Teoria per l'esame di Teoria dei sistemi - parte 2

x^ = d x^ / dt = d x^ / dx · dx/dt = d(Tx x)/dx · dx/dt = Tx d(x)/dt = Tx xdot -> xdot = Tx^-1 x^ -> xdot = Tx^-1(Ax+Bu)

Dalla tre relazioni con Te prima, posso sostituire e ottengo:

(Tx/alpha)[ATx^-1 x^ + BTu^-1 u^] = (1/alpha)[Tx A Tx^-1 x^ + Tx B Tu^-1 u^] = A^ x^ + B^ u^ = x^dot

A^ = (Tx A Tx^-1) · 1/alpha

B^ = (Tx B Tu^-1) · 1/alpha

stiamo cambiando sottospazio

Esempio:

x1 = vcx2 = il

x = [x1x2]     x^1 = il       x^2 = vc

x^ = [x^1x^2] -> { x1 = x^2x2 = x^1 }

[x^1x^2] = Tx [x1x2] -> Tx = [0 11 0]

che e inversibile perche det T != 0 quindi sono sistemi equivalenti.

Tx in R^m x m    Ty in R^p x p    Tu in R^m x m

Esempio:

x^1 = 3x2x^2 = 4x1

[x^1x^2] = Tx [x1x2] -> Tx = [3 00 4]

Quindi sistemi su scale diverse sono equivalenti.

Poi si puo anche avere, ad esempio:

x^1 = 2x1 + x2x^2 = x1 + 3x2

[x^1x^2] = [2 11 3] [x1x2] combinazione lineare

Vediamo cosa succede alle matrici C e D

y^ = Ty y = T(Cx + Du) = Ty [C Tx^-1 x^ + D Tu^-1 u^] = (Ty C Tx^-1)x^ + (Ty D Tu^-1)u^

A^ = Tx A Tx^-1    B^ = Tx B Tu^-1    C^ = Ty C Tx^-1    D^ = Ty D Tu^-1

La maggior parte delle volte Ty = Tu = I, Tx = T quindi le nostre matrici diventano:

A^ = TAT^-1    B^ = TB    C^ = CT^-1    D^ = D

Calcoliamo la funzione di trasferimento per sistemi equivalenti

F(s) = C^(sI - A^)B^ + D^ = (Ty C Tx^-1)(sI - Tx A Tx^-1)^-1 Tx B Tu^-1 + Ty D Tu^-1

ma la matrice identita si puo scrivere come [Tx sTx^-1 - Tx ATx^-1] -> [Tx (sI - A) Tx^-1]^ -1 = Tx (sI - A)^-1 Tx^-1 ->

Ty CTx^-1(Tx (sI - A)^-1 Tx^-1)Tx B Tu^-1 + Ty DTu^-1 = Ty [C(sI - A)^-1B + D] Tu^-1 = Ty F(s) Tu^-1

F^ (s) = Ty F(s) Tu^-1

Vediamo ora cosa succede nel caso Ty = Tu = I abbiamo F^ (s) = F(s)

A una funzione Trasferimento possono associarsi infinite rappresentazioni interne, viceversa invece e univoca. Vediamo se gli autovalori sono uguali

det[(sI - A^)] = det[sTx Tx^-1 - Tx ATx^-1] = det[Tx(sI - A)Tx^-1] = det(sI - A) perche det Tx = det Tx^-1 inverso. Quindi gli autovalori sono uguali. Si dice che sono invarianti.

Ora vogliamo risolvere il problema della realizzazione del sistema. Esistono delle realizzazioni particolari che ci servono da modello.

F(s) = (b_m-1s^m-1 + b_m-2s^m-2 + ... + b₀) / (a_nsⁿ + a_n-1s^n-1 + ... + a₀) + D   forma polinomiale

F(s) = _i=1^r Ri/(s - _i) + D   forma fattorizzata

le numerosita di parametri e max 2n+1 nella forma fattorizzata (R, l e D). La polinomiale posso anche scriverla come F(s) = (s+1)/(2s²+s) = (1/2)/(s+1/2) quindi avro 2m+1 parametri assumendo dm = 0

L'ordine del sistema massimo che possiamo rappresentare e di ordine m. Le matrici A = m² B = m C = m

Quindi in un sistema SISO i parametri sono m²+2m ma ne abbiamo a disposizione solo 2m+1

REALIZZAZIONI MINIME: perde diciamo il minor numero di parametri

FORME CANONICHE

• CONTROLLABILITA'
• OSSERVABILITA'

REALIZZAZIONI DI JORDAN

• CONTROLLABILITA'
• OSSERVABILITA'

Per costruire le forme canoniche useremo la F(s) polinomiale. Per le realizzazioni di Jordan le useremo fattorizzata.

Realizzazioni di Jordan: F(s) = sum(i=1 to m) Ri/(s-l_i)

Supponiamo che tutti i l_i siano diversi, cioe l_i != l_j v i,j

F(s) = R₁/(s-l₁) + R₂/(s-l₂) + ... + R_m/(s-l_m) anticipando e troviamo le risposta all'impulso

y_s(t) = R₁e^l₁t + R₂e^l₂t + ... + R_me^l_mt -> y_s(t) = Ce^AtB e un sistema SISO di ordine m

u_s(t) = Ce^AtB = [C₁, C₂, ..., C_m] e^At [b₁; ...; b_m] vogliamo portarlo in forma matriciale

[R₁, R₂, ..., R_m] [e^l₁t 0 ... 0; 0 e^l₂t ... 0; ...; 0 0 ... e^l_mt] [t; i; ...] = [1 1 ... 1] [e^l₁t ... e^l_mt] [R₁; R₂; ...; R_m]

Poi che la matrice A e di tipo diagonale -> A = [l₁ 0 0; 0 l₂ 0; 0 0 l_m] Distinguiamo 2 casi

1. caso) B = [1; 1; 1] C = [R₁ R₂ ... R_m] realizzazione di Jordan della controllabilita
2. caso) B = [R₁; R₂; ...; R_m] C = [1 1 ... 1] realizzazione di Jordan della osservabilita

Vi e pero anche un altro caso

3 caso) F(s) = C₁b₁/(s-l₁) + C₂b₂/(s-l₂) + ... + C_mb_m/(s-l_m) Quindi R₁ = C₁b₁, R₂ = C₂b₂ ... R_m = C_mb_m

Esempio: F(s) = 4/(s+1) + 3/(s+2) + 1/(s+3)