Fisica 1 per l'orale

Capitolo 2 - Grandezze scalari e vettoriali

• Scalare → 1 numero reale
• Vettore → 3 numeri reali
• Vettore applicato
• Specificare punto di applicazione (Vettore libero).

2.1 Rappresentazione dei vettori

(Rappresentazione grafica)

• Modulo → lunghezza della freccia (definito positivo)
• Direzione → famiglia di rette parallele alla freccia
• Verso → dalla punta alla coda.
• Rette di applicazione → sulla quale giace il vettore
• Versore → vettore il cui modulo non individua una famiglia di rette orientate fra loro.

2.2 Operazioni coi vettori

Somma: vettore + vettore = vettore → c = a + b

Proprietà

• Commutativa → a + b = b + a
• Associativa → a + (b + c) = (a + b) + c
• Prodotto di uno scalare per un vettore → α a = α a (unico vettore)
• Modulo → |α| |a|
• Stessa direzione del vettore
• Verso concorde se α > 0, discorde se α

Somma in componenti cartesiane

a = a_xu_x + a_yu_y + a_zu_z

b = b_xu_x + b_yu_y + b_zu_z

a + b = (a_x + b_x)u_x + (a_y + b_y)u_y + (a_z + b_z)u_z

n.b. se a || b → C: a = cb sempre!

Proprietà

• (b + c) a = ba + ca
• A (b + c) = ab + ac
• Abc = a(bc) = (ab)c

Capitolo 2 - Grandezze scalari e vettoriali

• Scalare ➔ 1 numero reale
• Vettore ➔ 3 numeri reali

2.1 Rappresentazione dei vettori

(Rappresentazione grafica)

V_i ⃗ ➔ Vettore

• Modulo ➔ lunghezza della freccia (definito positivo)
• Direzione ➔ famiglia di rette parallele alla freccia
• Verso ➔ dalla punta alla coda
• Rette d'applicazione ➔ sulla quale giace il vettore
• Versore ➔ vettore in modulo unitario, individua una famiglia di rette orientate fra loro //.

2.2 Operazioni coi vettori

Somma: vettore + vettore = vettore

ā + ā = c⃗

Sottrazione: invertendo il verso del vettore da sottrarre.

Proprietà:

• Commutativa ➔ a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗
• Associativa ➔ a⃗ + (b⃗ + c⃗) = (a⃗ + b⃗) + c⃗ = a⃗ + b⃗ + c⃗ = (a⃗ + b⃗) + c⃗
• Prodotto di uno scalare per un vettore ➔ αa⃗ = a⃗ (unico vettore)
• Modulo ➔ |αa⃗| = |α|·|a⃗|
• Stessa direzione del vettore
• Verso concorde se α > 0, discorde se α ½ = V_X × ȗ^x = ...

Vettore in componenti cartesiane ➔ r

Somma in componenti cartesiane:

a⃗ = ...

n.b. se a⃗//b⃗ ≡ C: a⃗ = Cb⃗ sempre!

Proprietà:

• (b + c) a⃗ = a⃗b⃗ + a⃗c⃗
• A(b⃗ + c⃗) = ab⃗ + ac⃗
• Abc = a(bc) = (ab)c

Prodotto scalare

Prodotto scalare

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = a b \cos \theta = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\)

\(\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)\) \(\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)\)

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\)

Dimostrazione:

\(\vec{a} = a_x \hat{u_x} + a_y \hat{u_y} + a_z \hat{u_z}\)

\(\vec{b} = b_x \hat{u_x} + b_y \hat{u_y} + b_z \hat{u_z}\)

Vedo che \(\hat{u_x} \cdot \hat{u_x} = 1\), \(\hat{u_x} \cdot \hat{u_y} = 0\), \(\hat{u_x} \cdot \hat{u_z} = 0\)

Quindi deduco che:

• I versori degli assi cartesiani sono \(\perp\)
• La terna \(\hat{u_x}, \hat{u_y}, \hat{u_z}\) è ortonormale (ovvero |carita 1 e \(\perp\))

Quindi: \(a_x = \vec{a} \cdot \hat{u_x}\), \(a_y = \vec{a} \cdot \hat{u_y}\), \(a_z = \vec{a} \cdot \hat{u_z}\)

\(|\vec{a}| = a = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}\)

n.b.: i vettori \(\vec{a} e \vec{b}\) sono sempre in un piano perché per 3 punti posti 4 piani solo.

Prodotto vettoriale

Prodotto vettoriale

\(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}\)

Modulo \(|\vec{c}| = a b \sin \theta\)

Direzione = dir\(\perp 1 \ \text{dir}\vec{a} \ \text{dir}\vec{b}\)

Verso = regola mano dx.

n.b.: se \(\vec{a} // \vec{b}\) \(\iff\) \(\vec{a} \times \vec{b} = 0 \iff \sin \theta = 0\)

n.b. è anticommutativo \(\Longrightarrow\) invertendo l'ordine il risultato cambia segno

\(\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}\)

\(|\vec{a} \times \vec{b}| = a b \sin \theta\)

\(a \times b = (a_y b_z - a_z b_y) \hat{u_x} + (a_z b_x - a_x b_z) \hat{u_y} + (a_x b_y - a_y b_x) \hat{u_z} =\)

\(\begin{vmatrix} \hat{u_x} & \hat{u_y} & \hat{u_z} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}\)