Topografia

Geodesia - problema rappresentazione terreno

La sup. fisica ha forma irregolare e discontinua NON DEFINIBILI ANALITICAMENTE. à SOLUZIONE: proiettare tutti i punti del terreno, lungo la verticale, su una sup. di riferimento che sia regolare, continua e levigata GEOIDE sup. normale in ogni punto alla direzione della à à verticale = sup. materializzata in corrispondenza di un mareografo – s.l.m.m.

Ogni punto proiettato è determinato da:

• Coppia di COORDINATE CURVILINEE
• Distanza tra PUNTO REALE e SUA POSIZIONE QUOTA (= quota ortometrica o geoidica). à

Procedura di rilievo e rappresentazione

• Descrizione del terreno con un numero limitato di punti caratteristici.
• Proiezione di ogni punto fisico sul GEOIDE, lungo la verticale.
• Posizione relativa dei punti sul geoide determinata tramite misure di angoli e distanze.
• Posizione dei punti date da coordinate curvilinee (deve essere nota l’eq. del geoide).
• Congiungendo i punti proiettati e indicando lo quota si ha la descrizione completa del terreno.
• E’ meglio lavorare su un supporto piano X = X (u,v) Y = Y (u,v) à

Per ottenere il rilievo e la rappresentazione della sup. fisica terrestre occorre:

• Definire l’eq. del GEOIDE.
• Definire il sistema di coordinate curvilinee u, v.
• Definire angoli e distanze sul geoide.
• Definire la trasformazione delle misure di angoli e distanze in u, v.
• Definire la trasformazione da u, v in coordinate piane.

Compiti della geodesia

• Definizione del GEOIDE nella sua forma e dimensione.
• Definizione del campo gravitazionale terrestre in ogni punto.
• Ipotesi e conclusioni generali relative alla distribuzione interna delle masse nel globo terrestre.

- GEODESIA GEOMETRICA il geoide può essere semplificato con una sup. algebrica precisa à (sfera, ellissoide). Studia la geometria delle superfici e insegna a sviluppare le triangolazioni e calcolare le relazioni di posizione fra i suoi punti.

- GEODESIA DINAMICA definisce il geoide come una sup. equipotenziale del campo à gravitazionale, ne studia lo scostamento dalle sup. geometriche e insegna a tenere conto delle conseguenze operative.

• TOPOGRAFIA il TOPOGRAFO misura angoli, distanze e dislivelli tra punti sulla sup. à fisica della Terra.
• GEODESIA il GEODETA mette in corrispondenza punti della sup. fisica della Terra con à punti dell’ELLISSOIDE, calcola cioè, per un punto P, sulla sup della Terra, le coordinate φ e λ della sua proiezione P’ sull’ELLISSOIDE.
• CARTOGRAFIA stabilisce formule in corrispondenza biunivoca fra punti noti à sull’ELLISSOIDE (sono note φ e λ) e punti di un sistema cartesiano piano.

Geoide

GEOIDE è la sup. che è sempre perpendicolare alle linee di forza del campo gravitazionale. à

- Il GEOIDE è la sup. normale in ogni punto alla direzione della verticale.

- La gravità costituisce un campo di forza conservativo ammette potenziale à

- Il GEOIDE è una sup. equipotenziale della gravità, che passa per un determinato punto cui viene attribuita quota nulla. Questo punto è definito in modo assoluto da un MAREOGRAFO.

- La QUOTA ORIGINE (= QUOTA ZERO) è stata determinata dal MAREOGRAFO. E’ definita dalla media di osservazioni di un ciclo completo di maree (dura circa 20 anni), durante la quale TERRA e LUNA assumono tutte le possibili posizioni.

- Sistema di coordinate cartesiane OXYZ, avente origine nel BARICENTRO della TERRA. L’asse Z coincide con quello di rotazione terrestre e gli assi X e Y giacciono sul piano equatoriale (ECEF – Earth Centred Earth Fixed).

- Il VETTORE DI GRAVITA’ (g = g(X,Y,Z)) è funzione della posizione ed è composto da 2 forze;

• FORZA DI ATTRAZIONE NEWTONIANA F
• 2 -5 ! !Ÿ Ÿ + FORZA CENTRIFUGA c = w r w = 7.29 10 rad/s r =

- Il POTENZIALE è funzione della posizione W = W(X,Y,Z), è una quantità scalare ed è pari alla somma dei Potenziali della FORZA DI ATTRAZIONE UNIVERSALE ( F ) e della FORZA CENTRIFUGA ( c ).

- Potenziale FORZA CENTRIFUGA !" != c = w ∙ r!" ! !! ! ! ! ! !v X, Y = w ∙ rdr = w ∙ r = w ∙ (X + Y )! !

- Potenziale FORZA GRAVITAZIONALE dm = δ(a, b, c) ∙ da ∙ db ∙ dc!"∙! !"dF = G ∙ = G ∙! ! ! !!!! ! !!! ! !!! !-11 3 2Ÿ ŸG = 6.67 10 m /Kg sdF diretta da P verso Q !"V X, Y, Z = G ∙ ! !"##$ !

- Il potenziale W risulta dalla somma del potenziale V (relativo alla forza di attrazione gravitazionale) e dal potenziale v (relativo alla forza centrifuga) à à

- Se poniamo W(X,Y,Z) = cost. W(X,Y,Z) = V(X,Y,Z) + v(X,Y) = cost. SUPERFICIE EQUPOTENZIALE.

- Facendo variare la costante in W = c si ottiene una FAMIGLIA DI SUPERFICI (SUP. DIi LIVELLO) che in ogni loro punto sono normali alla direzione della GRAVITA’.

! !" !" !" ! ! !W X, Y, Z = G ∙ + w ∙ r questa formula non è operativa perché non à! !! ! !!!! ! !!! ! !!! !δ.conosciamo il valore di

Ogni punto della Terra è soggetto alla FORZA DI GRAVITA’ ( g ). La gravità costituisce un campo di forze CAMPO GRAVITAZIONALE. à

Le linee di forza del campo gravitazionale sono curve gobbe dette VERTICALI e hanno per tangente la direzione della forza. La tangente alla loro direzione in un punto è fornita dal filo a piombo.

Sferoide

L’integrale per il calcolo del potenziale della forza di attrazione universale viene determinato tramite lo sviluppo in serie di funzioni sferiche dopo aver sostituito le coordinate geocentriche con σ,ψ,λ).le coordinate polari (G ∙ M 1 A + B 3 B − A! !V′(σ, ψ, λ) = ∙ 1 + ∙ C − ∙ 1 − 3 ∙ sin ψ + ∙ ∙ cos ψ ∙ cos2λ! !σ 2 ∙ σ ∙ M 2 4 ∙ σ M

Siccome la Terra ha la forma simile a quella di un solido di rotazione: ! ! ! ! !r = X + Y = σ ∙ cos ψA = B!∙! ! !!! !! ! ! !U = ∙ 1 + ∙ ∙ 1 − 3 ∙ sin ψ + ∙ w ∙ σ ∙ cos ψ = cost. EQ. DELLO SFEROIDE à!! !∙! ! !

Le costanti G, M, C – A, sono di natura meccanica e vanno sostituite con parametri geometrici:

• SEMIASSE EQUATORIALE a à
• SEMIASSE POLARE c à

! = ∙ (1 − ∙ )Si ottiene così l’EQ. DELLO SFEROIDE in coordinate polari à!!! ! = = 1 − SCHIACCIAMENTO à! ! ! !!! ! !(X + Y + Z ) = a ∙ (1 − α ∙ )L’eq. del sistema geocentrico è à ! ! ! !(! !! !! )

Ellissoide

E’ una sup. teorica generata dalla rotazione, intorno all’asse polare, di un’ellisse i cui semiassi hanno le dimensioni dei semiassi terrestri.

! ! ! Hayford Sistema Internazionale 1971! !! !+ = 1EQ. DELL’ELLISSOIDE à ! !! !a = 6.378.388 mb = 6.356.911.946 m

- Consideriamo l’ellissoide con gli stessi semiassi a e c dello! ! !! !! !à + = 1sferoide ! !! !

Dalla definizione di SCHIACCIAMENTO: ! ! ! ! !c = a ∙ 1 − α → c = a (1 − α) = a ∙ (1 + α − 2α)2

Lo schiacciamento α vale circa 1/300, trascurando α si commetterà un errore di circa 35 m nella ! !c = a (1 − 2α) determinazione del semiasse minore c (= errore accettabile) à

- Considerando l’ellissoide di rotazione di parametri a e c noti, resteranno definite le quantità: ! !!!! ! !!! = =SCHIACCIAMENTO PRIMA ECCENTRICITA’ à à !! !! !! !!!" =SECONDA ECCENTRICITA’ à !!

Valgono le seguenti relazioni: ! !"! !!" ! ! !" !e = e = 1 − e ∙ 1 + = 1 α = 1 − 1 − e! !"!!! !!!! !! ! !" !e = 2α − α = 1 + e = 1 − e = 1 − α! !

Ellissoidi di riferimento

Altezza sulle sup. di riferimento

In un punto P della sup. terrestre si possono definire 2 normali:

• Normale al GEOIDE (o Verticale)
• Normale all’ELLISSOIDE

h = H + N

PP’ = h altezza ellissoidica del punto P (normale all’ellissoide) à

PP = H altezza ortometrica (o QUOTA) del punto P (normale al geoide o verticale) à0

P P’’ = N ondulazione del geoide (in Italia varia da +37m in Calabria a +52m in Val d’Aosta) à0

ε deviazione dalla verticale (poche decine di secondi sessagesimali, varia da zona a zona) à

Coordinate geografiche ellissoidiche

La GENERATRICE, e di conseguenza ogni meridiano, è un’ellisse di semiassi a e c detta ELLISSE MERIDIANA.

Preso un punto M appartenete all’ellissoide, la normale N incontra l’asse polare di rotazione in C che rappresenta il centro di curvatura all’ELLISSE MERIDIANA in M.

LATITUDINE φ angolo acuto che N forma con il piano equatoriale XY. à

LONGITUDINE λ angolo diedro che il semipiano meridiano per M forma con un semipiano à meridiano origine.

PARALLELI linee di uguale LATITUDINE. à

MERIDIANI linee di uguale LONGITUDINE. à

Eq. parametriche ellissoidiche

! ! !! !! !+ = 1Data l’eq. dell’ellissoide di rotazione nel sistema cartesiano geocentrico: , scelti i ! !! ! parametri φ e λ, possiamo scrivere le eq. parametriche dell’ellissoide. In un piano meridiano Zr ! !! !+ = 1l’eq. dell’ELLISSE MERIDIANA risulta: .! !! !

I coseni direttori della normale ad una curva di eq. f(r,Z) = 0, sono proporzionali alle derivate parziali di questa funzione lungo le 2 direzioni di riferimento: !! !" ! !! !"cos φ = k ∙ = k ∙ cos − φ = sinφ = k ∙ = k ∙! !!! ! ! !! !! !! ! ! !tgφ = ∙ ⇒ Z = r ∙ tgφ ∙ = r ∙ tgφ ∙ (1 − e )! !! ! !

Sostituendo Z nell’eq. dell’ELLISSE MERIDIANA: ! ! ! ! ! !! ! ∙!" !∙(!!! ) !! ! ! ! ! !+ = 1 ⇒ r + ∙ r ∙ tg φ ∙ 1 − e = a! ! !! ! !!! !=

Ricordando che: ! !! !!! ! !! ∙!"# !! ! ! ! !r 1 + tg ∙ (1 − e ) = a ⇒ r =Si ha: ! !!!! ∙!"# !!∙!"#!r = = PRIMA EQ. PARAMETRICA DELL’ELLISSE MERIDIANA! !!!! ∙!"# !

Sostituendo r si ottiene la SECONDA EQ. PARAMETRICA DELL’ELLISSE MERIDIANA: !a ∙ cosφ a ∙ sinφ ∙ (1 − e )! !Z = r ∙ tgφ ∙ (1 − e ) = ∙ tgφ ∙ (1 − e ) =! ! ! !1 − e ∙ sin φ 1 − e ∙ sin φ

Nel sistema geocentrico ogni ELLISSE MERIDIANA può essere individuata dalla LONGITUDINE λ X = r ∙ cosλ Y = r ∙ sinλ e risulta che:

Le EQ. PARAMETRICHE DELL’ELLISSOIDE SONO: !∙!"#!∙!"#!X = !!∙!"#!∙!"#! ! !Y = W = 1 − e ∙ sin φdove! !!∙!"#!∙(!!! )Z = !

Per un punto posto ad altezza ellissoidica h le eq. diventano: ! = + ℎ ∙ ∙ !! ! ! = + ℎ ∙ ∙ cosφ = r = Ndove! ! !! ! = ∙ 1 − + ℎ ∙ !

Raggi di curvatura e sezioni normali

Consideriamo un punto P sull’ellissoide e la sua normale:

• SEZIONE NORMALE linea d’intersezione à con ellissoide dei piani appartenenti al fascio di piani aventi come sostegno la normale in P.
• SEZIONE OBLIQUA tutte le altre à intersezioni tra un piano che non contiene la normale e l’ellissoide.

Le SEZIONI NORMALI in P hanno raggio di curvatura variabile a seconda dell’angolo che formano con il piano che definisce la sezione normale MERIDIANO.

SEZIONI NORMALI PRINCIPALI:

• Meridiano per P
• Ortogonale al meridiano per P (piano che contiene la tg al PARALLELO per P)

RAGGI DI CURVATURA PRINCIPALI:

• ρ raggio minimo à
• N raggio massimo à

Piano che definisce la sez. normale principale con raggio di curvatura in P pari a N.

Piano che definisce il meridiano (sez. normale principale che ha raggio di curvatura in P pari a ρ).

Il raggio di curvatura R di una sez. normale generica, che forma un angolo α (AZIMUT) con il α meridiano, in funzione del raggio di curvatura minimo ρ e massimo N è dato da: ! !1 cos α sin α= +R ρ N!

Teorema di Eulero

Determiniamo le espressioni dei raggi di curvatura principali:

In una curva piana di raggio di curvatura è il limite del rapporto tra un elemento di arco ds e l’angolo compreso fra le normali alla sup. condotte dagli estremi del segmento ds (= differenza di latitudine). ! !ds dr + dZρ = =dφ dφ

Deriviamo le eq. parametriche dell’ellissoide: !!∙!"#! !∙!"#!∙(!!! ) ! !r = Z = W = 1 − e ∙ sin φ! ! ! !!!! ∙!"# ! !!! ∙!"# !! !dr a ∙ (1 − e ) ∙ sinφ dZ a ∙ (1 − e ) ∙ cosφ= =analogamente! !dφ W dφ W! ! !! ! ! ! ! ! ! !!" !" ! ∙(!!! ) ∙!"# !!! ∙(!!! ) ∙!"# ! !∙(!!! )ρ = + = =Si ottiene quindi: ! !!! !! ! !!!∙(!!! )ρ = !!

TEOREMA DI MEUSNIER: il raggio di curvatura in un punto P di sez. obliqua ( r ) è uguale al raggio di curvatura della SEZIONE NORMALE ( N ), corrispondente al piano che contiene la tg in P alla sez. obliqua, moltiplicato per il coseno dell’angolo formato dai piani delle 2 sezioni.

Per il Teorema di Meusnier, pensando al parallelo per P come una sez. obliqua, che avrà raggio di curvatura r: r = N ∙ cosφ! !∙!"#! ! !N = = ∙ =!"#! ! !"#! !

Dalle espressioni di ρ e di N otteniamo: ! ! !N − ρ a a ∙ (1 − e ) W e ∙ cos φ= − ∙ =! ! !N W W a 1 − e ∙ sin φ

• N è sempre ≥ a ρ.
• La differenza è massima all’equatore (φ = 0°).
• La differenza è minima ai poli (φ = 90°).
• 2La differenza fra i 2 raggi di curvatura è dell’ordine di e ≈ 1/150.

Angoli e distanze sull’ellissoide

GEODETICA linea della sup. di riferimento che gode della proprietà di avere la normale in ogni à punto coincidente con la normale della sup. (le geodetiche si una sfera sono archi di cerchio massimo, quelle del piano sono segmenti di retta).

Le GEODETICHE sull’ELLISSOIDE sono CURVE GOBBE.

- EQ. DELLE GEODETICHE !!!r ∙ = cost.!"

Un triangolo ABP sull’ellissoide può essere considerato piano.

Se α è l’AZIMUT della GEODETICA PB, si ha: dλ sinαr ∙ dλ = ds ∙ sinα ⇒ =ds r ∙ = .

TEOREMA DI CLAIRUT: sulle sup. di rotazione è cost., per ogni punto di una GEODETICA, il prodotto del raffio del parallelo per il seno dell’AZIMUT della GEODETICA.

- Se da un punto P esce una GEODETICA, l’AZIMUT cresce quando la GEODETICA si allontana dal punto e il RAGGIO del parallelo diminuisce.

- SVILUPPI DI PUISEUX-WEINGARTEN Sistema di riferimento euleriano con:

• L’asse Z coincidente con la normale all’ellissoide in O,
• L’asse Y coincidente con la tg al meridiano in O e diretto verso Nord,
• L’asse X coincidente con la tg al parallelo in O e diretto verso Est.

Gli sviluppi di PUISEUX WEINGARTEN servono allo studio delle proprietà di curvatura della GEODETICA e nella soluzione dei problemi della GEODESIA OPERTIVA.

! ! ! ! ∙ ∙ = ∙ ∙ 1 − ∙ 1 + !6 ∙ ∙ 1 − ! ! ! ! ∙ ∙ = ∙ ∙ 1 − ∙ 1 + !6 ∙ ∙ 1 − ! ! ! 3 ∙ ∙ ∙ = − ∙ − ∙! ! ! ! ! !1 − ∙ − ∙ 2 ∙ 2 ∙ ! !

Misure: sup. fisica – sup. di riferimento

DISTANZA FRA 2 PUNTI considerati 2 punti A’ e B’ sulla sup. fisica terrestre, si può misurare à la lunghezza dell’arco della sezione normale che congiunge le proiezioni A e B sulla sup. di riferimento. (Le SEZIONI NORMALI sono 2: una è la traccia s del piano che contiene la verticale A ed il punto B, l’altra è la traccia s’ del piano che contiene la verticale per il punto B ed il punto A)

AZIMUT DI UN PUNTO considerati 2 punti A e B, l’azimut di B rispetto ad A (misurabile con il teodolite) è l’angolo che la sezione normale AB forma con la tangente al meridiano in A diretta verso Nord.