Fisica Medica - Forze conservative ed energia potenziale

Forze conservative ed energia potenziale

Forze conservative ed energia potenziale 1

Si consideri un corpo di massa m che viene lanciato con velocità v₁ lungo l’asse x, contro una molla. Si consideri nullo l’attrito tra m ed il piano orizzontale.

L’energia cinetica iniziale è:

E_{c i} = 1/2 mv₁².

F(x)

Quando m comprime la molla, v diminuisce e quindi E_c diminuisce.

Forze conservative ed energia potenziale 2

Quando v sta per invertire il verso (i.e. max compressione), E_c si annulla:

v = 0 ⇒ E_c = 0.

F(x)

Il lavoro W₁ compiuto dalla forza elastica F è, alla fine della compressione, da 0 a x₁, pari all’area del triangolo in figura che risulta:

W₁ = -1/2 kx₁².

F(x)

O W₁ = -1/2 kx₁².

Forze conservative ed energia potenziale 3

Dal teorema dell’energia cinetica:

W = E_{c f} - E_{c i} = 0 - 1/2 mv₁².

Dalla compressione della molla:

W₁ = -1/2 kx₁².

W₁ = -1/2 mv₁² = -1/2 kx₁².

E_{c i} - W₁ = 0.

Cioè l’energia cinetica iniziale si è trasformata tutta in lavoro di compressione.

Forze conservative ed energia potenziale 4

Pagine 3 e 4 con integrali.

Quando v sta per invertire il verso (i.e. max compressione), E_c si annulla:

v = 0 ⇒ E_c = 0.

F(x)

Il lavoro W₁ compiuto dalla forza elastica F è, alla fine della compressione, da 0 a x₁:

W₁ = ∫₀^x₁ F(x) dx = ∫₀^x₁ -kx dx = -1/2 kx₁².

Dal teorema dell’energia cinetica:

W = E_{c f} - E_{c i} = 0 - 1/2 mv₁².

W₁ = -1/2 mv₁² = -1/2 kx₁².

Cioè l’energia cinetica iniziale si è trasformata tutta in lavoro di compressione.

Forze conservative ed energia potenziale 5

La molla dopo essere stata compressa tende a ritornare nella sua posizione di riposo, spingendo m.

F(x)

v₂ = 0 ⇒ v cresce, E_c > 0.

F(x)

v₃ > 0.

Il lavoro W₂ compiuto dalla forza elastica F(x) = -kx nello spostamento da x₁ a 0 è pari all’area del triangolo:

W₂ = F(x) (x_f - x_i) = -1/2 kx₁² - 0 = 1/2 kx₁².

In questo caso W₂ è > 0, essendo la forza e lo spostamento paralleli e concordi nel verso delle x negative.

Forze conservative ed energia potenziale 6

Dal teorema dell’energia cinetica:

W = E_{c f} - E_{c i} = 1/2 mv₂² - 0.

Il lavoro fatto dalla forza elastica è pari all’energia cinetica finale E_c.

W₂ = 1/2 kx₁² = 1/2 mv₂² = E_c.

Cioè il lavoro W₂ fatto dalla forza elastica si è trasformato in E_c.

Forze conservative ed energia potenziale 7

Pagine 6 e 7 con integrali.

La molla dopo essere stata compressa tende a ritornare nella sua posizione di riposo, spingendo m.

F(x)

v₂ = 0 ⇒ v cresce, E_c > 0.

F(x)

v₃ > 0.

Il lavoro W₂ compiuto dalla forza elastica F da x₁ a 0 è:

W₂ = ∫_x1⁰ F(x) dx = ∫_x1⁰ -kx dx = -∫_x1⁰ kx dx = 1/2 kx₁² - 0.

Dal teorema dell’energia cinetica:

W = E_{c f} - E_{c i} = 1/2 mv₂² - 0.

W₂ = 1/2 mv₂² = 1/2 kx₁² = E_c.

Cioè il lavoro W₂ fatto dalla forza elastica si è trasformato in E_c.

Forze conservative ed energia potenziale 8

Si osservi che nel punto x = 0, l’energia cinetica iniziale è:

E_c = 1/2 mv₁².

Quando m ripassa per x = 0, E_c = 1/2 mv₂² e risulta essere uguale alla precedente 1/2 mv₁².

Infatti, si è trovato che:

1/2 mv₁² = 1/2 mv₂².

W₁ = -1/2 mv₁² = -1/2 kx₁².

v₁ = v₂.

W₂ = 1/2 mv₂² = 1/2 kx₁².

W₁ + W₂ = W_tot = 0.

Forze conservative ed energia potenziale 9

Quindi si è trovato che:

• W₁ + W₂ = 0, W_tot = 0.
• Quando m ritorna in x = 0 dopo un’andata e ritorno, la sua E_c è ridiventata pari a quella iniziale e W_totale = 0.

Una F che soddisfa queste condizioni dicesi forza conservativa.

Esempi di forze conservative sono:

• La forza elastica, F = -kxi.
• La forza peso, F = mg.
• La forza di gravitazione universale, F = G m₁m₂/r² u_r.
• La forza di Coulomb, F = k q₁q₂/r² u_r.

Forze conservative ed energia potenziale 10

Prima definizione (in base all’E_c): una forza è conservativa se l’energia cinetica di un corpo su cui agisce la forza, dopo ogni percorso chiuso, torna ad assumere il suo valore iniziale.

Viceversa la forza dicesi non conservativa.

Se invece m torna nella sua posizione iniziale (x = 0) con energia cinetica minore (v₂ < v₁), allora la capacità di compiere lavoro è diminuita lungo il percorso chiuso, ed almeno una delle forze agenti su m non è conservativa.

Esempi di forze non conservative sono:

• La forza di attrito dinamico.
• La forza di resistenza di un mezzo (es.: aria, acqua) in cui m si muove.

Forze conservative ed energia potenziale 11

Seconda definizione (in base al lavoro W): una forza