Fisica - la propagazione delle onde elettromagnetiche

Capitolo 2: La propagazione delle onde elettromagnetiche

2.1 Introduzione

Una delle peculiarità dell’elettromagnetismo rispetto ad altri fenomeni ondulatori è la natura vettoriale delle grandezze fisiche in gioco. In questo capitolo si terrà conto di questo aspetto, mantenendo tuttavia l’ipotesi che le grandezze siano ancora dipendenti da una sola variabile spaziale. Ciò permetterà di semplificare enormemente la parte matematica e conseguentemente dedicare tutta l’attenzione alla comprensione fenomenologica.

Si metterà in evidenza come le variazioni delle caratteristiche del mezzo provocano inevitabilmente la generazione di onde riflesse. Questo risulta particolarmente chiaro se si segue un approccio nel dominio del tempo. Purtroppo con tale approccio è possibile una risoluzione analitica del problema solo quando il mezzo presenta particolari proprietà: lineare, isotropo, privo di perdite e temporalmente non dispersivo. Tale limite è in parte superato dall’approccio nel dominio della frequenza che verrà utilizzato nel presente capitolo per determinare la soluzione nel caso di mezzi con perdite.

2.2 Analisi nel dominio del tempo

Si considerino le equazioni di Maxwell nel dominio del tempo, in assenza di sorgenti e nell’ipotesi di mezzi lineari, privi di perdite e temporalmente non dispersivi:

∇ × E = −µ ∂H/∂t.

∇ × H = ε ∂E/∂t.

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Se si suppone per semplicità che tutte le grandezze sono costanti al variare di x e y, e si proiettano le due equazioni vettoriali sui tre assi di un sistema di riferimento cartesiano si ottiene:

∂E_x/∂z = −μ ∂H_y/∂t.

∂H_y/∂z = −ε ∂E_x/∂t.

0 = H_z.

∂E_y/∂z = −ε ∂H_x/∂t.

∂H_x/∂z = ε ∂E_y/∂t.

0 = E_z.

Due sono le conseguenze più evidenti delle ipotesi fatte:

• Le componenti lungo z sono nulle, ovvero i due vettori giacciono su piani ortogonali all’asse z;
• E_x è legato solo ad H_y e E_y è legata solo ad H_x.

In virtù di queste considerazioni e della linearità delle equazioni, si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti e quindi studiare separatamente le quantità E_x, H_y e E_y, H_x senza perdere generalità. Essendo il procedimento e gli eventuali commenti del tutto identici, nel seguito si considererà solo il primo caso per il quale le equazioni da integrare sono le seguenti:

∂E_x/∂z = −μ ∂H_y/∂t

∂H_y/∂z = −ε ∂E_x/∂t. (2.1)

Derivando la seconda rispetto al tempo si ottiene:

μ ∂²H_y/∂t² = −ε ∂²E_x/∂z ∂t.

Scambiando la derivazione rispetto a z con la derivazione rispetto a t ed impiegando la prima delle (2.1) si ottiene una equazione nella sola variabile E_x:

∂²E_x/∂z² = με ∂²E_x/∂t². (2.2)

Questa equazione, è del tipo (1.1) e governa l’evoluzione spazio temporale del campo elettrico nell’ambito delle ipotesi fatte. L’andamento del campo elettrico è quindi del tipo:

E_x(z, t) = Af(t − z/v) + Bg(t + z/v), (2.3)

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ovvero due onde elettromagnetiche che si propagano in direzione opposta con una velocità:

v = 1/√με.

Noto il campo elettrico, il campo magnetico può essere calcolato attraverso la prima delle (2.1):

μ ∂H_y/∂t = −∂E_x/∂z = −A ∂f(t − z/v)/∂z − B ∂g(t + z/v)/∂z.

= A f’(t − z√εμ) √εμ − B g’(t + z√εμ) √εμ.

= √ε/√μ [Af’(t − z√εμ) − Bg’(t + z√εμ)].

dove si è posto f’(ξ) = df(ξ)/dξ e g’(ξ) = dg(ξ)/dξ. Visto che se H_y = h(t − z√εμ) allora ∂H_y/∂t = h’(t − z√εμ), dall’equazione sopra segue che:

H_y(z, t) = 1/η [Af(t − z/v) − Bg(t + z/v)] (2.4)

dove

η = √μ/ε

è l’impedenza intrinseca del mezzo [1]. Nel caso di propagazione nel vuoto e quindi con buona approssimazione anche nell’aria:

η₀ = √μ₀/ε₀ = 377Ω.

In un mezzo dielettrico non magnetico μ ’ μ₀:

η = √μ₀/ε = √μ₀/ε₀ε_r = η₀/√ε_r = η₀/n.

L’andamento di un generico impulso elettromagnetico che si propaga nel verso positivo dell’asse z avente il campo elettrico orientato lungo l’asse x ed il campo magnetico orientato lungo l’asse y è riportato in figura 2.1(a). L’andamento nel caso di un impulso che si propaga nel verso opposto è riportato in figura 2.1(b).

In entrambi i casi, essendo presente o solo l’onda diretta o solo l’onda riflessa, il rapporto tra il campo elettrico e quello magnetico è uguale all’impedenza intrinseca. L’impedenza intrinseca del mezzo definisce infatti il rapporto tra il campo elettrico e quello magnetico dell’onda diretta e dell’onda riflessa separatamente. Se sono presenti entrambe, il rapporto tra il campo elettrico complessivo ed il campo magnetico complessivo non è in generale uguale all’impedenza intrinseca.

Facendo il rapporto tra la (2.3) e la (2.4) si ottiene infatti:

E_x/H_y = η [Af(t − z/v) + Bg(t + z/v)]/[Af(t − z/v) − Bg(t + z/v)]

che coincide con η o −η ∀t e ∀z rispettivamente nel caso B = 0 o A = 0. Questo ha conseguenze importanti: se infatti le caratteristiche del mezzo cambiano, il conseguente cambiamento dell’impedenza intrinseca richiede la presenza contemporanea dell’onda diretta e di quella riflessa. Tale aspetto verrà approfondito nel paragrafo seguente.

In modo del tutto analogo a quanto appena visto, si può ricavare la soluzione per la coppia E_y, H_x:

E_y(z, t) = Af(t − z/v) + Bg(t + z/v) (2.5)

H_x(z, t) = −1/η [Af(t − z/v) − Bg(t + z/v)].

L’andamento di un generico impulso è riportato in figura 2.2.

Nel caso in cui il campo elettrico e quello magnetico non sono orientati lungo gli assi cartesiani, è comunque possibile scomporli nelle sue componenti lungo gli assi:

E = E_x î + E_y ĵ H = H_x î + H_y ĵ.

La soluzione delle equazioni di Maxwell è semplicemente una combinazione lineare delle (2.3), (2.4) e (2.5). Al solito, considerando separatamente l’impulso trasmesso e quello riflesso, per ognuno di essi, l’orientamento del vettore campo elettrico, del vettore campo magnetico e della direzione di propagazione sono legati dalla seguente relazione:

H = 1/η k̂ × E (2.6)

dove k̂ è il versore che individua direzione e verso di propagazione.

2.2.1 Effetti delle condizioni al contorno

Si analizzerà ora cosa accade ad un impulso elettromagnetico quando questo incide una superficie che separa due mezzi con caratteristiche elettromagnetiche differenti. In particolare si analizzeranno gli effetti che hanno sulla propagazione degli impulsi le seguenti situazioni:

• Mezzo dielettrico omogeneo affacciato ad un conduttore elettrico ideale;
• Mezzo dielettrico omogeneo affacciato ad un secondo dielettrico con differente indice di rifrazione.

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x )= (z,t )iE(z,t E1 x 1v zvt )=hH (z, t )jhH(z,y 1 y 1x )= (z,t )iE(z,t E2 x 2 v zvt )=hH (z, t )jhH(z,y 2 y 2(a)

x )= (z,t )i t )=hH (z, t )jE(z,t E hH(z,1 x 1 1 y 1v v zy x )= (z,t )i t )=hH(z,t )jE(z,t E hH(z,2 x 2 2 y 2v v zy (b)

Figura 2.1: Andamento del campo elettrico e del campo magnetico in due istanti successivi nel caso di un impulso diretto (a) e riflesso (b). Essendo presente in entrambi i casi un solo tipo di impulso, si è riportato ηH_y anziché H_y in modo da avere, in ogni punto, due vettori con lo stesso modulo.

In entrambi i casi si farà riferimento alla situazione illustrata in figura 2.3, in cui la superficie che separa le due regioni è un piano ortogonale all’asse z e all’istante t = 0 nel mezzo

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x zt )=hH (z, t )jhH(z, 1 x 1v vy )= (z,t )iE(z,t E1 y 1x zt )=hH (z,t )jhH(z, 2 x 2v vy )= (z,t )iE(z,t E2 y 2

Figura 2.2: Andamento del campo elettrico e del campo magnetico in due istanti successivi nel caso di un impulso diretto con il vettore campo elettrico orientato lungo l’asse y.

dielettrico si propaga un solo impulso nel verso positivo:

E_x(z, t) = Af(t − z/v) ∀z < L (2.7)

H_y(z, t) = A/η f(t − z/v) ∀z < L.

Quando le caratteristiche del mezzo cambiano in modo discontinuo, il campo elettrico ed il campo magnetico che si trovano a destra ed a sinistra della superficie di discontinuità sono legati da particolari relazioni dette condizioni di continuità [1]:

E(L⁺, t) = E(L⁻, t) H(L⁺, t) × n̂ − H(L⁻, t) × n̂ = J_s ∀t, (2.8)

con n̂ versore normale alla superficie di separazione. Nel caso in esame, essendo i due vettori tangenti alla superficie di separazione ed in particolare E = E_x î e H = H_y ĵ, segue:

E_x(L⁺, t) = E_x(L⁻, t) H_y(L⁺, t) − H_y(L⁻, t) = J_sx ∀t (2.9)

e J_s = J_sx î.

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x (z,t )E x 0 z=L z(z,t )hHy y 0

Figura 2.3: Andamento del campo elettrico E_x e di η₀H_y a t = 0. Si è riportato η₀H_y anziché H_y in modo da avere, in ogni punto, due vettori con lo stesso modulo. In z = L è posizionata la superficie di separazione.

Mezzo dielettrico affacciato ad un conduttore elettrico ideale

All’interno di un conduttore elettrico ideale il campo è identicamente nullo:

E_x(L⁺, t) = 0 H_y(L⁺, t) = 0 ∀t

e quindi in base alle (2.9) le condizioni che devono essere soddisfatte dal campo sono:

E_x(L⁻, t) = 0 H_y(L⁻, t) = J_sx(L) ∀t. (2.10)

All’interno del dielettrico, l’espressione generale per il campo elettrico ed il campo magnetico è la seguente:

E_x(z, t) = Af(t − z/v) + Bg(t + z/v)

H_y(z, t) = A/η f(t − z/v) − B/η g(t + z/v)

In z = L è posizionato il piano che separa il materiale dielettrico dal conduttore quindi:

E_x(L, t) ≡ 0 ∀ t.

⇒ Af(t − L/v) + Bg(t + L/v) = 0 ∀ t

⇒ Af(t − L/v) = −Bg(t + L/v) ∀ t

⇒ g(t + L/v) = −A/B f(t − L/v) ∀ t

⇒ g(ξ) = −A/B f(ξ − 2L/v)

con ξ = t + L/v. Sostituendo nelle (2.7):

E_x(z, t) = Af(t − z/v) − Af(t + z/v − 2L/v)

H_y(z, t) = 1/η [Af(t − z/v) + Af(t + z/v − 2L/v)] ∀z ≤ L (2.11)

Per il campo elettrico, la situazione è del tutto identica a quella trattata nel paragrafo 1.7; conseguentemente, la figura 1.22 può essere interpretata come la rappresentazione dell’evoluzione spazio temporale di E_x. Man mano che l’impulso incidente si esaurisce contro la parete, quello riflesso esce da essa.

Dal punto di vista fisico, la generazione dell’impulso riflesso è dovuta alla presenza della densità di corrente superficiale J_sx prodotta sulla superficie dal campo elettrico dell’impulso incidente. In altre parole, l’impulso incidente produce sul conduttore una corrente superficiale tale da generare a sua volta un secondo impulso che si propaga in direzione opposta al primo. La seconda delle (2.10) e la seconda delle (2.11) permettono di determinare l’andamento temporale di J_sx:

J_sx = 2A/η f(t − L/v)

I conduttori ideali si comportano come superfici perfettamente riflettenti. Questa proprietà viene utilizzata ad esempio nelle guide d’onda per confinare il campo in una porzione limitata dello spazio. Il coefficiente di riflessione è definito come il rapporto tra l’ampiezza del campo elettrico dell’onda riflessa e quello dell’onda incidente:

r = B/A.

Nel caso di un conduttore ideale:

r = −1;

il segno meno indica che il campo elettrico dell’impulso riflesso ha verso opposto a quello incidente, mentre il campo magnetico ha lo stesso verso.

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Dielettrico-dielettrico

Rispetto al caso precedente le differenze sono due:

• Il campo elettromagnetico si può propagare anche nel secondo mezzo;
• Non possono esistere correnti superficiali.

L’assenza di correnti superficiali fa sì che le condizioni di continuità siano:

E_x1 = E_x2 H_y1 = H_y2.

A fronte di un impulso incidente, la necessità di garantire la continuità sia del campo elettrico che di quello magnetico impone l’esistenza di un impulso trasmesso. D’altro canto, i due mezzi sono caratterizzati da due impedenze intrinseche differenti: η₁ = √μ₁/ε₁, η₂ = √μ₂/ε₂. Questo fa sì che il rapporto tra le ampiezze del campo elettrico e del campo magnetico dell’impulso incidente e di quello trasmesso debba cambiare quando si passa da un mezzo all’altro. Per poter soddisfare anche questa seconda condizione, è necessaria la presenza di un’onda riflessa.

I legami delle ampiezze delle varie onde si ottengono imponendo la continuità del campo elettrico e del campo magnetico all’interfaccia z = L:

Af(L, t) + Bg(L, t) = Ch(L, t) ∀ t

A/η₁ f(L, t) − B/η₁ g(L, t) = C/η₂ h(L, t) ∀ t.

Dalla prima, dovendo essere soddisfatta per ogni t, segue che f(ξ) = h(ξ) e g(ξ) = f(ξ − 2L/v) e A + B = C; dalla seconda: A/η₁ − B/η₁ = C/η₂. Si ottiene così un sistema di due equazioni:

A + B = C

A/η₁ − B/η₁ = C/η₂

nelle tre incognite A, B e C. Tipicamente si ricavano B e C in funzione dell’ampiezza dell’impulso incidente A che è supposta nota:

B = A (η₂ − η₁)/(η₁ + η₂)

C = A 2η₂/(η₁ + η₂).

In questo caso oltre al coefficiente di riflessione r = B/A si può definire un coefficiente di trasmissione t = C/A. Sostituendo le espressioni sopra si ottiene:

r = (η₂ − η₁)/(η₁ + η₂)

t = 2η₂/(η₁ + η₂).

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La maggior parte dei materiali di interesse pratico sono non magnetici, μ ’ μ₀, quindi:

r = (n₁ − n₂)/(n₁ + n₂)

t = 2n₁/(n₁ + n₂).

È bene osservare che se n₁ < n₂ allora r < 0 cioè il verso del vettore campo elettrico dell’onda riflessa è opposto a quello del campo elettrico incidente, mentre il vettore campo magnetico mantiene il verso. Se n₂ < n₁ si scambiano le proprietà.

Esempio

Si consideri la propagazione di un impulso rettangolare avente un campo elettrico di ampiezza E_i ed un campo magnetico di ampiezza H_i = E_i/η₁ che si propaga in un mezzo con indice di rifrazione n₁.

Se ora l’impulso incide su una superficie che delimita il mezzo da un secondo mezzo con indice di rifrazione n₂ = 2 n₁, a causa del cambiamento dell’impedenza intrinseca si genera oltre all’impulso trasmesso di ampiezza E e H, un impulso rifl