Fisica Matematica 1

Fisica matematica 113/09/2011

Indice

• Introduzione alle Equazioni differenziali 3
• Studio qualitativo di una equazione differenziale 6
• Sistemi di Equazioni differenziali 9
• Sistema di Equazioni differenziali lineari 9
• Sistema di Equazioni differenziali non-lineari 13
• Stabilità secondo Lyapunov dei punti di equilibrio 16
• Modello di stabilità per in mercati competitivi 19
• Sistemi dinamici monodimensionali discreti 23
• Il problema di Keplero 26
• Il problema dei due corpi 32
• Le equazioni di Lagrange 33
• Piccole oscillazioni 38

1 Introduzione alle equazioni differenziali

Le equazioni differenziali sono equazioni, la cui incognita non è uno scalare o un vettore, ma una funzione x = x(t).

Una generica equazione differenziale appare nella forma G(x, ẋ, . . . , x^(k), t) = 0.

Definizione 1.1. (Equazione ordinaria)

Si tratta di una equazione differenziale la cui incognita è x = x(t) con t ∈ R.

Definizione 1.2. (Forma ordinaria normale di ordine k)

Si tratta di una equazione differenziale ordinaria, che può venir riscritta nel seguente modo x^(k) = f(x, ẋ, ẍ, . . . , x^(k−1), t).

Nota. D’ora in avanti non facciamo più distinzione tra x e x per alleggerire le notazioni.

Definizione 1.3. (Equazioni del primo e del secondo ordine)

Ci riferiamo alle seguenti equazioni: ẋ = f(x, t), ẍ = f(x, ẋ, t).

Definizione 1.4. (Soluzione)

Sia f : E ⊂ R^n·k × R → Rⁿ, allora x : I → Rⁿ è soluzione su I di un’equazione differenziale del primo o secondo ordine (a seconda che n sia 2 o 3) se:

1. X è derivabile k volte.
2. ∀x ∈ I, (x, t) oppure (x, ẋ, t) ∈ E.
3. ∀x ∈ I l’equazione differenziale è soddisfatta.

Nota. Se abbiamo un sistema nella forma ẋ = f(x) con x ∈ Rⁿ, come ad esempio

x = (x₁, . . . , x_n) e f(x) = (f₁(x₁, . . . , x_n), . . . , f_n(x₁, . . . , x_n)),

si ottiene il sistema:

ẋ₁ = f₁(x₁, . . . , x_n)
ẋ_n = f_n(x₁, . . . , x_n) (1).

Allora data una equazione di secondo ordine ẍ = f(x, ẋ, t), x ∈ R basta porre:

ẋ = v (2)
v̇ = f(x, v, t)

cioè y = (x, v) e F(y, t) = (v, f(x, v, t)) (3) e si giunge quindi a una equazione del primo ordine; infatti: ẏ = F(y, t).

Non vale però il viceversa, infatti un generico sistema di equazioni del primo ordine appare nella forma:

ẋ = g(x, v, t) (4)
v̇ = f(x, v, t).

Non è quindi riconducibile ad una equazione differenziale del secondo ordine. In generale un sistema di n equazioni differenziali di ordine k può essere ridotto ad un sistema di n·k equazioni di primo ordine.

Definizione 1.5. (Equazione differenziale autonoma)

Si tratta di equazioni nella forma x^(k) = f(x, ẋ, . . . , x^(k−1)) (5).

La funzione f è comunque, a priori, dipendente dal tempo, ma non lo è in modo esplicito.

Nota. Un sistema ẋ = f(x, t) di n equazioni dipendenti dal tempo, è riconducibile ad un sistema di n + 1 equazioni indipendenti dal tempo, e quindi autonomo, nel seguente modo:

Data una equazione differenziale ẋ = f(x(t), t), ponendo x⁽⁰⁾ = t si ottiene:

ẋ⁽⁰⁾ = 1
ẋ = f(x, x⁽⁰⁾)

e quindi ponendo y = (x⁽⁰⁾, x₁, . . . , x_n) si ha:

ẏ = (1, f₁(x, x⁽⁰⁾), . . . , f_n(x, x⁽⁰⁾)) = f̃(y)

e l’equazione è autonoma.

Definizione 1.6. (Problema di Cauchy (PC))

Si tratta di una particolare equazione differenziale scritta nella forma:

x^(k) = f(x, ẋ, . . . , x^(k−1), t)
x(t₀) = x₀
ẋ(t₀) = x₁
..
x^(k−1)(t₀) = x_k−1

E grazie alle osservazioni fatte in precedenza risulta sempre possibile ricondursi ad una equazione autonoma del primo ordine.

Teorema 1.7. (Teorema di Peano)

Sia f : Ω ⊂ R^n·k × R → Rⁿ con f ∈ C⁰(Ω) e (x, t) ∈ Ω allora il PC ha almeno una soluzione.

Teorema 1.8. (Teorema di esistenza e unicità globale)

Sia f : Ω ⊂ R^n·k × J → Rⁿ con J intervallo, f ∈ C⁰(Ω) e lipschitziana rispetto a (x, ẋ, . . . , x^(k−1)), uniformemente rispetto a t su I con J compatto, allora ∀(x₀, x₁, . . . , x_k−1, t) ∈ R^n·k × J il Problema di Cauchy ha 1! soluzione su J.

Teorema 1.9. (Teorema di esistenza e unicità locale)

Sia f : Ω ⊂ R^n·k+1 → Rⁿ con f ∈ C¹(Ω) e (x₀, x₁, . . . , x_k−1, t) ∈ Ω, allora ∃U(t₀) tale che il Problema di Cauchy ha 1! soluzione su U(t₀).

Esempio 1.10. (Equazioni differenziali banali)

1. Sia ẋ = f(t), t ∈ R. Allora x(t) = x(t₀) + ∫_t0^t f(s)ds.
2. Sia ẋ = f(x). Sia U un aperto in cui f(x) ≠ 0, e sia x = x(t) una soluzione tale che x(t₀) = x₀, t₀ ∈ U. Poiché ẋ = f(x) ≠ 0, si ha che localmente la funzione x(t) è invertibile e denotiamo t(x) la inversa. E quindi si ha: dt/dx = 1/(dx/dt) = 1/f(x), cioè ẋ = f(x) e quindi, per l’esempio visto prima, t(x) − t(x₀) = ∫_x0^x 1/f(s) ds.

Esempio 1.11. (Modelli fisici, decadimento radioattivo)

Vogliamo calcolare il decadimento radioattivo del Carbonio 14, sia p la probabilità che venga rilasciata una particella, N il numero di atomi decaduti, Δt l’intervallo di tempo con N(t + Δt) = N(t) − ΔN, dove ΔN = p·Δt·N(t).

Abbiamo quindi N(t + Δt) = N(t) − pΔtN(t).

Essendo N ≍ 10²³ possiamo supporre che N sia una funzione a numeri reali e non interi, e in particolare derivabile. Si ha che allora per Taylor:

N(t + ΔT) = N(t) + Ṅ Δt + o(Δt).

Da cui segue N(t) + Ṅ Δt + o(Δt) = N(t) − pΔtN(t).

Ne quindi Ṅ(t) = −pN(t), la cui soluzione è N(t) = Ne^−pt.

2 Studio qualitativo di una equazione differenziale

Definizione 2.1. (Spazio delle fasi)

Lo spazio delle fasi è uno spazio i cui punti rappresentano univocamente tutti e soli i possibili stati del sistema.

Al posto di dare una definizione rigorosa presentiamo soltanto i due casi più significativi.

Nel caso si abbia a che fare con funzioni indipendenti dal tempo, distinguiamo se lavoriamo con equazioni del primo o secondo ordine.

1. Ẋ = f(x), x ∈ R², allora chiamiamo il piano (x₁, x₂) lo spazio delle fasi.
2. Ẍ = f(x), x ∈ R, allora chiamiamo il piano (x, ẋ) spazio delle fasi.

Definizione 2.2. (Punto di equilibrio)

Si dice punto di equilibrio una soluzione nella forma x(t) = c ∀t ∈ R.

Nota. Vi è un punto di equilibrio se e solo se f(c) = 0.

Proposizione 2.3.

Sia x(t) una funzione C¹ a valori reali che ammette limite finito per t → ∞, allora una sottosuccessione tale che lim_k→∞ ẋ(t_k) = 0.

Dimostrazione. Supponiamo di avere tale successione e che t_k → ∞, per il teorema di Lagrange si ha che ∃t_k^* ∈ (t_k, t_k+1^*) tale che x(t_k+1^*) − x(t_k^*) = ẋ(t_k^*).

Se fissiamo ε > 0, per la convergenza di x si ha che ∃T > 0 tale che ∀t_k > T si ha |x(t_k+1^*) − x(t_k^*)| < ε e per l’uguaglianza precedente si ha la tesi.

Proposizione 2.4.

Sia x₀ un punto di equilibrio e sia x(t) una soluzione del problema tale che ∃t₀, t₁ ∈ [0, ∞[ tali che x(t₀) = x₀ e x(t₁) = x₀. Allora si ha che t₀ = t₁.

Dimostrazione. (Per assurdo) Si supponga che t₁ < ∞, allora se x(t) è soluzione, anche x̂(t) = x(t + t₁) è soluzione, con dato iniziale x(t₁).

Per ipotesi x̂(0) = x₀, poiché il punto è di equilibrio la soluzione è x̂(t) = x₀ ∀t. Questa è però una contraddizione con l’ipotesi x(t₀) = x₀, da cui l’assurdo.

Equazioni del primo ordine autonome

Data una equazione del tipo ẋ = f(x), x ∈ R basta disegnare il grafico di f(x) per capire il comportamento delle soluzioni.

A seconda del segno di f è possibile capire se la soluzione cresce o decresce, a seconda del dato iniziale x^*. In particolare si ha che se f(x^*) = 0 allora la soluzione x con dato iniziale x₀ = x^* è costante nel tempo, e non può, come qualsiasi altra soluzione, venir attraversata da un’altra soluzione se su f si hanno le ipotesi necessarie per l’esistenza e l’unicità della soluzione. È quindi possibile determinare anche eventuali limitazioni sul range di alcune soluzioni.

Definizione 2.5. (Flusso)

Sia U un aperto di Rⁿ e si consideri la mappa regolare Φ^t : U → Rⁿ, in particolare Φ^t(x₀) = x_x0(t) poiché la soluzione di x dipende anche dal punto x₀.

Si tratta di una mappa regolare da Rⁿ in sé, e l’insieme di tali mappe è chiamato flusso.

Nota. Questa mappa gode delle proprietà di un gruppo abeliano:

1. Φ⁰(x₀) = x_x0(0) = x₀, cioè Φ⁰ ≡ id.
2. Φ^s(Φ^t(x₀)) = Φ^t+s(x₀) = Φ^t(Φ^s(x₀)).
3. (Φ^t(x₀))⁻¹ = Φ^−t(x₀).

Inoltre l’applicazione Φ : t ∈ R → Φ^t ∈ diff(Rⁿ) è un diffeomorfismo di gruppi.

Equazioni del secondo ordine autonome

Dato ẍ = F(x, ẋ) possiamo considerare l’equivalente problema:

ẋ = v
v̇ = F(x, v).

Supponendo che il problema ẍ = F(x, ẋ) sia ben posto, sia ha, nel caso di un PC, l’unicità della soluzione, che è equivalente a dichiarare l’unicità della soluzione (x, v) dato x(t₀) = x₀, ẋ(t₀) = v(t₀) = v₀.

Sistemi meccanici

Si tratta di equazioni differenziali autonome del 2° ordine nella forma ẍ = F(x), x ∈ R, la funzione E(x, v) = 1/2 v² + V(x) con V′(x) = −F(x) e v = ẋ è chiamata energia meccanica.

Nota. La funzione E(t) = E(x(t), ẋ(t)) è costante in t, infatti:

Ė(t) = 1/2·2ẋ(t)ẍ(t) + V′(x(t))ẋ(t) = ẋ(t)ẍ(t) − F(x(t))ẋ(t) = 0 (6).

E quindi E(x, ẋ) è costante nel tempo. Si ha che quindi la soluzione dell’equazione ẍ = F(x), x ∈ R è obbligata a muoversi nel sottoinsieme costituito dai punti (x, v) tali che E(x, v) = E₀, dove E₀ è l’energia iniziale del sistema, e tali punti costituiscono una curva.

Inoltre si può scrivere v = ẋ in funzione di x, si ha infatti: ẋ² = 2[E − V], quindi ẋ = ±√(2[E − V]). Data V e scelto E = E₀ è quindi possibile rappresentare lo spazio delle fasi.

Esempio 2.6. (Oscillatore anarmonico)

Sia V(x) = x^α e E = E₀.

Si vuole trovare x tale che V(x) = E, cioè si cerca di avere v = 0 poiché E = 1/2 v² + V(x) da un punto di vista fisico si chiede di avere velocità nulla. Tale richiesta deriva dal fatto che si vogliono conoscere gli estremi dell’intervallo [x_min, x_max] sul quale è definita la curva (x, v) nello spazio delle fasi. Si ottiene quindi x_1,2 = ±|E|^1/α.

Dall’equazione ẋ = ±√(2[E − V]) si ottiene ẋ = dx/dt, quindi dt = dx/√(2[E − V]).

Si può calcolare il periodo integrando tale quantità su dt:

T(E) = t − t0 = 2∫−E1/αE1/α dx/√(2[E − |x|α]).

L’integrale viene moltiplicato per due poiché la curva va percorsa fino al punto di partenza. Sia x = E^1/αs, dx = E^1/αds e se x = ±E^1/α si ha s = ±1 e quindi:

T(E) = 2∫−E1/αE1/α dx/√(2[E − |x|α]) = 2E1/α−1/2∫−11 ds/√(2 − 2|s|α) = 4E1/α−1/2∫01 ds/√(2 − 2|s|α).

Si può quindi concludere che T(E) = cE^1/α−1/2, se α > 2 allora T(E) → 0.

Definizione 2.7. Integrale primo

Si tratta di una equazione differenziabile con continuità che rimane costante lungo le soluzioni del problema, ad esempio l’energia meccanica E(ẋ, x) è un integrale primo se non sono presenti forze dissipative.

2.1 Sistemi di equazioni differenziali

Vogliamo trattare in modo particolare sistemi del tipo: ẋ = f(x), x ∈ Rⁿ, n > 1, cominciamo però da un caso particolare.

2.1.1 Sistema di equazioni differenziali lineari

Proposizione 2.8. (Principio di sovrapposizione)

Siano x₁ e x₂ soluzioni dell’equazione ẋ = Ax, con A matrice. Allora anche x = αx₁ + βx₂ è una soluzione dell’equazione, infatti:

Dimostrazione. ẋ = αẋ₁ + βẋ₂ = αAx₁ + βAx₂ = A(αx₁ + βx₂) = Ax.

Classificazione

Data una equazione nella forma ẋ = Ax, dim(A) = 2, siamo in grado di fare una classificazione qualitativa di tutte le situazione possibili. Il sistema di equazioni si può riscrivere nella forma:

ẋ₁ = ax₁ + bx₂
ẋ₂ = cx₁ + dx₂.

Poiché A ∈ R^2×2 essa è diagonalizzabile in C, quindi si ha A = TΔT⁻¹, e quindi possiamo considerare il sistema ẋ = Ax = TΔT⁻¹x, cioè T⁻¹ẋ = ΔT⁻¹x e ponendo T⁻¹x = y si è arrivati a considerare il sistema ẏ = Δy, scritto in forma esplicita:

ẏ₁ = λ₁y₁, λ₁, λ₂ ∈ C
ẏ₂ = λ₂y₂.

Si ha quindi che la prima e la seconda equazione sono indipendenti l’una dall’altra, e le soluzioni dei due sistemi sono banalmente y₁(t) = a₀e^λ₁t e y₂(t) = b₀e^λ₂t. Con a₀, b₀ ∈ R.

Si ha che quindi x = Ty = y₁u₁ + y₂u₂.

Notiamo in particolare che prendendo y₂ = 0 si ha:

x = y₁u₁
Ax = ẋ = ẏ₁u₁ = λ₁y₁u₁ = λ₁x

e quindi u₁ è l’autovettore relativo a λ₁. In modo del tutto analogo si ottiene che u₂ è l’autovettore relativo a λ₂.

Ci siamo quindi ricondotti ad una equazione agli autovettori per ottenere informazioni sulle soluzioni.

L’equazione p(λ) = 0, dove p(λ) è il polinomio caratteristico, è la seguente:

λ² − (a + d)λ + (ad − bc) ≡ λ² + Tr(A) + det(A) = 0.

Analizzando il segno del discriminante D = (Tr(A))² − 4 det(A) possiamo distinguere diversi casi:

1. Se D > 0, allora λ₁, λ₂ sono due radici reali e distinte.
2. Se D = 0, allora λ₁, λ₂ sono due radici reali, coincidenti.
3. Se D < 0, allora λ₁, λ₂ sono due radici complesse e coniugate.

D > 0

In questo caso gli autovalori della matrice sono nella forma:

λ₁ = (Tr(A) + √D)/2, λ₂ = (Tr(A) − √D)/2

a meno di un fattore moltiplicativo, e sono distinti. Gli autovettori sono quindi nella forma, supponendo b ≠ 0:

u = (b, λ₁ − a), v = (b, λ₂ − a).

La dinamica si svolge quindi su queste due direzioni, e si allontana o avvicina a seconda che il segno sia positivo o negativo.

In particolare se λ₁, λ₂ > 0 diciamo di avere un nodo stabile, se λ₁, λ₂ < 0 diciamo di avere un nodo instabile. Le orbite che si avvicinano all’origine sono tangenti alla direzione con l’autovalore maggiore in valore assoluto, ad eccezione della direzione del secondo asse.

Nel caso λ₁λ₂ < 0 diciamo di avere una sella, o colle.

Nel caso invece λ₁ = 0 oppure λ₂ = 0 si ha che in una direzione le soluzioni sono stabili o instabili a seconda del segno dell’autovalore non nullo, mentre nell’altra direzioni le soluzioni sono stazionarie.

D < 0

In questo caso gli autovalori sono nella forma:

λ₁ = (Tr(A) + i√−D)/2, λ̄₂ = (Tr(A) − i√−D)/2

e siano w = u + iv, w̄ = u − iv i due autovettori complessi. Poiché vogliamo descrivere la dinamica reale notiamo che si ha:

Au = Tr(A)/2 u − √−D/2 v, Av = √−D/2 u + Tr(A)/2 v.

Se si usa quindi u, v come base si ha che la matrice associata è