Lezione 1
Partiamo dalla definizione di spazio segmento (A•B).
Direzione di r.
Verso di percorrenza.
Distanza tra A e B (modulo).
Relazione equivalenza
Relazione equivalenza (equipollenza) tra (A•B) e (A'•B') se e solo se:
- Hanno stessa direzione
- Hanno stesso verso
- Hanno stesso modulo
Definizione: vettore libero
Si dice vettore libero ciascuna classe di equivalenza data dalla relazione di equivalenza precedente che identifica.
Proprietà di traslazione
[A•B] = m ∈ ℝ³
B = A + m
A = m + B
B' = A' + m
A' = m + B'
Definizione: vettore applicato
A ∈ ℤ (spazio), ∀v ∈ ℝ³ ⇒ (A) v
Vettore libero → può essere rappresentato da un qualsiasi vettore applicato purché abbia stessa direzione, modulo e verso.
Operazioni sui vettori
u = P•O, v = Q•P
u + v = (P•O) + (Q•P) = P•O + Q = β = (Q•O)
Moltiplicazione per uno scalare
u ∈ ℝ³, λ ∈ ℝ
λ = 0 ⇒ v = 0
λ ≠ 0 ⇒ |v| = λ |u|
Prodotto scalare
u, v ∈ ℝ³
Applicazione, u • v = |u| |v| cosφ
φ = û, v̂
0 ≤ φ ≤ π
Lezione 1
Partiamo dalla definizione di spazio segmento (A, B).
Direzione di r.
Verso in percorrenza.
Distanza tra A e B (modulo).
Relazione equivalenza
Relazione equivalenza (equipollenza) tra (A-B) e (A'-B') se e solo se:
- Hanno stessa direzione
- Hanno stesso verso
- Hanno stesso modulo
Proprietà di traslazione
[A-B] = μ ∈ IR3
B = A + μ
B' = A' + μ
A = A' - B
A' = A' - B' → vettore
Definizione: vettore libero
Si dice vettore libero ciascuna classe di equivalenza data dalla relazione di equivalenza precedente che identifica.
Definizione: vettore applicato
A ∈ Σ (spazio) ... V ∈ IR3 ... ⇒ (A, V)
Punti applicazione ...
Vettore libero → può essere rappresentato da un qualsiasi vettore applicato purché abbia stessa direzione, modulo e verso.
Operazioni sui vettori
u = P - Q
v = Q - P
u + v = (P - O) + (Q - P) = Q - O + Q = β = (Q - O)
Somma.
Moltiplicazione per uno scalare
u ∈ IR3 ... λ ∈ R
1) λ = 0 ... V = O
2) λ ≠ 0 ... IVI = |λ| || V ||
Prodotto scalare
u, v ∈ IR3
Applicazione u · v = ||u|| ||v|| cosφ
φ = u, v
cosφ ... proiezione uv
Criterio ... 0 ≤ φ ≤ π
Proprietà prodotto scalare
1) u·v = 0 ⇔ u·∇ = 0 oppure u ⊥ ∇
2) u·v = v·u (commutativa)
3) u·(v+w) = u·v + u·w (distributiva)
4) (λu)·v = λ(u·v)
5) u·u = ||u||2 = u12
Oss u⊥1: ||u⊥||=0, ||u||>0 => u⊥: 0⇔u=0
Definizione versore
∈E∈R3 / ||E|| = 1
Oss ∀u∈R3 u≠0
1) e = u/u| dato un vettore qualsiasi non nullo è sempre possibile ottenere un versore.
2) e·e = u/u|·u/u| = [[]]/(||u|2) = 1
3) e e u hanno lo stesso verso
Decomposizione di un vettore
E∈R3 e u∈R3, u si può decomporre in modo unico come somma di un vettore parallelo e uno perpendicolare a E.
u = u⊥+u⊥
u⊥ ⊥ E
u⊀ // E
φ = u⊥E
u⊥ = ||u||cosφE = (u·E)E (||E)cosφE
u⊥ · u⊥ = ||u||sinφE⊥
Base ortonormale
B: {e1, e2, e3}
e1·e2: 0
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