Fisica Medica - Dinamica Rotazionale

Dinamica rotazionale

Dinamica rotazionale 1

Energia cinetica rotazionale di una particella

Sia m la massa di una particella che ruota su di una circonferenza di raggio R nel piano (x, y), intorno all’asse z, passante per il centro O della circonferenza, con velocità angolare costante in senso antiorario.

z 1 2

L’energia cinetica di m è E_c = 1/2 mv².

Si ricordi che nel moto circolare uniforme v = Rω.

y

E_c = 1/2 mv² = 1/2 mR²ω² = 1/2 mR²ω²

x

E_c = 1/2 Iω²

Dinamica rotazionale 2

Dove la grandezza fisica I = mR² è chiamata momento d’inerzia intorno all’asse della massa m di rotazione z.

Il momento d’inerzia I è l’equivalente della massa M del moto traslatorio (M inerzia traslazionale).

I = ML²

kg m² (S.I.)

gr cm² (Gauss)

Dinamica rotazionale 3

Energia cinetica rotazionale e momento d’inerzia di un corpo rigido

z

Si consideri un corpo rigido che ruota con costante ω intorno ad un asse fisso, rispetto ad un sistema di riferimento inerziale.

v_i = ωr_i

y

Si consideri il corpo rigido come un aggregato di particelle m_i aventi velocità v_i.

x

m_i: E_c = 1/2 m_iv_i² (E_c di m_i)

Dinamica rotazionale 4

Se r_i è la distanza di m_i dall’asse di rotazione, v_i = ωr_i.

m_i: E_c = 1/2 m_ir_i²ω²

L’E_c complessiva del corpo rigido risulta:

E_c = Σ_i=1ⁿ 1/2 m_iv_i² = Σ_i=1ⁿ 1/2 m_ir_i²ω²

(ω è la stessa per tutte le m_i poiché il corpo è rigido).

Sia I = Σ_i=1ⁿ m_ir_i² (momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione).

E_c = 1/2 Iω² (energia cinetica di un corpo rigido che ruota con velocità angolare ω).

Dinamica rotazionale 5

• I dipende dall’asse di rotazione, dalla forma del corpo rigido e dalla distribuzione delle masse del corpo rispetto all’asse di rotazione.
• Corpo rigido e per un certo asse di rotazione I = cost.

E_c rotazionale non è altro che la somma delle E_c traslazionali delle singole particelle.

E_c = 1/2 Iω² è solo un modo comodo per esprimere l’energia cinetica di un corpo rigido in rotazione.

Dinamica rotazionale 6

• La massa M di un corpo rigido rappresenta l’inerzia traslazionale.
• Il momento d’inerzia I rappresenta l’inerzia rotazionale.

Esempi:

a) I₁ - R è lo stesso

b) I₂ - M è la stessa

M R - I₁ I₂

M CM

Far ruotare il cilindro di massa M alla velocità ω è più facile (occorre meno sforzo) nel caso a) che in b), in quanto I₁ < I₂.

Infatti, nel caso a) la massa M è distribuita più vicina all’asse di rotazione di quanto lo sia nel caso b).

Moto rototraslatorio

Si consideri un disco di massa M e raggio R che rotola su di un piano orizzontale, senza strisciare.

CM CM

R v_CM v_CM

CM CM A

Il centro di massa CM si muove di moto traslatorio rettilineo con velocità v_CM.

Inoltre, il centro di massa ruota con velocità angolare ω intorno ad un asse orizzontale mobile, coincidente con la direttrice del cilindro a contatto con il piano orizzontale in A.

Dinamica rotazionale 8

• Quindi un disco che rotola ha energia cinetica sia traslatoria del CM, sia rotazionale intorno all’asse mobile passante per A.
• Si dimostra che l’energia cinetica totale di un corpo che rotola è:

E_c = 1/2 Mv_CM² + 1/2 I_CMω²

Dove I_CM è il momento d’inerzia del disco rispetto ad un asse passante per il CM e ω è la velocità angolare intorno a questo asse.

• L’attrito statico tra la ruota ed il piano di appoggio è la causa del rotolamento.

Se non ci fosse questo attrito statico, la ruota scivolerebbe sul piano, invece di rotolare, come succede quando una strada è ghiacciata.

Dinamica rotazionale 9

• Per fortuna, questo è un attrito statico e non compie lavoro, se il disco è perfettamente rigido.

P A B

f f

Infatti, in tal caso il punto di contatto è solo P (fermo) e la forza di attrito agisce al piano.

Mentre se la sfera rotola, i punti A e B adiacenti a P si spostano nella direzione di f e quindi f non compie lavoro.

Momento di una forza

(a) Forze agenti a differenti angoli sulla maniglia della porta.

Momento torcente = r × F

Applicazione della stessa forza ma con diversi bracci, r_A e r_B.

(b) Il braccio è definito come la distanza tra l’asse di rotazione (il cardine) e la retta d’azione della forza.

Dinamica rotazionale 11

Momento di una forza

Sia dato un sistema di assi cartesiani Oxyz.

z

Sia P(xy), in cui giace il vettore r.

Sia F una forza applicata al punto P e sia F giacente nel piano xy.

r F

O

Sia l’angolo tra le direzioni di r e di F.

y

r F

Si definisce momento della forza F (o momento torcente) rispetto al punto O chiamato “polo”, individuato dal vettore posizione r:

τ₀ = r × F

Il cui modulo è dato da: τ = rF sen θ

Dinamica rotazionale 12

z

Si osservi che: F_t = F sen θ

F_t componente tangenziale di F

F_r componente radiale di F

r F

O

y

F_r non causa una rotazione intorno a z; F_t causa la rotazione di P intorno a z.

τ = rF_t

P

x F_r

• L’efficacia della componente F_t nel far ruotare il punto P (es.: una maniglia di porta) intorno all’asse z, dipende non solo dal suo modulo, ma anche dalla distanza di P (in cui si applica la forza) dal punto O.

Per tener conto di questi due fattori, si introduce il momento di forza τ₀ = r × F.

Dinamica rotazionale 13

Si definisce braccio della forza F, la distanza r tra la retta d’azione della F ed il polo “O”: