Estratto appunti esame di tecnica delle costruzioni sistemi a più gradi di libertà

Oscillazioni forzate

Si faccia riferimento ad un fabbricato piano con una parete infinitamente rigida; l'equazione di equilibrio dinamico sarà scritta per ciascuno dei piani nei quali avremo le F_h (spostate), ovvero per ciascuno dei suoi soli.

Piano 1

m₁y₁ + e₁u₀ + e₂(i_v1-i_v2) + k₄y₁ + k₂(u₁-u₂) = F₁

Piano 2

m₂y₂ + e₂u₁ + e₂(i_v3-i_v4) + k₄y₂ + k₃(u₂-u₃) = F₂

Piano 3

m₃y₃ + e₃(i_v3-i_v4) + k₃(u₃-u₂) = F₃

Riferimento alla situazione matriciale

In forma matriciale

[M] {ÿ_p} - [e] {Ÿ_iv} + [k] {y_p} = [F_e(t)_h] - [H] {ÿ_ie}

Oscillazione forzate (piano inferiore)

In questo caso, a provocare il moto, non sono le forze di piano equivalenti ma il terremoto. Il sisma sarà abitualmente inteso come un'accelerazione al suolo, le figure vanno a settorializzare le vibrazioni nuove, quindi: sempre avendo l'ipotesi di unilateralità totale equivalente a si ha:

[F(t)]_h [µ u₀] [y_ie] = [- [µ_h 0 0 1 0 0 -1]] ie_ie

Significando y_ie come una variabile che può essere semplificata introducendo le velocità ideali y_g, quindi il termine moto sarà innovato e usato:

[E(t)_h] = [-[M_t] y_ie^’] - [M]_t{y_g÷yz}

Quindi in definitiva, considerando

[H]{Ã;height=]y_iew0u/Ã – [Ã] {Hµ_h} + [K] eu, {y_ihi}/F(e_h)._h

Equazione di equilibrio dinamico per un modo elastico ottimale

Dissipabile da u(t)_t sospeso

Oscillazione forzate

Si faccia riferimento ad un piano con un'asta infinitamente rigida, l'equazione di equilibrio dinamico sarà scritta per ciascuno dei piani nei quali operano le _i (forzanti) oppure per ciascuno dei suoi corpi.

Piano 1

_m1ü₁ + e₁i₂ü₁ + e₁(ü₂-ü₁) + k₄(₂-₁) + k₅(ü₂-ü₁) + ₁ = ₄

Piano 2

_m2ü₁ = (ü₂-ü₁) + k₂(ü₃-ü₁) + k₄(ü₄-₅) + k₆(ü₃-ü₄) = ₇

Piano 3

_m3ü₁ = e₃(ü₂-ü₃) + k₃(ü₂-ü₃) = ₃

Equazioni matriciali

Pertanto si avvicinano le equazioni matriciali:

La forza materiale

[ 0 0 ₁ 0 ₂ ] ₁ = 0

[ ₁ ][ ₂ ][ ₃ ]

Oscillazione forzate (caso sismico)

In questo caso si governa il moto non pure le forze di piano esteriore della del terremoto. Il sisma introduce la sua accelerazione al modo, le rif a voi settore le vino nuova, quindi sempre sull'ipotesi di impianto rigido e nuove equilibriati si avrà:

[E(t)_z] = [ _μ ] [ _üe ] - { [ _ua ] }

[ _{e o} ] _ü = [ _{i e} ] - [ _{o o} ]

Questo ü_e è più nuovo e spiegato introducendo il vetro indicato ü_e = [ _E(t)] = - [_M] {[ _H] ü_e }

Quindi si definisca

[_H] [ ^ü+ e_S] {[] [_K] ^ü} = [_H] { _H}

Equazione di equilibrio dinamico per un MDOF

Riservato ottenuto [ _K ] dissipato da ut(b)

MDOF - Sistemi a più gradi di libertà

Generalmente i sistemi strutturali non sono sollecitati con vibrazioni solo su un piano in quanto essi hanno una sollecitazione tecnica. Tali sistemi non sono in generale a sole.

Nei casi che coinvolgono molti piani si può comunque osservare che le masse con un primo avvicinamento al livello degli impalcati per cui il loro comportamento può essere schematizzato come sistemi strutturati con molteplici gradi di libertà.

Modi di oscillazione libera

Per un piano, il numero di modi di oscillazione libera (modi di vibrazione)...