Fisica sperimentale (pt. 1)

Sommario

Introduzione ................................................................................................................................ 2

Cinematica.................................................................................................................................... 8

Moti nel piano ......................................................................................................................... 12

Esercizi di cinematica ............................................................................................................. 17

Dinamica .................................................................................................................................... 23

Esercizi di dinamica ............................................................................................................... 41

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Introduzione

Per dare una definizione al concetto di misura, bisogna innanzitutto dare una definizione al concetto di misurazione. Con quest’ultimo termine, in particolare, si intende il processo mediante il quale si quantifica una grandezza fisica, mentre con il primo termine si intende l’esito di tale processo. Il concetto di misura è sempre associato a quello di errore. In effetti, per definizione stessa (UNI 4546) una misura è un’informazione assegnata a descrivere un determinato parametro di un determinato sistema costituito da un numero, un’incertezza e un’unità di misura. Nessuna misura, dunque, è esente da errore. Misurare permette di conoscere, di descrivere, di controllare un sistema fisico e di prendere decisioni per modificarne lo stato.

L’incertezza sulla grandezza che si vuol misurare può essere causata da diversi fattori:

• Interferenza dello strumento di misura sul fenomeno fisico che si vuol misurare (errore di inserzione);
• Livello di approssimazione del modello;
• Grandezze di disturbo non identificate.

L’assegnazione dell’incertezza serve a delimitare un intorno entro cui il parametro misurato può variare. L’esecuzione di una misura richiede un confronto tra una quantità incognita e una nota. Nessun risultato di una misura è esente da errore, dove per errore si intende la deviazione o scarto tra la grandezza misurata e il valore della misura atteso (o teorico, o “vero”: NB Non si può mai parlare di valore vero). Pertanto il valore atteso può essere solo definito in termini statistici o probabilistici. Qualsiasi misura è soggetta a limitazioni: inaccuratezza e imprecisioni che vanno indicate insieme al valore della misura. Esse sono comprese nell’incertezza che è parte integrante della misura.

Accuratezza: Grado di approssimazione della quantità misurata al valore atteso.

Precisione: Indicazione numerica dell’approssimazione di un insieme ripetuto di misure della stessa quantità al valor medio dell’insieme delle misure. Indica pertanto il grado di scostamento dei risultati delle misure tra loro.

Una misura viene espressa come: valor medio ± incertezza. L’incertezza può essere espressa sia in termini di errore assoluto, inteso come la semi-larghezza dell’intervallo in cui è compresa la grandezza di interesse; sia come errore relativo, adimensionale, inteso come il rapporto tra il valore assoluto e il valore centrale dell’intervallo.

La misurazione, come detto, presuppone sempre un termine di riferimento, adottato per convenzione, per confrontare una grandezza con altre della stessa specie. Il campione è il termine di riferimento nell’ambito delle grandezze della stessa specie. Esso costituisce l’unità di misura. Il campione deve essere preciso; accessibile; riproducibile; invariabile. Il sistema delle unità di misura, che dal 1960 si chiama Sistema Internazionale, è da sempre in costante evoluzione. Nel tempo non solo è aumentato il numero delle unità di misura di base - da tre a sette - ma anche le definizioni delle unità hanno subito cambiamenti. La tendenza attuale (il 20 maggio 2019 è stato introdotto il nuovo Sistema) è di riferirle alle proprietà atomiche della materia.

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Grandezze fondamentali

Ricordiamo che le 7 grandezze fondamentali e le relative unità di misura sono:

• L – lunghezza – metro [m]
• M – massa – chilogrammo [kg]
• T – tempo – secondo [s]
• I – intensità di corrente elettrica – ampère [A]
• Θ - temperatura termodinamica – kelvin [K]
• N – quantità di materia – mole [mol]
• J - intensità luminosa – candela [cd]

Da queste è possibile ottenere le grandezze derivate, cioè grandezze fisiche dipendenti; ciò significa che sono ricavabili dalle grandezze fondamentali mediante semplici operazioni aritmetiche (moltiplicazione, divisione). Esempi di grandezze derivate sono:

F - forza – Newton [N] = kg × m/s²

Grandezze scalari e vettoriali

Le grandezze fisiche vengono anche distinte in grandezze:

y v=AB B La direzione è la retta su cui giace il segmento; v y il verso è dato dalla punta A x v x v = |v|cosx v = |v|sinv y y

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v x

Conoscendo v_x e v_y trovo:

v_y/v_x = sinα/cosα = tgα → α = tg⁻¹(v_y/v_x), posso conoscere direzione e verso.

|v| = √(v_x² + v_y²), posso conoscere il modulo.

Nello spazio:

|v| = √(v_x² + v_y² + v_z²)

v_z = |v|cosβ

v_y = |v|sinα sinβ

v_x = |v|sinβ cosα

Somma

Geometricamente (metodo punta-coda): v w

• Si tiene fisso il primo;
• Si trasla il secondo, lasciandone inalterata la direzione, facendo coincidere la punta del primo con la coda del secondo;
• Si congiunge la coda del primo con la punta del secondo.

Geometricamente (metodo del parallelogramma):

• Si tiene fisso il primo;
• Si trasla il secondo, lasciandone inalterata la direzione, facendo coincidere le code dei due;
• Si costruisce un parallelogramma a partire dai due vettori;
• La diagonale è il vettore somma.

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Algebricamente:

v₁ + v₂ = w

w_x = v_1x + v_2x

w_y = v_1y + v_2y

Ma |v₁| + |v₂| ≠ |w|

Per trovare il modulo, bisogna passare per le componenti: si trovano le componenti e poi si applica il Teorema di Pitagora.

|w| = √(w_x² + w_y²) = √((v_1x + v_2x)² + (v_1y + v_2y)²)

Differenza

Geometricamente: v

• Si tiene fisso il primo;
• Si trasla il secondo, lasciandone inalterata la direzione e invertendone il verso;
• Si applica il metodo punta-coda o del parallelogramma.

Algebricamente:

v₁ - v₂ = w

w_x = v_1x - v_2x

w_y = v_1y - v_2y

Ma |v₁| - |v₂| ≠ |w|

|w| = √(w_x² + w_y²) = √((v_1x − v_2x)² + (v_1y − v_2y)²)

Prodotti

1. Prodotto di un vettore per uno scalare;
2. Prodotto scalare;
3. Prodotto vettoriale.

1. Modulo:

Av = w |w| = A|w|

Direzione: parallelo a v

Verso: stesso verso di v, se A>0; verso opposto rispetto a v, se A<0.

2. |v₁||v₂|cosα = A = v₁ ∙ v₂

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Prodotto scalare

Proprietà

• Se v₁ ⊥ v₂, quindi α = 90°, v₁ ∙ v₂ = 0;
• Quadrato di un vettore: v ∙ v = |v||v|cos0° = v²;
• Proprietà commutativa: v₁ ∙ v₂ = v₂ ∙ v₁ = |v₁||v₂|cosα.

Il prodotto scalare tra 2 vettori, per componenti fornisce:

v₁ = v_1x i + v_1y j + v_1z k

v₂ = v_2x i + v_2y j + v_2z k

v₁ ∙ v₂ = (v_1x i + v_1y j + v_1z k) ∙ (v_2x i + v_2y j + v_2z k)

= v_1xv_2x i ∙ i + v_1xv_2y i ∙ j + v_1xv_2z i ∙ k + v_1yv_2x j ∙ i + v_1yv_2y j ∙ j + v_1yv_2z j ∙ k + v_1zv_2x k ∙ i + v_1zv_2y k ∙ j + v_1zv_2z k ∙ k

= v_1xv_2x + v_1yv_2y + v_1zv_2z

Poiché i ⊥ j, j ⊥ k, i ⊥ k, mentre i ⫽ j, j ⫽ k, i ⫽ k.

Angolo compreso tra 2 vettori:

α = acos (v₁ ∙ v₂ / |v₁||v₂|)

Prodotto vettoriale

Modulo: v₁ × v₂ = w |w| = |v₁||v₂|sinα

Direzione: perpendicolare al piano su cui giacciono v₁ e v₂.

Verso: si applica la regola della mano destra. Se è orario, il prodotto vettoriale è negativo; se è antiorario, il prodotto vettoriale è positivo. La regola della mano destra permette di determinare il verso del vettore risultante dal prodotto vettoriale. Per fare questo si dispone il pollice come il primo vettore, l’indice parallelamente al secondo vettore, il medio perpendicolarmente al palmo della mano. Il verso del medio fornisce il verso del vettore risultante.

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a×b a×b Alternativamente, si considera il verso di rotazione tale per cui il primo vettore si sovrappone al secondo spazzando un angolo <180°, con le dita si segue il verso di rotazione, con il pollice si ottiene il verso del vettore risultante.

Proprietà:

• Se v₁ ⫽ v₂, quindi α = 0°, v₁ × v₂ = 0;
• Anticommutativa: v₁ × v₂ = − v₂ × v₁.

Il prodotto scalare tra 2 vettori, per componenti fornisce:

v₁ = v_1x i + v_1y j + v_1z k

v₂ = v_2x i + v_2y j + v_2z k

v₁ × v₂ = (v_1x i + v_1y j + v_1z k) × (v_2x i + v_2y j + v_2z k)

= v_1xv_2x i × i + v_1xv_2y i × j + v_1xv_2z i × k + v_1yv_2x j × i + v_1yv_2y j × j + v_1yv_2z j × k + v_1zv_2x k × i + v_1zv_2y k × j + v_1zv_2z k × k

= v_1xv_2x + v_1yv_2y + v_1zv_2z

j i × j = +k j × k = +i j k i j k i i k i × k = −j

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v₁ × v₂ = (v_1yv_2z − v_1zv_2y)i + (v_1zv_2x − v_1xv_2z)j + (v_1xv_2y − v_1yv_2x)k

Il prodotto vettoriale può anche essere calcolato come determinante formale della matrice:

i j k

[v_1x v_1y v_1z] = (v_1yv_2z − v_1zv_2y)i + (v_1zv_2x − v_1xv_2z)j + (v_1xv_2y − v_1yv_2x)k

v_2x v_2y v_2z

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Cinematica degli oggetti puntiformi

Bisogna innanzitutto fissare un sistema di riferimento. Definiamo un sistema ortonormale, definito cioè da tre versori (vettori di norma unitaria) perpendicolari 2 a 2 (i, j, k).

j Vettore posizione (r): va dall’origine del sistema di riferimento alla posizione occupata dal corpo in quell’istante. Dipende dal sistema di riferimento e dal tempo.

r(t1) r(t2) i k

Definiamo legge oraria un'equazione che descrive l'andamento della posizione di un punto materiale in movimento in funzione del tempo. Possiamo quindi definire legge oraria del moto una relazione matematica che lega il tempo alla posizione assunta dal corpo al variare del tempo.

x=x(t)=r_x

y=y(t)=r_y

z=z(t)=r_z

u.m. m; il vettore posizione come grandezza fisica è una lunghezza.

y(t1) r(t1) x(t1)

Definiamo il vettore posizione come:

Δr = r(t2) − r(t1)

esso indica com’è cambiata la posizione nel tempo.

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x

Definiamo l’ascissa curvilinea come:

lim |Δr| = Δs, per (t2−t1)→0

Indica quanta strada l’oggetto ha fatto per spostarsi dalla posizione t1 alla posizione t2 nell’unità di tempo. In altre parole, introduciamo una metrica sulla traiettoria che ci dice istante per istante dove siamo. Δs rappresenta lo spazio effettivamente percorso e si distingue da Δr perché quest’ultimo indica lo spazio percorso, ma in linea retta ed inoltre, a differenza di Δs che è uno scalare, è un vettore.

Per quanto riguarda direzione e verso, osserviamo che se (t2-t1)→0, Δr diventa sempre più tangente alla traiettoria.

Indicando con τ̂ la tangente alla traiettoria, si ottiene:

lim |Δr|/Δs = τ̂, per (t2−t1)→0

Dalla prima relazione (i) si ottiene:

Δr/(t2 − t1) = (r(t2) − r(t1))/(t2 − t1) = v_m

Tale rapporto fornisce la velocità media: come varia la posizione nell’intervallo di tempo. Osserviamo che l’informazione è mediata su un tratto lungo di traiettoria, tutto il tratto interessato dallo spostamento.

Ha stessa direzione e stesso verso del vettore spostamento. u.m. [m/s]

Dalla seconda relazione (ii) si ottiene:

lim (r(t2)−r(t1))/(t2−t1) = v = vτ̂, per (t2−t1)→0

Tale limite fornisce la velocità istantanea: la derivata rispetto al tempo del vettore posizione. Ha la direzione tangente alla traiettoria e lo stesso verso del moto. u.m. [m/s]

La velocità istantanea può essere scritta per componenti come:

v = v_x i + v_y j + v_z k

Oppure come prodotto tra modulo e versore:

v = vτ̂

O come derivata nel tempo del vettore posizione:

v = dr/dt

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Osserviamo che la velocità media ha la stessa direzione del vettore spostamento, mentre la velocità istantanea è tangente alla traiettoria.

La velocità dipende anch’essa dal tempo, quindi sorge spontaneo domandarsi come la velocità cambi con il tempo.

Definiamo la accelerazione media come:

(v(t2)−v(t1))/(t2−t1) = a_m, u.m. [m/s²]

Fisicamente indica quanto rapidamente varia la velocità. Ha la stessa direzione e lo stesso verso del vettore differenza Δv.

Definiamo l’accelerazione istantanea come:

lim (v(t2) − v(t1))/(t2 − t1) = a, per (t2−t1)→0

L’accelerazione istantanea può essere espressa anche per componenti come:

a = a_x i + a_y j + a_z k

Oppure come derivata della velocità:

a = dv/dt

O come derivata seconda del vettore posizione:

a = d²r/dt²

Ricordando che v = vτ̂

a = dv/dt = d(vτ̂)/dt = (dv/dt)τ̂ + v(dτ̂/dt)

1. |dv/dt|τ̂ è l’accelerazione tangenziale. Ha direzione e verso del vettore. Dice come varia nel tempo il modulo della velocità.

2. Per quanto riguarda il secondo contributo, ricordiamo che: sia w t.c. |w| = cost. Allora w ∙ w = cost. → d(w∙w)/dt = 0 → dw/dt ∙ w + w ∙ dw/dt = cost.

w ∙ dw/dt = 0 → 2w ∙ dw/dt; se ho un vettore di modulo costante, la derivata è sicuramente perpendicolare.

dw/dt → ⊥ w

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Di conseguenza:

v dτ̂/dt ⊥ τ̂

|dτ̂/dt| = |dτ/ds| ds/dt = |dτ/ds| v, essendo ds=dr, vettore spostamento

|dτ/ds| = lim (τ̂(t2) − τ̂(t1))/Δs = lim 2 sin(θ/2)/(Rθ) = lim sin(θ/2)/(Rθ/2) = 1/R, per Δs→0 e θ→0

Se τ̂(t1) τ̂(t2), allora |r(t1)|≅ |r(t2)|.

Quindi Δs→ θR, θ Δτ̂, |∆τ| = 2 |τ̂| sin(θ/2).

Quindi:

v dτ̂/dt = (v²/R) n̂

Con n̂ ⊥ τ̂.

È l’accelerazione normale: dice come varia il vettore velocità in direzione e verso. Con R=raggio di curvatura, è il raggio della circonferenza che meglio approssima la traiettoria in un intorno di quel punto.

Se la traiettoria è rettilinea R=+∞; se la traiettoria è circolare R=cost.

Quindi:

a = a_Tg + a_n = (dv/dt)τ̂ + (v²/R)n̂

Quindi da:

r(t), r = dr/dt → v = dv/dt → a =

Si deriva

Si integra

Siano H(x) e F(x) entrambe primitive di f(x), allora:

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F’(x)=f(x)

H’(x)=f(x)

Sia

G(x)=F(x)-H(x)

derivando si ottiene:

G&r