Tutta la teoria di Scienza delle costruzioni

Lezione aggiuntiva: (martedì)

Ricevimento (Tutoraggio): mercoledì ore 16:45 aula C1

Spazio euclideo E. P ∈ E -> punti Q . P

Spazio vettoriale affine V -> vettori u ∈ V

Notazioni: i vettori hanno una sottolineatura (u) e le matrici sono in lettera maiuscola con una tilde sotto (A), gli scalari con la letterina (m).

C’è una corrispondenza biunivoca tra E e V, perché: ∀P, Q ∈ E ∃! u = (P - Q) ∈ V.

Questo se si prendono i punti P e Q si ottiene nello spazio vettoriale affine un vettore che da Q va a P:

Q → P, il vettore è l’operatore che prende il punto Q e lo trasla sul punto P.

Nello spazio in cui viviamo possiamo definire una base di vettori (e₁, e₂, e₃) che sono:

• Ortogonali tra di loro (e_i ⋅ e_i = 0 ∀ i ⋅ j ∈ {1.2.3}, con i ≠ j)
• Versori a norma unitaria.

Sono una base nel senso che preso un generico vettore V…

Lezione aggiuntiva: _(martedì)

Ricevimento _(tutoraggio): mercoledì ore 16:45 aula C1

Spazio euclideo ℰ. ρ ∈ ℰ → punti Q; • P

Spazio vettoriale affine → vettori u ∈

Notazioni: i vettori hanno una sottolineatura _(⎯⎯⎯u) e le matrici sono in lettere maiuscole con una tilde sotto _(Ā), gli scalari con la lettera (m).

C'è una corrispondenza biunivoca tra ℰ e, perchè: ∀P, Q ∈ ℰ ∃! U = _(P-Q) ∈ .

Ovvero se si prendono i punti P e Q si ottiene nello spazio vettoriale affine un vettore che da Q va a P: ⎯⎯⎯^Q⎯⎯⎯^P ⇒ Q⟶P, il vettore è l'operatore che prende il punto Q e lo trasla sul punto P.

Base di vettori e componenti cartesiane

Nello spazio in cui viviamo possiamo definire una base di vettori (e₁, e₂, e₃) che sono:

• Ortogonali tra di loro (ĕ_i • ĕ_j = 0 ∀ i, j ∈ {1, 2, 3}, con i ≠ j)
• Versori a norma unitaria.

Sono una base nel senso che preso un generico vettore Si può definire la componente v_i del vettore V come la proiezione di V nella direzione del versore di base e_i.

v_i = V · e_i → V = ^{( v₁ v₂ v₃ )}_{e1 e2 e3} = v₁e₁ + v₂e₂ + v₃e₃ componenti cartesiane di V rispetto alle basi e₁, e₂, e₃.

Si può anche definire il sistema di riferimento con i versori i, j, k e le coordinate associate a questi versori sono rispettivamente x, y, z.

Corpo e insieme aperto

“Un corpo è una regione dello spazio euclideo, un insieme di punti continui, cioè (dal punto di vista topologico) un insieme aperto (ovvero Φ punto è sempre possibile, prendere un intorno di questo punto, piccolo a piacere, sempre contenuto all'interno dell'insieme)”.

Un insieme aperto è un insieme di punti dove ciascuno di essi è un punto di accumulazione, cioè è un insieme di punti senza soluzione di continuità (è un insieme continuo).

Nella prima parte del corso studieremo i corpi rigidi:

Corpo rigido (spazio Ω, con Ω ⊆ E)

∀P, Q ∈ Ω ⇒ |P-Q| = cost

"la distanza relativa tra due punti del corpo resta costante, altrimenti il corpo è deformabile"

Forza e condizioni di carico

Le condizioni di carico si manifestano attraverso le forze. Forza: vettore con punto di applicazione, direzione, verso, retta di applicazione.

F si definisce come (; P), con P = punto di applicazione

Definizione di forza

Forza = entità che tende a perturbare lo stato di quiete di un corpo, ad alterare il suo stato di moto, o a deformare un corpo.

Momento di una forza

Momento di una forza = preso un polo "O", si definisce il momento polare rispetto del polo "O" della forza il prodotto vettoriale tra il raggio vettore che dal polo "O" individua il punto "P" e il vettore di forza.

M_o = (P - O) × F = r × F

M_o è ortogonale al piano individuato da r e F;

Detta d la distanza misurata ortogonalmente rispetto ad "O" dalla retta d'azione di F, si ha |M_o| = Fd (modulo);

M_o non è un vettore applicato.

Esempio

M_o = (P₁ - O) × F + (P₂ - O) × (-F) = (P₁ - P₂) × F

Da quest'esempio scopriamo che se considero due forze antiparallele uguali e calcolare il momen