Scienza delle costruzioni: tutta la teoria del corso - Parte 2

Principio dei lavori virtuali

Il concetto riguarda il fatto che se un corpo ha possibilità di compiere lavoro lo fa diminuendo la sua energia potenziale.

Se compie lavoro, il corpo si muove e non è in equilibrio.

Coordinate lagrangiane: coordinate dei movimenti lasciati liberi dai vincoli.

Il principio dei lavori virtuali dice che:

V_I^e_qui = 0 ⟹ Equilibrio solo se

Il lavoro compiuto dalle forze esterne per ogni atto di moto rigido compatibile con i vincoli è nullo, quindi una non compie moto quindi non si muove.

Esempio

Ad es.

1. A P B
2. Atto di moto lasciato libero dai vincoli.
3. Forza P: verticale.
4. Quindi la forza non può compiere lavoro in direzione orizzontale e perciò l'asta è in equilibrio.
5. A P
6. Asta non in equilibrio perché la forza può compiere un lavoro facendo ruotare l'asta, asta non in equilibrio.

Qs. Le equazioni cardinali di equilibrio costituiscono casi particolari di applicazione del principio dei lavori virtuali.

Per il principio dei lavori virtuali il lavoro compiuto dalle forze esterne deve essere nullo per permettere l'equilibrio della trave.

Principio dei lavori virtuali

Il concetto riguarda il fatto che se un corpo ha la possibilità di compiere lavoro lo fa diminuendo la sua energia potenziale. Se compie lavoro, il corpo si muove e non è in equilibrio.

Coordinate lagrangiane: coordinate del movimento lasciato libero dai vincoli.

II. Principio dei lavori virtuali dice che:

V' = 0 → Equilibrio solo se

Il lavoro compiuto dalle forze esterne per ogni atto di moto rigido compatibile con i vincoli è nullo.

Ad esempio

1. Atto di moto lasciato libero dai vincoli.
2. Forza P: verticale.
3. Quindi la forza non può compiere lavoro in direzione orizzontale e per cui asta in equilibrio.
4. Asta non in equilibrio perché la forza può compiere un lavoro facendo ruotare l'asta in equilibrio.

Osservazione: Le equazioni cardinali di equilibrio costituiscono casi particolari di applicazione del principio dei lavori virtuali.

Atto di moto rigido lasciato libero in questo momento, regolando il carico.

Per il principio dei lavori virtuali il lavoro compiuto delle forze esterne deve essere nullo per permettere l'equilibrio della travi.

Un sistema è in equilibrio se l'energia potenziale del sistema, secondo ogni movimento lasciato libero dai vincoli, non varia:

dV/dq_i = 0 V = costante

A cosa serve il principio dei lavori virtuali?

Calcolo reazioni vincolari, interne ed esterne, nel caso in cui rimuovendo il vincolo la struttura acquista 1 gdl.

Esempio

Ex:

L* = lavoro compiuto dalle forze reali applicate al sistema per spostamenti virtuali.

L* = 0 R = P/2

Abbiamo applicato il PLV dicendo che, rimuovendo il vincolo, il sistema acquista 1 gdl e quindi possiamo trovare le reazioni vincolari.

Esempio

Ex:

Cosa posso determinare?

1. Tolgo ogni volta il vincolo relativo alle reazioni che voglio determinare.
2. Trovare isotatica non posso determinare.
3. Trovare isotatica non posso determinare M.

P

Per determinare R, dato che la trave acquista 1 gdl relativo allo spostamento orizzontale.

Principio lavori virtuali procedimento

1. Elimino il vincolo di cui voglio calcolare la reazione.
2. Rapplico la reazione come forza esterna.
3. Determino atto di moto rigido compatibili con tutti i vincoli.
4. Scrivo l'equazione dei lavori virtuali.

Se uno di questi passi non posso svolgerlo, la reazione non può essere calcolata.

Esempio ed esercizio

Ex

L* =

Esercizio

Reazione in A = ?

Dato che vogliamo le reazioni nella sezione A:

L^* = T_{α l}/₂ + T_α ³/₂ l + q l / ₂ × l / ₄ q l / ₂ α l ₅/₄ + 2 q l ⋅ _l/₂ = 0

α l / ₂ = β ³/₂ l

β = α / ₃

Per considerare gli spostamenti considero passo passo partendo dall’asta 11 ← 2 = 3

L^* = M_α - M^α/₃ + q l / ₂ α l / ₄ + q l / ³/ ₄ ⋅

Struttura labile → staticamente impossibile sistema aper segnare guardo cosa fa ruotare la trave una detto sotto se il senso un poggio e discorda alla rotazione che abbiamo gravoso.

Quindi appoggia allora ↑ fluttuazioni un senso ↓ cassa N

Analisi della deformazione

C₀ configurazione iniziale

C₁ configurazione finale

Il passaggio dall