Fisica I - sistemi di particelle

Meccanica di un sistema di particelle

Supponiamo di avere un sistema formato da N particelle, delle quali conosciamo la m_i, la posizione r_i=r_i(t) e la forza a loro applicata F_i(t).

F_i(t) = m_i · a_i = m_i · ^d2r_i/_dt²

F_i può anche essere vista:

F_i = F_i⁽ⁱ⁾ + F_i^(e)

• Forza interna, dovuta ad altre particelle
• La forza esterna

La risultante sarà:

R_∑ = ^N∑_i=1 F_i = ^N∑_i=1 F_i⁽ⁱ⁾ + ^N∑_i=1 F_i^(e)

Per il principio di azione e reazione, questo termine è = 0, poiché la forza che si scambiano due particelle è uguale e contraria.

⇒ R_∑ = ^N∑_i=1 F_i^(e) = R_∑^(e)

Anche in questo caso possiamo definire:

• Quantità di moto
  P_∑ = ^N∑_i=1 P_i = ^N∑_i=1 m_i · v_i
• Momento angolare
  L_∑ = ^N∑_i=1 r_i × m_iv_i

Meccanica di un sistema di particelle

Supponiamo di avere un sistema formato da N particelle, delle quali conosciamo le m_i, la posizione r_i=r_i(t) e la forza a loro applicata F_i(t).

F_i(t) = m_i a_i = m_i · d²r_i/dt²

F_i può anche essere vista:

F_i = F_i⁽ⁱ⁾ + F_i^(e)

• Forza interna, dovuta ad altre particelle
• La forza esterna

Le risultante sono:

R = Σ_i=1^N F_i = Σ_i=1^N F_i⁽ⁱ⁾ + Σ_i=1^N F_i^(e)

Per il principio di azione e reazione ogni termine = 0, poiché la forza che si scambiano due particelle è uguale e contraria.

∴ R = Σ_i=1^N F_i^(e) = R^(e)

Anche in questo caso possiamo definire:

• Quantità di moto
  P = Σ_i=1^N p_i = Σ_i=1^N m_i v_i
• Momento angolare
  L = Σ_i=1^N r_i × m_i v_i

Centro di massa

Tutte proprietà di un sistema di particelle possono essere evidenziate se si fa riferimento al centro di massa le cui coordinate sono:

_ίa = ^{Σ_i=1N m_i ί_i}/_{Σi=1^N mi} = ^{Σ_i=1N m_i ί_i}/_M

La posizione del centro di massa non coincide con quella di nessuna particella!

Ὼ_ίa = dίa/dt = ₁/^M Σ_i=1^N m_i Ὼ_i

ῺP = MῺίa

La quantità di moto totale del sistema sarebbe la stessa se si considerasse che tutta la massa è concentrata nel centro di massa.

†Ὼ_αa = dῺίa/dt = ₁/^M Σ_i=1^N m_i†Ὼ_i= ₁/^M(Σ_i=1^N F_i - †R_(e))

Prima equazione cardinale dei sistemi di particelle

†R_(e) = †H_αa = dP/dt

Il centro di massa di un sistema di particelle si muove come se tutta la massa fosse concentrata nel centro e fosse sotto l'azione di R_(e).

Se R_(e) = 0 H_αa = 0 Ha moto uniforme [Questo non vale per le singole particelle!!]

Il centro di massa permette di descrivere la cinematica e la dinamica dell'insieme del sistema di particelle ma non delle singole.

dL/dt = Σ_i=1^N(F_i Χ m_iῺ_i) = Σ_i=1^N d/dt (Χ m_iῺ_i) + Σ_i=1^N F_i Χ m_i dῺ_i/dt = Σ_i=1^N †ίi Χ A_i

Seconda equazione cardinale dei sistemi di particelle

4) \(\sum_{i=1}^{N} (\vec{R_i} - \vec{R_a}) \times m_i \vec{V_a} = \sum_{i=1}^{N} \vec{R_i} \times m_i \vec{V_a} - \sum_{i=1}^{N} \vec{R_a} \times m_i \vec{V_a} = \)

\( = \left( \sum_{i=1}^{N} \vec{R_i} - \vec{R_a} \sum_{i=1}^{N} m_i \right) \times \vec{V_a} = \sum_{i=1}^{N} \vec{R_i} m_i \times \vec{V_a} - \sum_{i=1}^{N} \vec{R_a} m_i \times \vec{V_a} = \)

\( = \vec{R_a} M \vec{V_a} - M \vec{R_a} \vec{V_a} = 0 \)

\(\Rightarrow L = L_a + L_{ic} \)

II) \(E_k = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{v_i}^2 = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i (\vec{v_a} + \vec{v_{ic}}) ^2 = \)

\( = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{V_a}^2 + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{v_{ic}}^2 + \sum_{i=1}^{N} = \)

\(= 0 \) poiché \(\vec{v_{ic}} \uparrow\downarrow \vec{V_a} \)

\(= E_{k,a} + E_{k,ic} \)

se nel sistema di centro di massa se il baricentro fosse posto nel centro di massa

4) \(\sum_{i=1}^{N} (\vec{r_{i}} - \vec{r_{a}}) \times m_{i} \vec{v_{a}} = \sum_{i=1}^{N} (\vec{r_{i}} - \vec{r_{a}}) \times m_{i}\)

\(\begin{vmatrix}\sum_{i=1}^{N}\end{vmatrix} (\vec{r_{i}} - \vec{r_{a}}) \times m_{i} \vec{v_{a}} = \sum_{i=1}^{N} \vec{r_{i}} m_{i} \times \vec{v_{a}} - \sum_{i=1}^{N} \vec{r_{a}} m_{i} \times \vec{v_{a}} = \)

\(\sum_{i=1}^{N} \vec{r_{i}} m_{i} \times \vec{v_{a}} = \sum_{i=1}^{N} \vec{r_{a}} m_{i} \times \vec{v_{a}} = \)

= \(\vec{r_{a}} \mathit{M} \vec{v_{a}} - \vec{r_{a}} \mathit{M} \vec{v_{a}} = 0\)

\(\Rightarrow L = \vec{L_{a}} + \vec{L'_{c}}\)

II) \(E_{k} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_{i}\vec{v_{i}}^{2} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_{i} (\vec{v_{a}} + \vec{v'_{c}})^{2} = \)

= \(\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_{i}\vec{v_{a}^{2}} + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_{i} \vec{v'_{c}^{2}} + \sum_{i=1}^{N} \langle m_{i} \vec{v'_{c}}, \vec{v_{a}} \rangle = \)

\(= 0 \quad poiché \quad \vec{v'_{c}} \overset{\rightarrow}{\Delta}\vec{v_{a}}\)

= \(E_{k,a} + E_{k,c}\)

is nel sistema di centro di massa se il la massa fosse posta nel centro di massa

Problema degli N corpi

Se volessimo risolvere il problema dinamico di un sistema isolato (R⁴) di N corpi, avremo bisogno di 6N condizioni iniziali.

{r₁, r₂, ... r_i, r_N; v₁, v₂, ... v_i, v_N}

Ricordando che r_i e v_i hanno rispettivamente 3 componenti (i,j,k)!

N = 2

Le due masse interagiscono tra loro

m₂ ^d2r₁/_dt² = F₁

m₂ ^d2r₂/_dt² = F₂

F₁ - F₂ = F (principio di azione e reazione)

r = r₁ - r₂

Sottraiamo membro a membro, dopo aver diviso per la rispettiva massa:

^d2r₁/_dt² - F₂/m₁ ; ^d2r₂/_dt² - F₂/m₂

^d2r₁/_dt² - F₁/m₁ - ^d2r₁/_dt² - F₂/m₂ = F ^{(1/m₁ + 1/m₂)}

d²(F₁-r₂)/dt² = F ⋅ ^{(1/m₁ + 1/m₂)}

d²F/dt² = F ^{m₂ + m₁/m₁m₂}

F* = d²r/dt²

m₁m₂/m₂+m₁ Massa ridotta = Il problema a 2 corpi è diventato a 1 corpo, risolvibile una volta definito il valore di F

Un'equazione equivalente si ottiene se si riferimento del centro di massa.

^∑ _{i mi ri} = ^{m₁ r₁ + m₂ r₂}  M     m₁ + m₂

r_a

r_a = r̅_a + r̅_ce ; r̅_b = r̅_a + r̅_ce

d²(r_a + r_ce) = ^F₁ , d²(r_a + r_ce) = -^F₂

dt²      m₁       dt²    m₁

Sottraiamo membro a membro:

d²(r_a + r_ce) - d²(r_a + r_ce) = F^{(1 + 1)} dt²            dt²          m₂ m₂

d^{2(r_a(r_ce − r_a − r_ce)} = F^{m₂ + m₁}dt²                 m_1m2

F_{dF2 - F2} = _{m1m2dt²m2 + m1}

Nel caso in cui m₂ << m₁

μ = ^m₃m₂ ≈ (m₂ )  m₁

Il centro di massa     è collocato m1 (m₁)

Nel caso n=3 la soluzione non è periodica e presenta un esempio di sistema periodico.

Leggi di Keplero

Rappresentano la prima dimostrazione sperimentale della legge di gravitazione universale.

• I pianeti descrivono intorno al Sole orbite piane ellittiche, di cui il Sole è uno dei due fuochi.
• Il moto dei pianeti avviene con velocità areolare costante.
• Il rapporto tra il quadrato del periodo di rotazione intorno al Sole ed il cubo della semiasse maggiore dell'orbita a è costante per tutti i pianeti
  _T²/_a³ = cost

Sono, qst leggi, una conseguenza della ipotizzando che M_p