Teoria per l'esame di Teoria dei sistemi - parte 1

Un sistema dinamico (che varia nel tempo) e un ente matematico contenuto da 6 insiemi e 2 funzioni matematiche. Il simbolo di un sistema e E

Insieme 1: Tempo t ∈ IR o t ∈ IN

Insieme 2: ingressi u

Insieme 3: uscite y

Insieme 4: stati x

Insieme 5: funzioni ammissibile in ingresso Ω

Insieme 6: funzioni ammissibile in uscita Γ

Funzione matematica 1) ψ Transizione di stato

Funzione matematica 2) η Trasformazione di uscita

ψ ci permette di trovare l'evoluzione dello stato nel Tempo, cioe

x(t) = ψ(t, τ, x(τ), u(t)) con x ∈ X, u ∈ U, t ∈ T, τ ∈ T, x(τ) e' il valore dello stato all'istante τ, u(t) ∈ Ω.

Il significato di ψ e' che deve dipendere dal Tempo, dal valore iniziale e dall'ingresso. Esso gode di 4 proprieta':

1) consistenza: se calcolo un t = τ, ottengo x(τ) cioe ricostruisco lo stato iniziale e potro' ricostruire a partire da t > τ.

2) irreversibilita': non posso dire nulla su t < τ perche' nel mio studio e' mirato da τ non so cosa sia stato cio' che c'e' prima

3) composizione: prendiamo 2 istanti t₁ e t₂, con τ < t₁ < t₂ e supponiamo di voler trovare x(t₂). Posso considerare la somma dei 2 valori.

x(t₂) = ψ(t₂, τ, x(τ), u(t))

x(t₁) = ψ(t₁, τ, x(τ), u(t))

x(t₂) = ψ(t₂, t₁, x(t₂), u(t))

4) causalita': mettendo lo stesso ingresso gli effetti sono gli stessi

t₁ < τ < t₂ u₁(t) = u₂(t)

ψ(t, τ, x(τ), u(t)) = ψ(t, τ, x(τ), u₂(t))

Studiamo adesso la funzione η. L'uscita sara' del tipo

y(t) = η(t, x(t), u(t))

con

• u ∈ U
• u(t) ∈ Ω
• x(t) ∈ X
• x(τ) ∈ X
• y = Y
• y(t) ∈ F

- Un sistema e strettamente proprio se y(t) = n(t, x(t)) NON dipende da u

- Un sistema e non strettamente proprio se y(t) = n(t, x(t), u(t))

Esempio:

Circuito RC con alimentazione in corrente u(t) = i(t), la nostra uscita y(t) = v_c(t)

i_c(t) = d v_c / d t = 1 / C ∫₀^t i_c(ξ) dξ = ∫₀^t v_c(t) dt

al posto di 0 potremmo avere τ.

v_c(t) = v_c(τ) + 1 / C ∫_τ^t i(s) ds

Vediamo se possiamo considerarlo come φ

dimostrando che rispetta le proprieta

1) consistenza: per t = τ otteniamo v_c(t) = v_c(τ)

2) invertibilita: ovvia

3) composizione: v_c(t) = v_c(t₂) + 1 / C ∫_t2^t i_c(ξ) dξ     v_c(t₂) = v_c(τ) + 1 / C ∫_τ^t₂ i_c(s) ds

4) causalita: ovvia

{ v_c(t) = x(t) -> y }

{ y(t) = x(t) -> u }

sistema dinamico strettamente proprio.

Possiamo classificare i sistemi in vari modi:

• SINGLE INPUT - SINGLE OUTPUT
• MULTI INPUT - MULTI OUTPUT
• SINGLE INPUT - MULTI OUTPUT e viceversa
• STRETTAMENTE PROPRIO
• NON STRETTAMENTE PROPRIO
• SISTEMI CON PARAMETRI DIPENDENTI DAL TEMPO
• SISTEMI CON PARAMETRI NON DIPENDENTI DAL TEMPO

LINEARE: se la funzione x(t) e lineare allora siamo un sistemi lineari

NON LINEARE

Esempio:

u(t) = i(t)

y(t) = v_R(t) ma v_R = R i_e

Questo sistema non e dinamico perche non dipende dalla funzione transizione di stato perche non dipende dell istante iniziale.

Se pero scelgo come y(t) = Q(t), ricordando che I = dQ / dT lo rendo dinamico.

Possiamo trovare la 4 come soluzione di un'equazione differenziale,

ma quando posso farlo?

Se e solo se i moti spazi vettoriali {x, u, y, t} sono regolari, cioe:

1. psi e continua
2. psi' e continua (psi e C¹)
3. gli spazi sono normati e di dimensione finita

1) ogni punto e definito da un numero finito di parametri.

2) Una norma e una qualsiasi operazione che ha permesso di fare un confronto tra 2 elementi di un insieme.

Il movimento puo essere libero e forzato. Il nostro movimento e:

x(t) = psi(t, x, u(t)) in cui x(t) = psi(t, x, 0) e il movimento libero e dipende solo dallo stato iniziale. x_f(t) = psi(t, x, 0, u(t)) movimento forzato e dipende solo dall'ingresso. Le nostre x(t) si puo scrivere come x(t) = x_l + x_f.

Se accade questo, il nostro sistema si dice lineare.

Se un sistema e lineare -> e regolare.

Per i sistemi lineari tempo invarianti, posso scrivere

x(t) e un vettore variabile di stato.

x(t) ∈ R^mx2

u ∈ R^mx2

y ∈ R^px2

il numero delle variabile di stato definisce l'ordine di un sistema.

Fissiamo m=2 n=