Scienza delle costruzioni: tutta la teoria del corso - Parte 3

PROBLEMA ELASTICO

Studiamo il problema elastico di un solido generico sottoposto a forze e a spostamenti/deformazioni. Disponiamo delle seguenti equazioni:

1. EQUAZIONI DI EQUILIBRIO(Relazioni fra forze e tensioni)

   • \( \sigma_{ij,j} + b_i = 0 \quad \text{in } V \)
   • \( \sigma_{ij} n_j = \bar{f}_i \quad \text{in } \partial V \)

   3 Equazioni indipendenti

2. EQUAZIONI DI CONGRUENZA(Relazioni fra spostamenti e deformazioni)

   • \( \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} (u_{i,j} + u_{j,i}) \quad \text{in } V \)
   • \( u_i = \bar{u}_i \quad \text{in } \partial V \)

   6 Equazioni indipendenti

   Equazioni di congruenza implicite:\( \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} (u_{i,j} + u_{j,i}) \)

   (Ci sarebbero anche le equazioni esplicite)

3. EQUAZIONI DI LEGAME(Relazioni tra tensioni e deformazioni)

   \( \tau_{ij} = E_{ijkl} \varepsilon_{kl} \)

   6 Equazioni indipendenti

Questo insieme di sistemi viene considerato formando da 15 equazioni in

• Incongnite:
• \( \sigma_{ij} \) 6 funzioni incognite
• \( u_i \) 6 funzioni incognite
• \( \varepsilon_{ij} \) 3 funzioni incognite → 15 incognite

Questo sistema di 15 equazioni in 15 incognite è definito PROBLEMA ELASTICO

Oss: TUTTE LE EQUAZIONI SONO LINEARI se :

• 1) Uso l'ipotesi di piccoli spostamenti

PROBLEMA ELASTICO

Studiamo il problema elastico di un solido generico sottoposto a forze e a spostamenti/deformazioni. Disponiamo delle seguenti equazioni:

1. EQUAZIONI DI EQUILIBRIO

   (Relazioni tra forze e tensioni)

   • σ_ij,j + b_i = 0   in V
   • υ_i = f_i   in ∂V

   3 Equazioni indipendenti

2. EQUAZIONI DI CONGRUENZA

   (Relazioni tra spostamenti)

   • ε_ij = 1/2 (u_i,j + u_j,i)   in V
   • u_i = u̅_i   in ∂V

   6 Equazioni indipendenti

3. EQUAZIONI DI LEGAME

   (Relazioni tra tensioni e deformazioni)

   • T_ij = E_ijkl ε_kl   6 Equazioni indipendenti

Questo insieme di sistemi viene considerato formato da 15 equazioni in:

• {σ_ij} 6 funzioni incognite
• {u_i} 3 funzioni incognite
• {ε_ij} 6 funzioni incognite

15 incognite

Questo sistema di 15 equazioni in 15 incognite è definito PROBLEMA ELASTICO

Oss TUTTE LE EQUAZIONI SONO LINEARI se:

1. Uso ipotesi di piccoli spostamenti

1. Deformazioni infinitesime
2. Il solido è EL (elastico lineare)

Conseguenze della linearità delle equazioni:

1. Teorema di esistenza: la soluzione esiste
2. Teorema di unicità; o teorema di Kirchhoff: la soluzione è unica
3. Sovrapposizione degli effetti

La soluzione associata ad un sistema di forze (F_a + F_b) corrisponde alla somma delle soluzioni associate al sistema F_a ed al sistema F_b lineare

Infatti la sovrapposizione degli effetti non vale per il lavoro/energia di deformazione dato che il lavoro è una quantità quadratica e non è lineare.

Nonostante tutto ciò la soluzione analitica (in forma chiusa) è possibile solo per casi particolari.

• Soluzioni numeriche
• Metodo inverso

(Ipottno una soluzione e con il procedimento inverso ricavo i dati che mi devono la soluzione ipottizzata)

Metodo semi-inverso

(Si assume una parte della soluzione e si determina la parte rimanente incognita)

Problema di De Saint Venant (PSV)

Soluzione del problema elastica secondo il metodo semi-inverso

Assumendo il solido di De Saint Venant

Solido di de Saint Venant: Solido prismatico (L >> l, diametro della sezione) soggetto a carichi applicati estesi ai suoi basi (superficie laterale scarica).

Hp di De Saint Venant:

De Saint Venant ipotizza che la soluzione, secondo lui, "en casi":

σ_ij = ( T_xx T_xy T_xt ) ( T_yx 0 0 ) ( T_zx 0 0 )

SFORZO NORMALE (Trazione o compressione)

Solido prismatico soggetto ad una distribuzione di tensione sulle basi che ha come risultante una forza F

PRINCIPIO DI DE SAINT VENANT

Lo stato di deformazione/sollecitazione nella trave non dipende dalla distribuzione di tensione sulle basi ma solo dalla loro risultante a meno di una porzione in prossimità delle basi di ampiezza pari al diametro della sezione. Illustriamo il ragionamento.

Se considero infatti la seguente sollecitazione n