Fisica 2 - Appunti

Il manoscritto

G. Russo & G. Sigillo

Campo elettrico

Il campo elettrico in un punto P dovuto ad un gruppo di particelle cariche è definito come rapporto tra la forza elettrica F esercitata dal gruppo di particelle sulla carica di prova, e la carica della particella di prova stessa q0: �⃗�⃗ .=prova stessa q0: Il campo elettrico prodotto da questo gruppo di particelle cariche dipende da:

• Distribuzione di carica (posizione nello spazio)
• Posizione P in cui si misura il campo ⃗ �⃗

Poiché è una grandezza vettoriale, anche è un campo vettoriale. Il verso di E è concorde con quello della forza che agisce su una particella di prova carica positivamente, e si misura in N\C.

�⃗ Legge di Coulomb �= , dividendo per otteniamo la formula del campo elettrico: Presa la 0 �⃗ �= , generato da una carica puntiforme. �⃗ un campo elettrico generato da più cariche puntiformi: � Invece per =

Dipolo elettrico

Un dipolo elettrico è costituito da due cariche puntiformi di valore assoluto uguale e segno opposto, poste a distanza molto piccola rispetto alle altre distanze presenti nel contesto. Il dipolo elettrico è dal momento di dipolo elettrico �⃗, un vettore il cui modulo è dato dal prodotto del caratterizzato �( ||)⃗� = . La direzione del momento valore assoluto della carica per la distanza tra le due cariche: di dipolo è la retta che congiunge le due cariche il, verso è quello che va dalla carica negativa alla positiva.

Attraverso il momento di dipolo, è possibile calcolare gli effetti del Il campo elettrico dipolo sull'ambiente circostante e viceversa. �⃗ generato dal dipolo ( ) [ ( ��)� �] = − . vale:

Campo elettrico sull’asse di un dipolo

G. Russo & G. Sigillo

Determinazione campo elettrico nel piano equatoriale di un dipolo

G. Russo & G. Sigillo

Gli effetti di un campo elettrico su di un dipolo, sono riassumibili dalla risultante delle forze esterne, ovvero quella che governa le rotazioni. Allora possiamo analizzare il dipolo come un sistema rigido, andando a studiare la risultante delle forze esterne ed il momento risultante di queste. Per la risultante delle forze esterne è semplice notare come esso =qE e F =-qE.F Mentre per il momento di dipolo si sia nullo, dato che + -× F + r × F = q(r − r ) × E => τ = × Eτ = r �⃗ ha: + + - - - +

Il dipolo non subisce alcun effetto da parte del campo se è allineato con esso, ossia se il momento è parallelo e concorde, oppure opposto al campo elettrico, ma solo nel primo caso si ha una situazione di equilibrio stabile, negli altri casi appunto si avrà un momento meccanico che tende ad allineare il dipolo al campo. In termini di lavoro, per ruotare un dipolo di un angolo dθ un dipolo in un campo elettrico è lavoro dL = τdθ, necessario compiere un è possibile associare ad ogni posizione del dipolo una certa energia potenziale, in modo che il lavoro compiuto dall’esterno per ruotare il dipolo sia pari alla variazione di energia potenziale: L=∫ )( = = = − − − ∫ potenziale come U=− L’energia può quindi essere scritta è minima quando il momento è ed parallelo e concorde ad E.

Il lavoro per portare il dipolo da una posizione ad un’altra può essere quindi calcolato come variazione dell’energia potenziale tra la posizione finale e quella iniziale. Per dimostrare la formula si dovrebbe calcolare il potenziale elettrostatico ed arrivare quindi al campo elettrico tramite la loro relazione.

Campo elettrico generato da distribuzioni continue di carica

È possibile trattare la carica come una distribuzione continua di elementi infinitesimi di carica dq, il �⃗ �= dove r è la distanza da dq a P, ed il versore campo elettrico infinitesimo dE generato da dq è: �⃗ �⃗ integrando : � è diretto da dq a P. Il campo elettrico si ottiene = ∫ .

A seconda della distribuzione di carica, l’integrale sarà di volume, superficie o di linea:

• �⃗ �1. = ∭ dove ρ è la densità di carica di volume in C/m³ e dv è un elemento di volume appartenente alla distribuzione di cariche
• �⃗ �2. = ∬ dove è la densità di carica di superficie in C/m² e da è un elemento di superficie appartenente alla distribuzione di cariche
• �⃗ �3. = ∫ dove è la densità di carica lineare in C/m e dl è un elemento infinitesimo di linea appartenente alla distribuzione di cariche

Linee di forza

Le linee di forza hanno verso uscente dalla carica positiva ed entrante nella negativa, il campo E è tangente alle linee di forza.

G. Russo & G. Sigillo

Esempio distribuzione cariche

G. Russo & G. Sigillo

Flusso campo elettrico

Il flusso di un campo vettoriale è una grandezza scalare che dipende dal campo e dalla superficie rispetto alla quale viene calcolato, la superficie sarà rappresentata da un vettore superficie ds e ha come modulo l'area della superficie e direzione perpendicolare alla superficie stessa. Il flusso di un campo elettrico uniforme è attraverso una superficie piana ΦE = E · ΔS = EΔS cosθ quindi è dato da: . Il prodotto scalare tiene conto dell'orientazione della superficie rispetto alla direzione ed al verso del Campo il fattore ds cosθ può essere pensato come aria efficacia del flusso.

Il flusso essendo definito come un prodotto scalare è una grandezza scalare, SI Nm²/C. Se il campo elettrico E ed il vettore superficie ΔS sono ΦE= EΔS ΦE=0, ΦE= E ΔS cosθ paralleli il Flusso se sono perpendicolari se la superficie è inclinata Con superficie curva una o quando il campo elettrico varia da punto a punto su di essa il flusso si calcola dividendo quest'ultima in piccoli elementi di superficie ciascun abbastanza piccolo da poter essere considerato piano è tale che su di esso la variazione del campo elettrico sia trascurabile, il flusso attraverso l'intera superficie è allora la somma dei singoli contributi di ciascuno dei piccoli elementi di. ΦE = ∫∫E · dS = ∫∫E dS cosθ. superficie

Legge di Gauss

“Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa arbitraria è pari alla somma algebrica delle cariche contenute all'interno del volume delimitato dalla superficie divisa per la costante dielettrica del vuoto” ⃗�⃗ �⃗= => ∬ = ∭

La superficie chiusa attraverso la quale si calcola il flusso del campo elettrico è solitamente una superficie geometrica immaginaria detta superficie gaussiana che non necessariamente corrisponde alla superficie di un oggetto, il flusso relativo a ciascuna superficie è proporzionale al numero delle linee che attraversano la superficie medesima mentre la densità delle linee rappresenta intensità del Campo. Una superficie di qualunque forma può essere approssimata combinando numero infinito di calotte sferiche e facce piane e radiali infinitesimali, dato che i flussi attraverso le calotte sferiche si elidono a due a due il flusso dovuto una particella carica esterna e che il flusso attraverso le facce piane radiali è nullo, al volume racchiuso è nullo. �⃗ =

Flusso attraverso una superficie arbitraria con carica puntiforme all'interno

Mentre per il considerata una superficie gaussiana sferica di raggio r, in ogni punto della superficie E è parallelo a dS, e il suo modulo e la sua componente radiale Er hanno lo stesso valore e quindi può essere portato fuori dall'integrale: �⃗ �⃗ ⃗ ⃗ ⃗= ∬ = ∬ = ∬ = =

Dato che qualsiasi superficie di forma arbitraria può essere concepita come limite di un numero infinito di calotte sferiche e facce piane radiali infinitesime, per una superficie chiusa di forma qualsiasi, il flusso �⃗ = dovuto ad una particella di carica q interna al volume racchiuso è pari a:

Flusso attraverso una superficie arbitraria con cariche puntiformi sia interne che esterne

Considerata una superficie gaussiana arbitraria e tre particelle cariche q1, q3 interne e q2 esterna, per il principio di sovrapposizione il campo è dato dal vettore somma dei contributi delle singole particelle: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗�⃗�⃗ ����⃗ ����⃗ ����⃗ �⃗ ����⃗ ����⃗ ����⃗ �⃗ ����⃗ ����⃗ ����⃗=> => = + + = ∬ = ∬ � + + � = ∬ + ∬ + ∬

G. Russo & G. Sigillo �⃗����⃗ Supponendo che E sia esterno alla superficie, il suo contributo è nullo, quindi: = + + .2

In generale, per un numero qualsiasi di particelle cariche, il flusso attraverso una superficie chiusa di ∑⃗�⃗ �⃗= ⇒ ∬ = forma arbitraria è:

Gauss in forma differenziale

Per rappresentare la legge di Gauss in forma differenziale è necessario introdurre il concetto di divergenza di un campo vettoriale. Consideriamo un volumetto Δv intorno ad un punto P e la superficie ΔS che lo racchiude, calcoliamo il rapporto tra il flusso ΔΦ del campo elettrico attraverso ΔS e il volume Δv. Considerando volumi sempre più piccoli contenenti il punto p otteniamo la divE nel punto P: ∆ = = . ∆ ∆→

Per poter utilizzare la divergenza dobbiamo esprimerla in termini delle componenti del campo, o più precisamente delle loro derivate: ����⃗����⃗ ����⃗ �⃗ �� , allora = + + = + + (divergenza di un campo vettoriale).

Nel caso del campo elettrico, attraverso la legge di Gauss, otteniamo che: divE = dato che: = e dato che = , allora , ovvero la legge di Gauss in forma differenziale.

Determinare campo elettrico da legge di Gauss (distribuzione di carica lineare)

G. Russo & G. Sigillo

Esempio sfera cava

G. Russo & G. Sigillo

Proprietà elettrostatiche di un conduttore

Campo e carica all’interno di un conduttore

Quando le cariche sono in equilibrio statico il campo elettrico all'interno di un conduttore deve essere nullo, altrimenti ci saranno correnti perpetue all'interno del conduttore. Preso un conduttore con una superficie gaussiana al proprio interno, dal momento che il campo elettrico è nullo, in ogni punto interno al conduttore il flusso di E è anche esso nullo. Pertanto la legge di Gauss comporta che la carica totale racchiusa sia pari a 0, e ciò vale per qualsiasi superficie chiusa purché interna al conduttore. Quindi non vi possono essere eccessi di carica all'interno di un conduttore cioè la densità di carica ρ deve essere nulla, solo in un isolante può essere diversa da 0. L'eccesso di carica può essere solo sulla superficie di un conduttore con una densità superficiale σ.

Teorema di Coulomb

Campo nelle immediate vicinanze di un conduttore ( )

Consideriamo un conduttore carico in equilibrio elettrostatico immerso in un materiale isolante con costante dielettrica ε, per calcolare in un generico punto P sulla superficie del qual'è l'intensità del campo elettrico E utilizziamo il teorema di Gauss. Scegliamo una calotta sferica intorno al punto P molto piccola da considerare la superficie piana, costruiamo una superficie gaussiana con le basi parallele alla calotta. La semialtezza ∆X del cilindro è infinitesima, perciò nella parte del cilindro esterna al conduttore il campo elettrico è identico a quello nel punto P. Il cilindro contiene una carica infinitesima ∆Q che si trova sulla superficie del conduttore. = , Per Gauss => = 0

Allora = E = componente normale n = componente tangenziale =0 poiché con E t la componente diversa da zero non si avrebbe una condizione di equilibrio elettrostatico

Energia potenziale elettrica

Energia potenziale di una particella di prova nel campo di una carica puntiforme

Consideriamo il lavoro compiuto dalla forza elettrica quando una particella di prova carica q0 viene spostata nel campo di una carica puntiforme q fissa. Nel caso muovessimo la particella q0 lungo un arco di circonferenza vediamo come questo lavoro sia uguale a zero dato che dl è sempre perpendicolare da E in ogni punto della traiettoria. Un percorso di forma arbitraria può essere concepito come una successione di un numero infinito di archi e di segmenti radiali infinitesimi. Lungo gli archi come abbiamo visto il lavoro è nullo mentre lungo i tratti radiali si avrà: ⃗�⃗ � �.= −�

Il lavoro compiuto dalla forza elettrica dipende soltanto dalla distanza tra le particelle prima dello spostamento r e dopo lo spostamento r, ciò è vero qualunque sia il numero dei tratti radiali e degli a b G. Russo & G. Sigillo archi perché i termini che contengono distanze diverse da r e r si elidono sempre. Questa equazione è a b valida per qualunque percorso che connetta a e b, vale a dire che il lavoro compiuto dalla forza elettrica è indipendente dalla traiettoria quindi la forza è detta conservativa. La variazione di energia potenziale è pari al lavoro compiuto dalla forza conservativa cambiato di segno: ⃗�⃗ � � − = − � implica che − = −

Otteniamo l’energia potenziale di una particella di prova ad una distanza r da una carica puntiforme. Sostituendo = e = : ( ) = 0. = ∞ U=0 r= Ciò corrisponde a porre per ∞. Infine andando a far corrispondere (nella prima equazione) il punto b ad una distanza r, e il punto a con una distanza molto grande(infinito) otteniamo che: ⃗�⃗( ) � = − ∞

U(r) è quindi l’opposto del lavoro compiuto dalla forza elettrica quando la particella di prova viene portata da un punto molto lontano a un punto a distanza r dalla carica puntiforme.

Energia potenziale di una particella