Fisica III - la propagazione delle onde

71. Corda in tensione

75. Propagazione delle onde piane

Dato un elemento di corda di lunghezza dx e densità µ, soggetta ad una tensione T che causi una piccola deformazione, dalla legge di Newton, esprimendo r = s(x,t), si ha:

∂ ∂ 2 2( , ) ( , )r s x t s x t, esprimendo , e= + − === ( ) ( ) .a F T x dx T x T dxF ma

72. Equazione della corda

73. Equazione delle onde

Si consideri una corda posta orizzontalmente e soggetta ad una perturbazione che causi una deformazione così piccola da poter approssimare:

∂ ∂α 2 2y yt tx

∂ ∂2 2( , ) ( , )T s x t s x t, si deriva l’equazione della corda: che= = 22v v∂ ( , ) µ ∂ ∂s x t 2 2α α α αα α e α (con≈ = ≈ ≈ <<≈ t xcos 1; tan sin 1sin ∂x x′ ′

ammette come soluzione qualunque funzione. A seconda del segno nella = ±(t )f t tα angolo fra la tangente alla corda e la posizione di riposo e s(x,t) spostamento della fune). La componente verticale della tensione varrà:

∂ ( , )T s x t −α α (1) con T modulo della tensione. Dato un elementino di corda di= ≈ = x x( ) sin tanT x T T

precedente espressione, l’onda piana si dice regressiva o progressiva. Consideriamo un’onda progressiva. Se essa traslasse da sinistra verso destra con velocità v, allora si avrebbe ⇒= 1 0v∂y x −t tr r 1 0µ (con µ densità della fune), dalla legge di Newton si ricava:

lunghezza dx e massa = =m dx F m a ′-x /v = t – x /v. Poiché dipende dal rapporto si deduce che non sono i punti della corda a traslare ma è la sua forma che si muove insieme all’energia ad essa associata.

∂(t ) /f x v1 1 0 0( )∂ ∂2 2( , ) ( , )T xs x t s x t

Un’onda elastica trasporta infatti energia e quantità di moto perché è capace di mettere in moto corpi materiali da essa investiti.

ed (dall’equazione della corda esprimendo = = + − = ∂ =y( ) ( ) .a F T x dx T x dx T dx∂∂ ∂2 2y y xt t

∂ ∂ ∂ ∂2 2 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )s x t T s x t s x t s x t T investiti.(1)). Ne deriva : ovvero (2) dove ha le dimensioni di= = =2 2v vµ µ∂ ∂ ∂ ∂2 2 2 2t xt xT

una velocità al quadrato e è detta velocità di propagazione dell’onda nel mezzo. Si dimostra =v µ x′′ con è soluzione dell’equazione (2).che qualunque funzione = ±(t )f t t v

76. Riflessione delle onde su una corda

74. Onde piane

Dato un elemento di corda di lunghezza dx e densità µ, soggetta ad una tensione T che causi una piccola deformazione, dalla legge di Newton, esprimendo, = = 1 2F ma a ∂ ∂ ∂ ∂∂ 2 2 2 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )s x t s x t s x t s x tt T Te

che ammettono come onde sulle due corde sono: = =1 1 2 2∂ ∂ ∂2 2 2 µ µ( , ) ( , ) ( , ) ∂ ∂ ∂ ∂2 2 2 2Ts x t s x t s x t t x t xe, si deriva l’equazione della corda: (*).== + − = =2 2( ) ( ) . 1 2vdxF T x dx T x T vµ∂ ∂∂2 2 2y y ⎞ ⎞⎛ ⎛⎞ ⎞⎛ ⎛t t x Tx x x x⎟⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎜⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎜

ed dove le soluzioni generali =+ + + += − = −( , ) ( , ) vs x t f t g t s x t f t g t⎟x µ1 1 1 2 2 2 1′′

77. L’impulso viaggia verso la giunzione

Consideriamo due corde omogenee ed isotrope con densità µ e µ, legate tra loro. Le equazioni delle onde sulle due corde sono:

Vogliamo dimostrare che qualunque funzione con è soluzione di tale equazione. Poiché= ± ⎠ ⎠⎝ ⎝⎠ ⎠⎝ ⎝(t ) v v v vf t t 1 1 1 1 1v T′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂2 2 2

rappresentano le velocità delle onde nei due mezzi. Supponiamo che:

• 1) ;= = ⇒ = = = =⎜ ⎟ µ2′ ′ ′ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂2 2 2⎝ ⎠ 2t t t t t t t t tt t t
• 1) ; 2) ; 3) in l’onda arrivi alla giunzione . Per l’integrità≤ =∀ = = =_ ( ) 0 ( , ) ( , ) 0t t t tt g t f t x g t x x′ ′ ′ ′ ′ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞( ) 1 ( ) 1 ( )( ) ( ) 1 ( ) f t f t f tf t f t t f t 2 2 1 00 0
• 2) = = ± ⇒ = ± =⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂2 2 2⎝ ⎠ ⎝ ⎠x v tx t x v t x v t

della fune si deve imporre la continuità della funzione: . Inoltre, per il+ =( , ) ( , ) ( , )f t x g t x f t x1 0 1 0 2 0

sostituendo nell’equazione della corda si ottiene una identità: principio di azione e reazione, la tensione deve avere da entrambi i lati la stessa direzione coincidente′′ ′ ′ ∂∂ ∂ ∂2 2 2 2( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )f t f t f t f t ∂∂. Un’onda il cui moto sia regolato dall’equazione (*) si=−− = 0 s s

con la tangente. Ciò impone la continuità della derivata. Da queste due condizioni si=1 2′′ ∂∂ ∂ ∂2 2 2 2 2 2 2x v t v t v t ∂∂x xx xx x 0 0′ ′

o. dice regressiva o progressiva a seconda che f sia funzione di = + = −t t t t ⎞⎛⎞⎛ 2vx xv v ⎟⎜⎟⎜⎜

ricavano le espressioni dell’onda progressiva (che si propaga sulla seconda corda con lo stesso segno di f) e di quella regressiva (che torna indietro= −− 2f t f t ⎟⎜⎟2 1+ ⎠⎝⎠⎝ v v v v2 2 1 1⎛ ⎞ ⎞⎛−v v xx⎜ ⎟ ⎟⎜

corda con lo stesso segno di f) e di quella regressiva (che torna indietro= −+ 2 1 f tg t ⎟⎜⎜ ⎟1 1 1+ ⎠⎝⎝ ⎠ vv vv 2 1 11µ µ

ed ha segno opposto rispetto a f se > ).1 1 2

78. Continuità della derivata

82. Casi particolari

Consideriamo due corde omogenee ed isotrope con densità µ e µ, legate tra loro e sottoposte ad una tensione T.

79. Riflessione e trasmissione

Consideriamo due corde omogenee ed isotrope con densità µ e µ, legate tra loro e sottoposte ad una tensione T. Diciamo f, g, g, f1 2 1 2 ed le onde progressive e e quelle regressive rispettivamente sulla prima e seconda corda ed introduciamo le velocità delle onde nei due mezzi =v µ1T Te.

Supponiamo che:

• 1) ; 2) ; 3) l’onda arrivi nella≤∀∀ = = == ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0t t ,t g x t f x t g x tv
• 1) ; 2) ; 3) l’onda arrivi nella giunzione≤∀∀ = = = 0( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 µ 2 2 12t t , xt g x t f x t g x t0 02 2 1 2

all’istante t=t. all’istante imponendo l’integrità della corda ( ) e la giunzione + =( , ) ( , ) ( , )t=t ,x0 f t x g t x f t x0 0 1 0 1 0 2 0∂ ∂s s.

Per il principio di azione e reazione, la tensione deve avere da entrambi i lati la stessa direzione coincidente con la tangente e ciò impone la continuità della derivata ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂=1 2 2s s v xx⎜ ⎟ ⎜ ⎟), si ricava: e continuità della derivata ( − = −= 21 2∂ ∂ f tf t⎜ ⎟ ⎜ ⎟x x 2 1+∂∂x x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠vx x v v v0 0 2 2 1 1x x0 0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ − ∂ + ∂ − v vx xf t g t f t⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟.

Definito indice di rifrazione (con c velocità della luce nel vuoto),+ = −2 11 1 2 n = c/vg t f t⎜ ⎟⎜ ⎟1 1 1⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠v v v 1 1+

deriva: = e, integrando, si ha:1 1 2− + − ⎝ ⎠⎝ ⎠ vv vv 2 1 11⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞v v vx x x −⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟1 1 2∂ − ∂ + ∂ − 2 nn nt t t

possiamo esprimere e. Consideriamo i seguenti casi particolari:

• 1) La== 1 2 1f fg f⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠v v v 1 21 1++1 1 2 n nn nx x x0 0 0 1 2 1 2⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ giunzione non esiste, cioè le due corde sono dello stesso materiale. Ne deriva, essendo v =v, che x x 1 2⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟.
• Per l’integrità della fune si deve avere inoltre: − − + = −⎢ ⎥v f t g t v f t g =0 e f =f, cioè l’onda continua imperturbata;
• 2) La seconda corda ha massa infinita, cioè l’estremo è2 1 1 1 2⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠v v v⎣ ⎦ 1 2 11 1 2 e quindi si ricavano le espressioni dell’onda+ = T( , ) ( , ) ( , ) µ0 perché con, quindi g =-f ed f =0 (l’onda viene fisso. In tal caso vf t x g t x f t x → → ∞=v1 0 1 0 2 0 2 1 1 2µ 22⎛ ⎞ ⎛ ⎞2 2vx x⎜ ⎟ ⎜ ⎟ progressiva (che si propaga sulla seconda corda con lo stesso segno di f) e− = −2f t f t completamente riflessa ed invertita);
• 3) La seconda corda ha massa nulla, cioè l’estremo è libero. In tal⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 12 1+⎝ ⎠ ⎝ ⎠v v v v2 2 1 1 −1 / 2v v caso ed (l’onda viene riflessa senza inversione).= →= →1 2 2⎞⎛ ⎛ ⎞− f fg f fv v xx 2 11 1 1⎟⎟⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ++

di quella regressiva (che torna indietro ed ha segno opposto rispetto a se −=+ 1 /1 /2 1 f v vv vf tg t 1 1 21 21 1+ ⎝ ⎠⎠⎝ v v vv 2 1 11µ µ> ).1 2

80. Riflessione ed indice di rifrazione

83. Onde sinusoidali

81. Inversione nella riflessione

84. Traslazione di onde sinusoidali

85. Riepilogo onde sinusoidali

Consideriamo due corde omogenee ed isotrope con densità µ e µ, legate tra loro e sottoposte ad una tensione T. Un’onda sinusoidale è una particolare onda piana che si ha quando la soluzione dell’equazione della1 2 ed le onde progressive e e quelle Diciamo ⎡ ⎤∂ ∂2 2f g gf ⎛ ⎞( , ) ( , )s x t s x t x1 2 1 2 ω ϕ

corda ha la seguente forma: in cui ω è la pulsazione,= = − +2 ⎜ ⎟( , ) cos ⎢ ⎥v s x t A t

regressive rispettivamente sulla prima e seconda corda ed ∂ ∂2 2 ⎝ ⎠⎣ ⎦vt xν ω π λ ν è la frequenza, λ è la lunghezza d’onda, φ la fase iniziale, T=1/υ il periodo,= =T / 2 T

introduciamo le velocità delle onde nei due mezzi =v µ1 π λ ω ν è il numero di propagazione (o d’onda) e l’argomento del coseno prende il nome di= =2 / /K1 π ω π2 2ω e

fase. L’espressione dell’onda sinusoidale può essere riscritta utilizzando le identità = =Te. Supponiamo che: 1) ; 2) ∀ ≤=∀= ( , ) 0 t t ,g x ttv ν λ0µ2 2 T2 ⎡ ⎤⎛ ⎞t xπ ϕ; 3) l’onda arrivi nella giunzione per evidenziare la periodicità: o in forma sintetica.ω ϕ= = = − + = − +⎟⎜( , ) ( , ) 0 ( , ) cos 2 ( , ) cos( )xf x t g x t ⎢ ⎥s x t A s x t A t kx0 λ2 1 ⎝ ⎠⎣ ⎦T

imponendo l’integrità della corda all’istante, t=t 0 λ λ. Inoltre, poiché per la periodicità del coseno si ha che: = ± = ± =( , ) ( , ) ( , ) ( , )m ms x t s x n t s x t nT s x n t nT

) e la continuità della derivata( + =( , ) ( , ) ( , )f t x g t x f t x1 0 1 0 2 0 1 1π λ λ, si può mostrare che: ed (una= − + = − ± ± = − ± ±∂ ∂ cos( ) cos( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )x x s x t s x n t s x t s x t nT Ts s ), si ricavano le espressioni di e in( =1 2 2 2f g2 1∂ ∂x x

traslazione spaziale o temporale di 1/2 cambia il segno della funzione). Infine, ciascuna traslazione di x x0 0 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎛⎞ ⎞− λ o T/4 cambia il coseno in seno e viceversa.2 / 4v v vx x x x⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜⎟ ⎟

funzione di: ;. Definito indice di− + == − −2 2 1f n = c/vf t f t g t f t⎜ ⎟ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎟1 2 1 1 1+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎝⎠ ⎠⎝ ⎠v v v v v v vv2 2 1 1 2 1 11 − 2n n ne.

rifrazione (con c velocità della luce nel vuoto), possiamo esprimere == 1 2 1f fg f1 1 2 1+ +n n n n1 2 1 2

L’onda rifratta ha lo stesso segno di f; quella riflessa ha invece segno opposto se f f g2 1 11 1c c µ µ µ µ. Quindi, se la seconda corda ha densità > ⇒ > ⇒ > ⇒ > ⇒ >n n2 1 2 1 2 1v v TT2 1 µ µ2 1 maggiore della prima, l’onda riflessa viene rovesciata.

86. Le onde su una corda trasportano energia

89. Equazioni di Maxwell nel vuoto

87. Intensità delle onde su una corda

90. Forma locale delle equazioni di Maxwell senza sorgenti

Vogliamo calcolare l’energia trasportata da un’onda che si propaga lungo una corda avente densità lineare di massa pari a µ. A tal fine osserviamo che il calcolo può essere condotto in modo semplice considerando il punto della figura in corrispondenza del quale la corda è in posizione di riposo e possiede energia cinetica massima, cioè r Q∫qualsiasi superficie chiusa S è proporzionale alla carica in essa contenuta: . La seconda⋅ =E ds εosserviamo che il calcolo può essere condotto in modo semplice 0

considerando il punto della figura in corrispondenza del quale la legge di Maxwell esprime che il campo di induzione magnetica è solenoidale, le linee di forza sono 2 r r corda è in posizione di riposo e possiede energia cinetica, massima ∫. La terza equazione si ricava dalla legge di cioè chiuse e non esiste il monopolo magnetico: = 0Bds

ed energia potenziale nulla (nel punto al contrario, l’energia 1, Faraday – Neumann ed afferma che un campo di induzione magnetica variabile nel tempo dà origine potenziale è massima e quella cinetica nulla). In tale punto la velocità verticale di un’onda sinusoidale rr ∂[ ]ds d rBω ϕ ω ω ϕ sarà il valore massimo della funzione cioè ∫ ∫= = − + = − − +. La quarta legge si deduce generalizzando quella di Ampere al ad un campo elettrico:cos( ) sin( ) = −vv A t kx A t kx d sE dl ∂dt dt tL Sds

ω. Ne deriva che l’energia meccanica associata ad un certo elemento di corda di= =vv A r rmax dt ⎛ ⎞ rrr r ∂ ∂max E E∫ ∫ ∫⎜ ⎟µ ε ε

origine a campi di induzione magnetica: dove il termine è detto= +B dl J d S d S1 1 ⎜ ⎟ 00 0 ∂ ∂µ µ ω.

lunghezza dx (coincidente con l’energia cinetica massima) varrà: = = con2 2 2( )v ⎝ ⎠t tE dx v dx Amax L S Sc 2 2 r rρ εcorrente di spostamento. Le stesse leggi espress