche attraverso le applicazioni di questi per la costruzione di macchine reali come motori a benzina e diesel, frigoriferi, climatizzatori. Un capitolo ciascuno è dedicato ai passaggi di stato e alla nozione di aria umida, dal punto di vista tecnico. Il manuale da cui si è preso spunto è "fisica tecnica - termodinamica" (Rodonò, Volpes).

Si augura una buona lettura,

I Dottori, C S – R S

Claudio Cimeca Riccardo Cimeca

Università degli studi di Palermo – Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Gestionale

Sintesi del corso di Fisica Tecnica (del Professore V. La Rocca)

Fisica tecnica per Ingegneria Gestionale

Trasmissione del calore

La conduzione

Capitolo 1. Modi di trasmissione del calore (1.1)

Quando all’interno di un corpo esistono differenze di temperatura, si verifica in esso un trasferimento di energia, dalle parti più calde alle più fredde. Chiamiamo tale trasferimento energetico trasmissione del calore. Essa si verifica anche tra corpi distinti, siano essi fluidi o solidi, e avviene anche tra corpi posti a distanza e separati da uno spazio vuoto. Sebbene il calore si trasmette in maniera piuttosto complessa, il fenomeno della sua trasmissione può essere idealmente schematizzato in tre modi fondamentali: conduzione, convezione e irraggiamento. Questi possono presentarsi singolarmente, o combinati; quando ciò accade si cerca, se possibile, di calcolarne separatamente gli effetti.

La conduzione è il modo di trasmissione del calore che si verifica principalmente nei corpi solidi. In questi tutte le particelle interagiscono con quelle vicine e danno luogo a scambi di energia. Questa trasmissione energetica avviene senza nessun trasferimento macroscopico di materia.

La convezione avviene nei fluidi, dove la possibilità di spostamento delle molecole è ben più ampia. Non si tratta più di scambi energetici tra particelle, ma dello spostamento di porzioni di materia fluida, ed il processo di uniformazione dell’energia è molto più attivo che nella conduzione.

L’irraggiamento è legato alla proprietà, posseduta da ogni corpo, di emettere radiazioni elettromagnetiche, e assorbire a sua volta radiazioni emesse. Se il corpo ha una temperatura diversa da quella dei corpi circostanti, l’energia che esso emette non bilancia quella assorbita, e perciò avviene un trasferimento di energia.

Postulato di Fourier (1.2)

Una prima informazione sulla conduzione del calore si ricava da una semplice osservazione sperimentale. Si supponga di avere una lastra piana di un materiale omogeneo avente uno spessore piccolo rispetto alle altre due dimensioni. Le due facce 1 e 2 della lastra siano tenute rispettivamente alle temperature t₁ e t₂, con t₁ > t₂. Si consideri di questa lastra una porzione di area S, lontana dai bordi della lastra. Sia Q la quantità di calore che attraversa la lastra da 1 a 2 durante l’intervallo di tempo Δτ. Si trova la relazione (postulato di Fourier):

Q = λS(t₁ − t₂)Δτ / s

dove λ, coefficiente di proporzionalità detto conduttività termica, dipende dalla natura del materiale della lastra.

Consideriamo ora un generale corpo solido di materiale omogeneo e isotropo e di forma qualunque, entro il quale esista una certa distribuzione della temperatura, funzione della posizione e del tempo: t = t(x, y, z, τ). La natura della grandezza fisica t è tale che la funzione precedente è a un solo valore, e di solito continua. All’interno del corpo possiamo definire, a un istante generico τ, le superfici isoterme.

Si trova che la quantità di calore dQ che, all’istante τ considerato, in intervallo infinitesimo di tempo dτ attraversa l’area dS è data da:

dQ = −λ dS (dt / dn) dτ

dove dn indica la distanza tra le due superfici isoterme valutata secondo la normale a dS. La precedente è vera purché si considerino un gran numero di molecole ed eventi (urti), così da rendere valida l’ipotesi di continuità della funzione t.

Esprimiamo ora il postulato di Fourier in una forma ancora più generale, valida anche per superfici non isoterme, sempre supponendo il materiale omogeneo e isotropo. All’interno del corpo, consideriamo un punto generico P, e un elemento di superficie contenente P esteso dS, comunque orientato. Definita la retta normale a dS, e stabilito su di essa il verso positivo, la quantità di calore dQ che durante l’intervallo di tempo dτ si trasmette per conduzione attraverso dS nel verso prescelto è data da:

dQ = −λ dS (dt / dn) dτ

• Si dice omogeneo un corpo le cui proprietà fisiche sono indipendenti dalle coordinate spaziali.
• Si dice isotropo un corpo le cui proprietà fisiche sono indipendenti dalla direzione rispetto alla quale sono valutate.

R S – C S 1

Riccardo Cimeca Claudio Cimeca

Fisica tecnica per Ingegneria Gestionale

Trasmissione del calore

È utile definire la quantità dQ’_n = dQ_n / dτ, che chiamiamo portata termica attraverso dS. Le sue dimensioni sono quelle di una potenza. Definiamo inoltre la quantità Q’’_n = dQ’_n / dS, che chiamiamo flusso termico specifico attraverso la superficie normale a n per P (tale grandezza non dipende dall’estensione dS).

Ricordiamo che il gradiente della funzione t è un vettore così definito:

∇t = (∂t / ∂x)i + (∂t / ∂y)j + (∂t / ∂z)k

Ora indichiamo con n il versore sulla retta n e con cosα, cosβ e cosγ i tre coseni direttori della retta n. Possiamo scrivere:

n = i cosα + j cosβ + k cosγ, dx = dn cosα, dy = dn cosβ, dz = dn cosγ.

Esplicitando le precedenti rispetto ai coseni direttori, e eseguendo la derivata direzionale del gradiente di t lungo la direzione di n si ottiene che:

dt / dn = ∇t · n ⇒ Q’’_n = −λ ∇t · n

Ponendo q = −λ∇t (vettore flusso termico), si ottiene che in ogni punto il flusso termico specifico attraverso una superficie comunque orientata e comunque estesa è dato dalla proiezione del vettore flusso termico sulla normale n.

Equazione di Fourier (1.3)

Consideriamo un corpo costituito da materiale omogeneo, isotropo, e di volume specifico invariabile, nel quale non avvengano cambiamenti di fase. Consideriamo un punto interno P, di coordinate (x, y, z). Nel suo intorno definiamo un volume infinitesimo dV. Assumiamo positive le quantità di calore entranti, negative le uscenti.

Supponiamo che la portata termica attraverso la superficie di confine sia dQ’; supponiamo inoltre, per generalità, che all’interno dello stesso volume abbia luogo uno sviluppo di calore. Se indichiamo con Q’_V la potenza per unità di volume, la quantità di calore sviluppata nel volume nell’unità di tempo è Q’_VdV.

In assenza di altre forme di trasferimento di energia, possiamo esprimere il principio di conservazione dell’energia con la seguente equazione:

dQ’ + Q’_VdV = ρc dV (dt / dτ)

con ρ densità del materiale, e c calore specifico. Per il postulato di Fourier, il calore dQ complessivamente rimosso da dV nel tempo dτ sarà:

dQ’_x = −λ(∂t / ∂x)dydz; dQ’_y = −λ(∂t / ∂y)dxdz; dQ’_z = −λ(∂t / ∂z)dydx.

dQ’_x+dx = −λ[(∂t / ∂x) + (∂²t / ∂x²)dx]dydz; dQ’_y+dy = −λ[(∂t / ∂y) + (∂²t / ∂y²)dy]dxdz; dQ’_z+dz = −λ[(∂t / ∂z) + (∂²t / ∂z²)dz]dydx.

dQ’ = dQ’_x − dQ’_x+dx + dQ’_y − dQ’_y+dy + dQ’_z − dQ’_z+dz = λ∇²t dV.

Riscrivendo il bilancio energetico, sostituendo dQ e dividendo per λdVdτ si ha, in coordinate cartesiane:

∇²t + Q’_V / λ = (1 / α)(dt / dτ) (equazione di Fourier) con α = λ / ρc (diffusività termica).

Può essere conveniente esprimere il laplaciano di t in coordinate sferiche (r, φ, θ) o cilindriche (r, θ, z):

∇²t = (1 / r²) ∂ / ∂r (r² ∂t / ∂r) + (1 / r² sinφ) ∂ / ∂φ (sinφ ∂t / ∂φ) + (1 / r²sin²φ)(∂²t / ∂θ²) (coordinate sferiche).

∇²t = (1 / r) ∂ / ∂r (r ∂t / ∂r) + (1 / r²)(∂²t / ∂θ²) + ∂²t / ∂z² (coordinate cilindriche).

Se la conduzione del calore avviene in regime stazionario e senza sviluppo interno di calore, si ricava:

∇²t = 0 (equazione di Laplace)

∇²t (x₁, x₂, ..., x_n) chiamasi laplaciano, ed è un operatore che applicato ad una funzione dà in uscita il seguente valore:

∇²t = ∂²t / ∂x₁² + ∂²t / ∂x₂² + ... + ∂²t / ∂x_n² (coordinate cartesiane).

• Chiamiamo stazionario un regime caratterizzato dalla costanza nel tempo di tutte le variabili in gioco: temperatura, flusso termico, forma del corpo, etc.

R S – C S 2

Riccardo Cimeca Claudio Cimeca

Problemi di conduzione

Capitolo 2. Strato piano in regime stazionario (2.1)

Le condizioni al limite del campo termico possono essere assegnate in tre differenti modi:

• Può essere imposta la distribuzione della temperatura alla superficie di confine del corpo che si considera (condizione di Dirichlet).
• Può essere imposto il flusso termico attraverso la superficie di confine (condizione di Neumann).
• Può essere imposta la temperatura del fluido che lambisce la parete del corpo e scambia calore per convezione con un coefficiente convettivo assegnato. Allora è necessario che la componente normale alla parete del vettore flusso termico, valutato alla parete stessa sia uguale al flusso termico trasmesso per convezione dalla parete al fluido. Matematicamente: −h(t_P − t_F) = Q’’_n, dove h è il coefficiente convettivo, e i pedici P ed F indicano rispettivamente parete e fluido, ed n è orientata dalla parete verso il fluido.

Consideriamo uno strato piano indefinito s, di spessore s, costituito da materiale omogeneo e isotropo. L’oggetto del nostro studio perciò è la regione dello spazio compresa tra due piani paralleli posti a distanza s che delimitano lo strato.

Supponiamo che il calore si trasmetta per conduzione attraverso lo strato in regime stazionario, che non vi sia sviluppo di calore all’interno del corpo e che le due facce dello strato costituiscano due superfici isoterme t_A e t_B, con t_A > t_B. Le condizioni poste fanno sì che ogni piano parallelo alle facce risulti un piano isotermico, e perciò il vettore flusso termico è in ogni punto perpendicolare alle facce stesse.

Dunque t dipende solo dal verso di propagazione. L’equazione di Fourier si scrive: ∂²t / ∂x² = 0, dalla quale otteniamo t = Mx + N, dove M ed N si ricavano dalle condizioni al contorno. La funzione che definisce t sarà:

t(x) = t_A + [(t_B − t_A) / s]x

È interessante osservare che l’espressione ottenuta è indipendente da λ. Per il flusso termico specifico si ha:

Q’’ = −λ(dt / dx) = −(λ / s)(t_A − t_B) = −C(t_A − t_B)

Il coefficiente C = λ / s è chiamato conduttanza termica specifica dello strato. Risolviamo lo stesso problema, nel caso in cui siano note le condizioni convettive, ovvero le temperature dei fluidi t_FA e t_FB. Abbiamo dunque:

Q’’