Fisica generale

9-03-2020 Meccanica, quantità di moto

Partendo dalla Terza legge di Newton (azione-reazione) ̅ −̅=1,2 2,1

Considerando la seconda legge di Newton F=ma possiamo esprimere le forze come: ̅ = ̅1,2 1 1 ̅ = ̅2,1 2 2

Poiché l’accelerazione è la derivata della velocità rispetto al tempo risulta: ̅ + ̅ = 01 1 2 2/( ̅ + ̅ ) = 01 1 2 2

Questa espressione ci dice che durante tutto il moto questa quantità ha una derivata nulla cioè si conserva ̅ = ̅ + ̅ = 1 1 2 2

Ne deriva la legge di conservazione della quantità di moto, valida finché il sistema è isolato e per un numeron qualsiasi di particelle indipendentemente dalla natura delle forze in gioco: ̅ ∑ ̅ =

Se il sistema non è isolato sulle n particelle oltre alle forze reciproche possono agire altre forze esterne che a differenza delle reciproche non si annullano a vicenda, perciò risulta la prima equazione cardinale: ̅ ̅∑ =

Nel caso di una sola particella risvolgendo il processo iniziale in un sistema non isolato si ottiene che: ̅ ̅∑= = ̅ )(̅ ̅∑(̅ ) = ( = )̅∑̅ =

Risulta evidente che la prima equazione cardinale è una generalizzazione della seconda legge di Newton e che a differenza di quest’ultima non è vincolata al fattore di costanza della massa. 1

Esempio applicativo

̅̅ ̅ 1 1= 0 = = ̅ + ̅ ̅ = −Per quanto detto fin ora vale che e quindi 1 1 2 2 2 2

Questa relazione ci fa notare, attraverso il rapporto m1/m2, la dipendenza tra velocità e la massa infatti maggiore è la massa del corpo minore sarà la velocità. (concetto di inerzia)

Consideriamo quanta energia rilascia l’esplosione, la quale risulterà interamente nella K dei detriti, conoscendo m =0,5 kg, m =2 kg e |v |= 2 m/s :1 2 1 1 112 22K = + 1 22 2

̅ con la sua espressione precedente: Sostituendo 2 12 121 1 12K= + 1 2 222 2

Eseguendo i calcoli coi valori conosciuti otteniamo K=1,25 J

Al concetto di P si lega quello di impulso “I” ossia il risultato dell’applicazione di una forza in un tempo estremamente breve.

Esso è definito considerando una qualsiasi F(t) come: t 2 F̅(t)I = ∫ ⅆt1

̅ ̅=Ricordando che per sostituzione abbiamo che: ⅆ ̅ ̅ ̅=∫ ⅆ = − = ∆ ⅆ

Una palla che rimbalza in modo elastico K =K1 2|v’|=|v| ′ = ̅ = − m ̅ − ̅ = −2̅ 2

Centro di massa

Consideriamo n particelle, riprendendo la prima equazione cardinale abbiamo che: ̅ ∑̅( )= ̅ + ̅ +. . . . =1 1 2 2 ̅

Forma che riporta alla seconda legge di Newton portandola per semplificazione alla forma Considerando M=m +m +….., perché le due forme siano equivalenti ossia:1 2 ̅ ( )̅ + ̅ +. . . . = 1 1 2 2 è necessario che: . . . .̅ ̅ + + ∗ ̅= . . . . + + *

N.B.: la velocità del c.m. è una media delle velocità delle singole particelle pesata con la loro stessa massa

Così facendo le due particelle sono assimilabili ad un’unica massa che risponde alla 2^ legge di Newton.

Questo oggetto ideale di massa M è definito come centro di massa, la cui velocità si esprime come sopra.

̅L’equazione della posizione del c.m. risulta analoga a quella di essendo quest’ultima la sua derivata: . . . .̅ ̅ + + ̅= . . . . + +

Ricapitolando

Noi definiamo un sistema di n particelle mediante una particella ideale detta centro di massa del sistema la ̅ ̅∑= ̅ =cui posizione e velocità sono definite come sopra e la quantità di moto come.

Risulta inoltre che anche l’equazione di moto per il c.m. è data solo dalla risultante delle forze esterne; fattore che ci aiuta nel considerare la dinamica di un punto materiale che è uno studio possibile grazie al fatto che si può considerare ogni corpo esteso mediante il suo c.m. che è proprio un punto materiale.

Questa semplificazione però ha dei limiti perché fa perdere delle informazioni; primo tra tutti il fatto che consente di descrivere solo il moto traslazionale mentre oggetti estesi possono anche ad esempio ruotare, moto non descrivibile con il c.m.

Posso applicare la teoria del c.m. non solo a n particelle ma anche a corpi continui estesi

Consideriamo un corpo dividendolo in ∆m ognuno con la sua posizione x definendo così i 1̅ ∑= ̅ con ∆m→0 ottengo: 1̅ = ∫ ̅ =Considerando : ̅ ̅ = ∫ ⅆ

I diversi tipi di densità: = = = Densità di volume Densità di superficie Densità di linea 310-03-2020

Centro di massa per una lastra rettangolare con densità omogenea

Centro di massa per una lastra rettangolare con densità omogenea 1̅ = ∫ ̅ Essendo una superficie NOTA BENE σ=2M/ab→

• A=(ab)/2
• X è un vettore ed essendo un piano avrà due dimensioni
• DA è un elemento di area definito da coordinate ossia dA=dxdy

Per calcolare la coordinata X del c.m. quindi: 1= ∫ 0∫0σ una costante la porto fuori e sostituisco con l’espressione sopra indicata: Essendo 1 2= ∫ 0∫0x è specifico quindi costante e lo porto fuori dall’integrale interno, semplifico e svolgo opportunamente 3 2 2 2 2 22→ → →= ∫ = ∫ = = ∫ ∫ X=2 20 0 3 30 0

Quindi il c.m. ha X pari a 2/3 della base.

Si ripete lo stesso procedimento per la y: 2= ∫ 0∫0 2∫ =Qui non posso svolgere semplificazione ma integrare y tra gli estremi sapendo che 22 2 3 2 1 2→ →= = ∫ ∫ =2 3 30 0 2 3 3

Quindi il c.m. ha coordinate (2a/3, b/3) 4

Momento angolare

Definito per una singola particella rispetto ad un polo O:

Il polo rappresenta il sistema di riferimento rispetto al quale la massa si trova con ̅posizione così che il momento angolare risulta dal prodotto vettoriale: ̅ ̅ ̅ ̅ ̅= × = × |̅| =

N.B.

• Il momento angolare è un vettore;
• Il prodotto vettoriale non gode della proprietà commutativa quindi deve essere eseguito in ordine;
• Il momento non è univocamente definito ma dipende sempre dalla posizione che si assegna al polo.

|̅|̅//̅ ̅ ̅⊥ = !! se allora il prodotto sarà nullo !! se allora

Il momento angolare nel moto circolare uniforme

̅ = ̅ × ̅Applichiamo la definizione, trattandosi di un moto circolare uniforme dobbiamo = .considerare la velocità angolare tale che Utilizziamo ancora R perché dato il caso il polo più comodo è ovvio da utilizzare è il centro della circonferenza.

Inoltre, essendo vettore posizione perpendicolare al vettore velocità in quanto questa è sempre tangenziale alla circonferenza risulta che: ̅ 2| | =

Verso e direzione si stabiliscono in base alla regola della mano destra e in questo caso il vettore risulterà perpendicolare al piano ed uscente da passante per il polo.

Due corpi legati da una barra priva di massa

Il momento angolare totale è la somma degli n momenti angolari dellen masse quindi: ̅ ̅ ̅̅ = + + ⋯ ⋅ 1 2

In questo caso il polo naturale si trova a metà della barra che coincide anche con il c.m.

̅ ̅| | = | | = ̅ ⊥ ̅poiché inoltre per la regola della mano destra1 2 2 risultano entrambi perpendicolari al piano ed uscenti da esso.

Risulta quindi essere: ̅ ̅̅ = + = 2 = ̅1 2 2 ̅ = 0.e muovendosi in direzioni opposte fanno si che ̅

Se prendiamo questo secondo caso il calcolo dei moduli di sarebbe identico ma avendo direzioni opposte risulta evidente che mi trovo un momento angolare entrante nel piano e l’altro uscente questo fa sì che ̅ = 0.risulti:

Mentre inversamente al primo caso avendo le velocità stesso verso ̅ = 2̅ . 5

Come varia il momento angolare rispetto al tempo?

̅ ̅ ̅= × Ricordando che lo derivo rispetto al tempo: ̅ ̅= ̅ × ̅ + ̅ × ̅ × ̅ ̅/=0 in quanto sono paralleli inoltre altro non è che la forza quindi: ⅆ̅ ̅̅ ̅= × = momento torcente ⅆ

Momento angolare di una particella

Metodo 1 |̅| = ( ) essendo un prodotto vettoriale non nullo considero il prodotto tra il modulo di r e quello di F proiettato rispetto all’angolo

Metodo 2 |̅| = ( ) in questo caso si considera la proiezione “d” di r) perpendicolare ad F (ossia di angolo che identifica il braccio:

Quindi il momento torcente altro non è che il prodotto tra il braccio e la forza (esempio di questi moti sono le leve). 11-03-2020

Moto rotazionale vs moto traslazionale

̅ ̅̅ = ̅ ̅= × ̅ ̅̅ ̅ = × ⅆ̅̅ⅆ ̅= = ̅ⅆ ⅆ = = = ∑ M

N.B.

• Tutte queste si riferiscono a singole particelle, nel caso di n particelle si considerano le stesse equazioni ⅆ̅ ⅆ̅ⅆ̅→ ∑= ̅ = ∑ = ̅come sommatoria delle singole particelle es ⅆ ⅆ ⅆ
• In tutti i sistemi i momenti torcenti dati da forze interne si bilanciano a coppie di particelle quindi il risultante sarà dato, se il sistema non è isolato, dai momenti torcenti causati da forze esterne, considerazione che ci porta ad esprimere la seconda equazione cardinale: ⅆ̅ = ∑ ̅ ⅆ

Nel caso invece di un sistema sia isolato i momenti torcenti esterni sono nulli e questo stabilisce il momento torcente interno si conserva. 6

Due pattinatori su linee parallele

Nel momento in cui i due si trovano alla minima distanza si afferrano la mano a distanza b e iniziano a ruotare.

Analizziamo quindi il sistema iniziale: ̅ = ̅ − ̅ = 01 quindi il c.m. non si muove.

̅ ̅ ̅→ → = ̅ × ̅ ̅ = = | | = = | |Risulta poi essendo che secondo la regola della1 1 22 2 mano destra hanno stessa direzione e verso (entrante) quindi: ̅̅̅| | = 2 = 1 2

Dopo l’aggancio: 2̅ ̅2| | = | | = Per un moto circolare quindi poiché il momento angolare 4totale si deve conservare: 2|̅ |̅| |= = = 2 1 2 4Da cui risulta: 2|̅| = −

Si consideri un corpo rigido definito come un insieme di n particelle tale che le distanze relative tra di esse non possano cambiare.

Questo corpo potrà solo traslare il suo c.m. o ruotare attorno ad esso. .Supponiamo che sia in rotazione attorno all’asse con una certa velocità angolare

Consideriamo un elemento di volume nel corpo con massa m che, come tutto il 1resto, ruoterà di M.C.U attorno all’asse.

La sua K sarà: 1 12 2 2 = = 2 2

Quindi la K risulta essere la sommatoria a meno delle costanti: tot 1 22 = ∑ = ∑ ̅2 2 = ∑ corrisponde al momento di inerzia I per n particelle che per un corpo esteso va a definirsi 2 = = ∫ . .mediante integrale L’energia cinetica risulterà quindi ̅

Momenti di inerzia per specifici casi

1 1 22 2 2 2 = = = = 212 2 5 7

Il momento di inerzia è legato all’asse che considero in particolare alla condizione o meno che questo passi per il centro massa o sia parallelo a quello che vi passerebbe.

Supponendo di aver calcolato I per l’asse A’ e ora vogliamo calcolarlo per l’asse A sfruttando la relazione che intercorre tra di esse.

Questo è possibile grazie al Teorema di Huygens-Steiner.

Considero un elemento di volume qualsiasi: 2 = ∑ 1 , = + Considerando che per qualsiasi punto si sviluppa che:′, ,2 2 2 2∑ ( ∑ ∑ ∑ = + ) = + + 2 = + + 0′ ′ ′′ , , ,

Quindi il momento di inerzia rispetto a qualsiasi asse non passante per il c.m. (A) parallelo a quello passante per il c.m. (A’) è definito come: = + ⅆ′

I di una sbarretta per rotazione intorno ad un estremo

Metodo 1: applico il teorema conoscendo i cm

1 2 = quindi per la rotazione intorno ad A avrò che: 12 2 1 1 12 2 2( ) = + = + = 2 12 4 3

Metodo 2: lo ricavo direttamente dalla definizione di I

3 2 12 2 2 2 2 = ∫ = ∫ = ∫ = ∫ = × = 3 30 0 0 0

Come scomporre la K di un corpo rigido in moto traslazionale e rotatorio?

1 2 = ∑ ̅ = ̅ + ̅poiché risulta: ,2 1 22 = ∑ ( + + 2̅ × ̅ )=1 , ,2 2 2 2 = Poiché ė,1 12 2= + + ̅ ∙ ∑ ̅ , 2 2 = + +

• Quantità di moto totale del centro di massa (che nel sistema del centro di massa stesso è nulla)
• Energia cinetica centro di massa
• Energia cinetica del moto rotazionale attorno al centro di massa 8

Lancetta dell’orologio che ruota su un asse non nel c.m.

Posso studiare la lancetta considerando il moto circolare del c.m. e in contemporanea la rotazione della lancetta attorno al suo stesso c.m. 1 1 questo perché per la rotazione attorno2 2 2 = = 1 2 = ad un estremo della barra2 6 321 12 2( ) = + 2 2 2 1 2 = Poiché 121 2 2 = 6

!!Tutto ciò che ruota ha un momento angolare e uno spin!!

La componente z del momento angolare è legata al momento di inerzia e quindi all’accelerazione angolare.

Consideriamo un corpo rigido che ruota attorno all’asse Z nel c.m. ̂ ̅Calcolo la componente del momento angolare, essendo entrante nel piano: 2 = = , Ne deriva che: = ∑ = ,