Fisica generale - Meccanica e Dinamica Rotazionale

Meccanica dinamica rotazionale

Introduzione – Corpo rigido – Variabili rotazionali

traslazione Fino a questo punto abbiamo solo esaminato moti di , cioè corpi che rotazione seguono traiettorie rettilinee. Ci vogliamo dedicare ora al moto di , cioè rigidi quello di corpi, cosiddetti che ruotano intorno ad un asse.

Corpo rigido

Un corpo rigido è un corpo capace di ruotare mantenendo tutte le sue parti reciprocamente vincolate tra di loro e quindi mantenendo la sua forma.

asse fisso Inizialmente si supporrà che la rotazione avvenga intorno ad un , cioè un non asse che modifica la sua posizione. Quando un corpo rigido presenta un moto di rotazione pura intorno a un asse fisso, come nelle figure a fianco, tutti i punti del corpo si muovono su circonferenze i cui centri giacciono sull’asse di rotazione e i rispettivi vettori posizione descrivono tutti lo stesso angolo durante un certo intervallo di tempo.

È opportuno d’ora in avanti procedere confrontando questa descrizione con quella di un corpo rigido in moto di pura traslazione in una direzione fissa cioè con il caso in cui ogni punto del corpo si muove in linea retta e copre la stessa distanza lineare durante un certo intervallo di tempo.

Sezione del corpo di cui sopra vista dall’alto. Nella figura è rappresentata sul corpo rigido una linea di riferimento, fissa rispetto al corpo e perpendicolare all’asse di rotazione, che ruota solidale con il corpo. Il moto del corpo rotante può essere descritto specificando la posizione angolare di questa linea, ossia l’angolo formato da questa linea rispetto a un asse di riferimento prefissato che definisce la posizione angolare zero.

Meccanica

Variabili rotazionali – Spostamento angolare

In figura la posizione angolare della linea di riferimento si misura rispetto all’asse ed è θ. x s in radianti. θ = s/r. 1 rad = 57,3°. 0,159 angolo giro. 1 angolo giro = 2 π rad.

Per un moto di pura traslazione nella direzione x tutte le informazioni sul corpo in movimento sono racchiuse nella funzione che descrive la sua posizione in funzione del tempo: x(t).

tempo x(t) rotazione pura. Sezione del corpo di cui sopra vista dall’alto. Analogamente per la rotazione pura, cioè la posizione angolare della sua linea di riferimento in funzione del tempo, tutte le informazioni su un corpo in rotazione sono espresse dalla funzione θ(t).

Se il corpo ruota intorno al suo asse di rotazione (Fig. in basso), variando la posizione angolare della sua linea di riferimento da θ₁ a θ₂, il corpo subisce uno spostamento angolare dato da Δθ = θ₂ − θ₁, per ogni punto del corpo rigido.

Questa definizione è valida dato che ogni punto occupa la stessa posizione in rapporto agli altri punti di esso. Per quanto concerne il segno di Δθ vale la regola:

• Rotazioni antiorarie: Δθ > 0.
• Rotazioni orarie: Δθ < 0.

Occorre notare che Δθ è un numero puro cioè è adimensionale.

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Variabili rotazionali – Velocità angolare – Accelerazione angolare

Se, come in figura, la posizione angolare del corpo rotante è θ₁ all’istante t₁ e θ₂ all’istante t₂, si definisce velocità angolare media del corpo il rapporto fra lo spostamento angolare Δθ e l’intervallo necessario per compierlo:

ω̄ = Δθ/Δt = (θ₂ − θ₁)/(t₂ − t₁).

La velocità angolare istantanea ω è definita come il limite della velocità angolare media quando Δt tende a 0.

ω = lim Δθ/Δt, con Δt → 0.

La stessa velocità angolare è valida per ogni punto del corpo rigido. La velocità angolare viene misurata in rad/s e le sue dimensioni sono 1/T. Nella tecnica vengono spesso usati i giri/min: 1 giro/min = 2 π rad/60 s = π/30 rad/s = 0,1047 rad/s.

Quando un corpo rigido ha una velocità angolare che non è costante si dice che il corpo ha una accelerazione angolare. Dette ω₁ e ω₂ le velocità angolari agli istanti t₁ e t₂ rispettivamente si definisce accelerazione angolare media il rapporto incrementale:

ᾱ = Δω/Δt = (ω₂ − ω₁)/(t₂ − t₁).

L’accelerazione angolare istantanea α è definita come il limite dell’accelerazione angolare media quando Δt → 0.

α = lim Δω/Δt, con Δt → 0. L’accelerazione angolare si misura in rad/s², le sue dimensioni sono 1/T².

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Variabili rotazionali – Velocità angolare – Accelerazione angolare

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Variabili rotazionali – Velocità angolare – Accelerazione angolare

Esempi

Esempio: Il giradischi

Il piatto di un giradischi, di raggio r = 14 cm, ruota inizialmente a 33 giri/min ed impiega 20 s per fermarsi.

• Quale è l’accelerazione angolare del piatto assumendo che essa sia costante?
• Quanti giri compie il piatto prima di fermarsi?
• Quale è l’intensità delle componenti radiali e tangenziali dell’accelerazione lineare di un punto posto al bordo del piatto all’istante t = 0?

Sol. a) Vel. ang. iniziale: ω₀ = 33 giri/min · 2 π rad/giro · 1 min/60 s = 3,46 rad/s.

Dall’espressione α = (ω − ω₀)/t, ricordare che ω = 0 a t = 20 s:

α = (0 − 3,46 rad/s)/20 s = −0,173 rad/s².

Il segno negativo di α indica che in realtà si tratta di una decelerazione.

b) θ = ω₀t + 1/2 αt² = 3,46 rad/s · 20 s − 1/2 · 0,173 rad/s² · (20 s)² = 34,6 rad = 5,51 giri.

c) a_t = αr = 0,173 rad/s² · 0,14 m = 0,0242 m/s².

a_r = v²/r = ω²r = (3,46 rad/s)² · 0,14 m = 1,68 m/s².

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Natura vettoriale delle grandezze rotazionali (I)

Una delle domande fondamentali sulle grandezze rotazionali riguarda la loro natura vettoriale o meno. Per rispondere a questa domanda occorre verificare se soddisfano alle leggi di addizione dei vettori. Innanzitutto per un ipotetico vettore spostamento angolare occorre fissare una direzione ed un verso a priori non del tutto ovvio in quanto è ben chiara la direzione e il verso di uno spostamento vero e proprio, ma molto meno quello di uno spostamento angolare.

L’unica grandezza definita è la direzione dell’asse attorno al quale avviene la rotazione. Prenderemo pertanto la direzione di tale asse come direzione del nostro ipotetico vettore. Dal punto di vista del verso assumeremo tale vettore come diretto verso quella parte da cui si vede ruotare il nostro corpo in senso antiorario.

Per verificare se lo spostamento angolare è un vettore occorre provare che soddisfa le proprietà dei vettori ed in particolare la proprietà commutativa della somma dei vettori.

Dalla figura si può vedere che, se si ruota un oggetto, ad es. un libro, di 90° prima intorno all’asse x e poi sempre di 90° intorno all’asse y, il risultato globale delle due rotazioni in successione è differente da quello che si sarebbe ottenuto se l’ordine delle rotazioni fosse stato commutato, cioè se si fosse ruotato l’oggetto prima di 90° intorno all’asse y e poi sempre di 90° intorno all’asse x.

Da questa osservazione si può concludere che gli spostamenti angolari finiti non soddisfano la proprietà commutativa dato che Δθ₁ + Δθ₂ ≠ Δθ₂ + Δθ₁ e che quindi gli spostamenti angolari finiti non hanno natura vettoriale.

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Natura vettoriale delle grandezze rotazionali (II)

Tuttavia si può osservare che, se gli angoli di rotazione diminuiscono, per esempio da un valore di 90° per Δθ₁ e ad un valore di 90° per Δθ₂, invertendo l’ordine delle due rotazioni addendo, i risultati delle rotazioni complessive che si ottengono sono molto più simili fra loro.

Se le rotazioni diventano sempre più piccole si può constatare che il risultato finale di due rotazioni successive commutate è sempre più prossimo a quello delle due rotazioni nell’ordine originale fino a coincidere nel limite di rotazioni infinitesime, ovvero si trova che dθ₁ + dθ₂ = dθ₂ + dθ₁.

In definitiva si trova che gli spostamenti angolari infinitesimi possono essere rappresentati da vettori.

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Natura vettoriale delle grandezze rotazionali (III)

Tutte le grandezze fisiche che possono essere definite a partire da spostamenti angolari infinitesimi hanno natura vettoriale.

Per esempio si può definire la velocità angolare:

ω = dθ/dt,

che, come rapporto fra la grandezza vettoriale dθ e la grandezza scalare dt, è a sua volta una grandezza vettoriale. Quindi la velocità angolare può essere rappresentata con un vettore.

In fig. (a) la freccia disegnata lungo l’asse di rotazione rappresenta il vettore velocità angolare ω che descrive il moto di pura rotazione di un corpo rigido.

In fig. (b) in modo analogo viene rappresentato il vettore velocità angolare del moto circolare di un punto materiale P. La lunghezza del vettore è proporzionale all’intensità della velocità angolare, mentre il verso della rotazione determina il verso in cui punta il vettore.

In fig. (c) possiamo vedere una semplice formulazione della regola che fissa il verso del vettore velocità angolare, cfr. trasparente precedente.

Per convenzione si usa la regola della mano destra: se le dita della mano destra si chiudono attorno all’asse nel verso della rotazione del corpo, allora il pollice teso indica il verso del vettore velocità angolare ω.

Anche l’accelerazione angolare α è una grandezza vettoriale in quanto definita dal rapporto fra la grandezza vettoriale dω e la grandezza scalare dt:

α = dω/dt.

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Energia cinetica rotazionale e momento di inerzia

Un corpo rigido, ad esempio un disco rotante intorno ad un asse fisso, può essere considerato come costituito da una distribuzione continua di punti materiali in cui r_i è la distanza dal centro del disco all’i-esimo punto materiale e θ_i l’angolo, misurato in senso antiorario, formato dalla direzione radiale per questo punto con un asse di riferimento fisso nello spazio.

Mentre il disco ruota di un angolo dθ, il punto materiale percorre un arco di circonferenza di lunghezza ds_i tale che ds_i = r_idθ.

La velocità lineare di un punto del disco è tangente alla traiettoria circolare del disco e ha modulo pari a v_i = ds_i/dt = r_idθ/dt e quindi v_i = r_iω.

In modo analogo l’accelerazione tangenziale di un punto del disco è a_t = dv/dt e quindi a_t = rα.

L’energia cinetica di un corpo rigido che ruota intorno ad un asse fisso è data dalla somma delle energie cinetiche di tutti i punti materiali che costituiscono il corpo. L’energia cinetica dell’i-esimo punto materiale di massa m_i che costituisce il corpo rigido è K_i = 1/2 m_iv_i².

Sommando su tutti i punti materiali da cui è costituito il corpo e tenendo conto che v_i = r_iω si ottiene:

K = Σ 1/2 m_iv_i² = Σ 1/2 m_ir_i²ω² = 1/2 Σ m_ir_i²ω².

Momento di inerzia

La somma che compare nell’ultimo membro dell’espressione precedente è detta momento di inerzia del corpo rispetto all’asse intorno a cui avviene la rotazione:

I = Σ m_ir_i².

L’energia cinetica del corpo rigido espressa in termini del momento di inerzia è quindi K = 1/2 Iω², con dimensioni [I] = ML².

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Esempi di calcolo di momenti di inerzia di sistemi riconducibili a sistemi di punti materiali rigidamente collegati fra loro

1) Molecola di ossigeno

Si consideri la molecola biatomica di O₂ che ruota nel piano xy intorno all’asse z, passante per il centro della molecola e perpendicolare alla sua lunghezza. A temperatura ambiente la distanza media fra i due atomi di ossigeno è d = 1,21 x 10^-10 m, gli atomi vengono considerati come punti materiali.

• Calcolare il momento di inerzia della molecola intorno all’asse z.
• Se la velocità angolare di rotazione intorno all’asse z è 2,02 x 10¹² rad/s, quanto vale l’energia cinetica di rotazione della molecola?

Sol. a) Poiché la massa di un atomo di ossigeno è m = 2,77 x 10^-26 kg e la distanza di ciascun atomo dall’asse è d/2 si ha:

I = Σ m_ir_i² = 2m(d/2)² = 2 · 2,77 x 10^-26 kg · (1,21 x 10^-10 m/2)² = 2,03 x 10^-46 kg m².

b) Se la velocità angolare di rotazione intorno all’asse z è 2,0 x 10¹² rad/s, allora:

K = 1/2 Iω² = 1/2 · 2,03 x 10^-46 kg m² · (2,0 x 10¹² rad/s)² = 4,1 x 10^-22 J.

Questa energia cinetica è circa un ordine di grandezza più piccola dell’energia cinetica media associata con il moto di traslazione della molecola a temperatura ambiente che vale 6,21 x 10^-21 J.

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Esempi di calcolo di momenti di inerzia di sistemi riconducibili a sistemi di punti materiali rigidamente collegati fra loro

2) Quattro punti materiali in rotazione

Quattro masse puntiformi sono fissate ad un telaio di massa trascurabile, che si trova nel piano xy.

• Se il sistema ruota intorno all’asse y con velocità angolare ω, calcolare il momento di inerzia rispetto all’asse y.
• Si supponga ora che il sistema ruoti nel piano xy intorno all’asse z passante per O. Calcolare il momento di inerzia rispetto all’asse z e l’energia cinetica di rotazione.

Sol. a) Si noti innanzitutto che i punti materiali di massa m che si trovano sull’asse y non contribuiscono al momento di inerzia poiché per questi punti materiali r_i = 0. Allora è:

I_y = Σ m_ir_i² = Ma² + Ma² = 2Ma².

L’energia cinetica di rotazione attorno all’asse y è quindi:

K_y = 1/2 I_yω² = 1/2 · 2Ma²ω² = Ma²ω².

b) Poiché r_i è la distanza dei punti materiali dall’asse di rotazione si ottiene:

I_z = Σ m_ir_i² = Ma² + Ma² + mb² + mb² = 2Ma² + 2mb².

K_z = 1/2 I_zω² = 1/2 (2Ma² + 2mb²)ω² = (Ma² + mb²)ω².

Confrontando i risultati in a) e in b) si