Fisica medica - Forze conservative ed energia potenziale

Forze conservative&energia potenziale

Forze conservative ed energia potenziale 1

Forze conservative

• Si consideri un corpo di massa m che viene lanciato con lungo l’asse x, contro una molla. Si consideri nullo velocità v₁ l’attrito tra m ed il piano orizzontale.

v₁ L'energia cinetica iniziale è: 1i 2 E mv . c 12

x 0 F x

Quando m comprime la molla, v₁ v e quindi E diminuiscono. 1 c

Forze conservative ed energia potenziale 2

Quando v sta per invertire il  F x 1 verso (i.e. max. compressione) E si annulla: c   0 v 0 E 01 c

Il lavoro W compiuto dalla forza elastica F è alla fine della 1 compressione, da 0 a x₁, pari all'area del triangolo in figura che 1 1        2 risulta: W kx x 0 kx 01 2 2

F(x) x

O W₁  kx

Forze conservative ed energia potenziale 3

Dal teorema dell'energia cinetica: 1     f i 2W E E E 0 mv ;1 c c c 12

Nella compressione della molla, si è visto che il lavoro W è: 1 1  2W kx1 21 1 1 1         2 2 i 2 2W mv kx E m v kx W1 1 c 1 12 2 2 2

Cioè l'energia cinetica iniziale si è trasformata tutta in lavoro di compressione.

Forze conservative ed energia potenziale 4

Pagine 3 e 4 con integrali

Quando v sta per invertire il  F x 1 verso (i.e. max compressione) E si annulla: c0   v 0 E 01 c

Il lavoro W compiuto dalla forza elastica F è alla fine della 1 compressione, da 0 a x₁: 1 1   x        x x  2 2W F ( x ) dx kx dx k x kx 0 1 0 0 2 20

Dal teorema dell'energia cinetica 1      f i 2W E E E 0 mv1 c c c 121 1 1 1        2 2 i 2 2W mv kx E mv kx W1 1 c 1 12 2 2 2

Cioè l'energia cinetica iniziale si è trasformata tutta in lavoro di compressione.

Forze conservative ed energia potenziale 5

• La molla dopo essere stata compressa tende a ritornare nella sua posizione di riposo, spingendo m 0.

 F xv 20  v cresce E 0   2 cF x 0v 3 0

Il lavoro W compiuto dalla forza elastica F ( x ) kx nello 2 spostamento da x 0 è pari all'area del triangolo:  1 1 1         2W F ( x ) x x kx 0 x kx 02 f i2 2 2

In questo caso W > 0, essendo la forza e lo spostamento 2 paralleli e concordi nel verso delle x negative.

Forze conservative ed energia potenziale 6

Dal teorema dell'energia cinetica: 1      f i 2W E E E mv 02 c c c 22 f

Il lavoro fatto dalla forza elastica è pari all'energia cinetica finale Ec 1 1  2 2 fW kx mv E2 2 c2 2

Cioè il lavoro W fatto dalla forza elastica si è trasformato in E. 2 c

Forze conservative ed energia potenziale 7

Pagine 6 e 7 con integrali

• La molla dopo essere stata compressa tende a ritornare nella sua posizione di riposo, spingendo m 0.

 F xv 20  v cresce E 0   2 cF x 0v 3 0

Il lavoro W compiuto dalla forza elastica F da x 0 è: 2 1 1   x       0 0 x   2 2W F ( x ) dx kx dx k xdx k x kx 0 2 x x 0 2 20

Dal teorema dell'energia cinetica 1      f i 2W E E E mv 02 c c c 221 1  2 2 fW mv kx E2 2 c2 2

Cioè il lavoro W fatto dalla forza elastica si è trasformato in E. 2 c

Forze conservative ed energia potenziale 8

Si osservi che nel punto x 0, l'energia cinetica iniziale è 1i 2E = mv . c 12 1

 f 22Quando m ripassa per x 0, E = mv e si dimostra che questa c 21 i 2 risulta essere uguale alla E mv . c 12

Infatti, si è trovato che:  1 12 2mv mv 1 1 1 2    2 22 2W kx mv  1 12 2    v v1 21 1    2 2W kx mv      2 2 W W 0 W = W2 2 1 2 2 1

Forze conservative ed energia potenziale 9

Quindi si è trovato che dopo un percorso di andata e ritorno:

•       A) W W 0 W 0 E 01 2 tot c
• B) Cioè quando m ritorna in x 0, la sua E è ritornata pari a quella iniziale c

 F Una che soddisfa queste condizioni dicesi forza conservativa.

Esempi di forze conservative sono:

•  A) La forza elastica ( F kxi );
• B) La forza peso ( F mg ); m m
•   1 2C) La forza di gravitazione universale ( F G u );r2rq q
•  1 2D) La forza di Coulomb ( F k u ).r2r

Forze conservative ed energia potenziale 10

• Base all’Ec):

Prima definizione (in una forza è conservativa se l’energia cinetica di un corpo su cui agisce la forza, dopo ogni percorso chiuso, torna ad assumere il suo valore iniziale.

Viceversa la forza dicesi non conservativa.

• Se invece m torna nella sua posizione iniziale (x = 0) con energia cinetica minore (v < v), allora la capacità