Meccanica Razionale (Teoria)

Meccanica razionale

AntonioRosatiG. FlorioMeccanica

Vettori

VETTORI )fes RvettorialeSpazio V .) 1-(TEV Èvettore libero i 1,1 vi/ ,,daIl caratterizzatovettore E :MODU / O• ti >LÈDIREZIONE• VERSO• TI/ 0VETTORE =- nullo :/ /Ù 1: =versare-OPERAZIONI V > J VviiÙ J E E=SOMMA + =:• , V ✓Ù Ù☒✗ E weaEProdotto =: :,• (opposto )vi t-1NB ✗ =: -=: (Fi ) )differenzaiù iNB = -1: - t #I ¥1/tèt 11- e-VERSO diRE :• = = :..ITI ,!libero ^vettore ^t èNB 11 1: un

Prodotto scalare

PRODOTTO VÙ teSCALARE ,/ il / ilù i ùEcosa ±ce0=o Ù→¥ PROPRIETÀ ÙTÙ ÙCOMMUTATIVA = o•> v associativa Kos )V / 1-Itli / IV0 ù< @o 0ù i >o ==== =⑧• i T E✓ = .7 ✗×' → SCALARECOMPONENTE, èlPf TDi < runicovi la componente lungodivettoriale tNB èv r: , componentiIl definire le ilprodotto di modulopermettescalare a- e .</li JviMODULO Quadro =• : .) )f-' ' lil'/ f- Iù /it .itZùt ++ ++ . =+= } 1- }{{BASE È J Eèin Fisicaortonornaae , ,i 1,213=1- riferimentodi cartesianoSistema ) § i j=DELTASij KRONECKER Sije-e- Di= =• ji ji =/ti Ij E-j-j.iti I.j è1 1 è1 o== • =.= >-• , ,,% 1-J T.ciEri tvozkI.'= V2 è ✓ E è-1= Vy=v3 ] j* :} " è,[ }"✗ ATI: È % t == ,%P = direttorecose, ,~ , Bèz✗ è Oè+ += j, >' Vivi=[ )()(Ù ÈT uzèzè È èè +V1 V3+ = V2+ -1+= U V3+ UV2 V1o • v2v3 v3}, }, ,b)() )( ↳i è è è= ++ +v ++ +vav1 va, }a, Fisica>[[ > } vyzvi/ èil vit.it < ++ += + == v ✓ )(TERNA REGOLALEVOGIRA DESTRAMANODELLA

Prodotto vettoriale

PRODOTTO PARALLELISMOCondizione→ DiVETTORIALE //tutt ilùlvitù sine= ::.È }{ti vit ìi modo i> CHEinµ / ,,LEVOGIRAÙn SIA¥✓i .in htUSCENTE ENTRANTE:o)(lì VV iv.vi. / Tft< oo sinceo =PROPRIETÀ Associativo: ANTI ÙXÙÙXÙSIMMETRICO : = -Significato GEOMETRICOtu - .. ._ ._, AREAlui' / .lt/ysinq-=/ il ParaDEL= ELOCMAMMA«DETERMINANTE SIMBOLICO⑤=/ eiè ( )ii -4= -1Krs=i; vzus> - ...Prodotto MistoIERtxt vi =. > '⇐✗NB DEI VETTORI☐ COMPLANARIVETTORI EUNO O=: NULLO I sono):(PERMUTAZIONENB CICLICAu-xt.w-v-xw.u-w-xu.itDoppio prodotto VETTORIALE-( / fiotti/:( i.ù ùùxi i •✗ -

Vettori applicati

VETTORI APPLICATIf)(P PT PUNTO DILIBERO APPLICAZIONEVETTORE |, ( )CLASSE DI EQUIVALENZA ÙRETTANB RETTAD' AZIONE PASSANTE= PPER Giace: su cuiTi >p•DATI BPUNTI Ba a: VETTORE applicato inE a=-i Ì PB NOTAZIONEB- A= DI• GRASSMANa )Kip (Fa a) (' )JB-KGBA è ya✗ ++ zya -= - za-,B A Bt att:- -B =DAe- C= -- , ÙB :c '☐ ÷☐÷,a A)A)G- ( :DDiii. a-+ - %TÈ =D<c)( -a)f.B:BB- a a. +- --)(

Momento polare

MOMENTO Polare )()VETTORE Punto Polo CENTROÙ 0 DIAPPLICATO RIDUZIONEo,/ )DEF TRISPETTO 0MOMENTO POLARE a Di: :,)) (petto ÙP 0 ✗ VETTORE LIBERO= - ttoNB NOTAZIONEANCHE LAusa: si }{ )MIOP Ù Formano0NB TERNA < Evooirauna-: , ,È artro ) r )IPtifoti -0;D ☐ v/T / HIPtitoli /:/ o since-%? :bBracciop : nbp.g e?bi i (V1Poco =/ PÉÉÒo ✗ o a)) a):( :(itta P i xi✗ :--) t.MG/+(o-Q)xvO*:( a)(P i o-0 + ✗✗ -° M'• tifo(a) a)() io= + -È ✗•p

Proprietà dei momenti

PROPRIETÀ DEI MOMENTITfa a)tiro Io) i) = ✗+ -Invarianza1 Bracciodi un :( )tiro P) i-0 ✗È §T 'p- ×P - ,f)• • P'Pb Er,0• "TPÌÒ a):( a) P'IT' 'to) jP ti✗ ✗=- -( a))( xi.tt/o ) '' PiùP PPP vi.✗= - --netta !'NB BRACCIOIL costanteE:a) È "£ ! '✗} :O ✗jg Braccio i, ' '0,0 c- µ/:(/ttfo =// iP P O' iO'' -0+0✗ ✗- -ftp.oxi-i/o.o')xv---M-ro a)( ti)= o -- ÷tifo)

Momento assiale

MOMENTO ASSIALE diè versone ✓' ✗00 •• % :(P-dxi.e-M-Q.eeMeÙp E- INMe DIPENDE DAL ✓POLO SCELTONON SU /=pa)(tiro / 'i.P i. e-e-' -0+0-0e- ✗✗ ==• - 1-/( (a) ' O'èi.I. XèMeP è o 0=-0 ✗✗ + ,= -- -- ( )1- 'Me o_0 , :OILNB 0FUNZIONE: DEL POLOMOMENTO CAMBIA SCELTO MAINASSIALE NON !è' DEVONO ESSERE RETTAE DEL versare0 SULLA

Sistema vettori di applicati

SISTEMA VETTORIDi APPLICATI:{ ì})(S Pitti ggpi. 1= N ,, .. - IVETTORI caratteristici >B.ÈÈ RISULTANTEVi=• ( )i 1 VETTORE> LIBERO Te>q èµ ¥:-[ (POLO• tifo0 tia)Pi) ✗- ]i -1arbitrarioMOMENTO ARISULTANTE RISPETTO > VETTORE LIBERO )È (NB DEFINISCE0 Polo > campoUN MOMENTOcampo: -TRASPOSIZIONE DEI MOMENTItifo5 )Poco →oSISTEMA , )È" ( '>Polo oo - // (( ?tiro ? IiÈ) P O' '' Pi -10✗ -0o= =-= ; ✗- /a) /?/( -1/0tiro ?v? ' O'ÈP )-1 ×o_O✗ vi✗ == ; - -- ètiro )(0-01)×5tifo ) += FORMULAÀ ) ) TRpt( (g) (' ' trasposizione DEIdi MOMENTI✗o 0o= + -

Proprietà ed esempio

PROPRIETÀ tifo )rito)rtrV' '1 ' C- :0,0 r : ✗☒ )(èE ò# To KRIO'-M-kil-n-fol-ifo-OYXR-n.MN )o2) è tipo (0-01)×5=15/0/ tiro )' )+=it È UNIFORMECAMPOUN )itto tiro' ')0,0 =ESEMPIO }){ )( (Pas Picoppia tt: -,, , À J T 0: =-E% )a) fi:( a) (tiro• i)la Poi Pa+ ✗✗- -A☐ • le T E)=pP i, -10-0 ✗ =-,•O )( ÈPz Ùp ✗= =-,/// =// coppiail Poi Pa since-coppia - / /b. Ù INTENSITÀ COPPIA=DELCABraccio DELLA= coppia{ })( ttcoppP Pz Ù TERNA Evooira<-, , , ,

Invarianti sistema di vettori applicati

InvariantiS VETTORIDISISTEMA APPLICATIINVARIANTE SCALARE• /( PÌLRE)NTO :(tifo ))' '' o_O>o_O- ✗. /E1- E/ ÈètiroEtiro fo) ')' -0 ✗+ -= •. /"oE Èptfo titolo) V0 '' I= 0=. , )(È( InvarianteI ) INVARIANTE 0o RISPETTO= SCALARE• aINVARIANTE ✗VIÈVETTORIALE tiro )a. a.!TTLR i' yÈtrittico '. m'( ✗) °)o ": ; >ÈÌLÀTTM (a)ER1 Ti - DECOMPOSIZIONE_ _, tiro)Di=tro Eorti tr.tt Misto ) tiriI) : + - =,,RTI o/ Èa = 2è /,ftp. È invariante Ètiro Ttp () ): o-1 >2è/ / VETTORIALEM-ptr.MN/oILrASSE CENTRALE

Asse centrale

S VETTORI APPLICATISISTEMA DIÌYIO )E Ttp) Io# o +-- ☒ *Èa)ÈR Mir) ( opolo +:altro ✗: -ftp.t/M-r(o)-i(0-r)xR= ,?ttp] ' )ITL2v2 z =spazioNELLO Èttrfo ( Ò) EQd)Risposta -1 o VETTORIALE✗ =: - .):( r0incognita -ttrfoÈ / ]) >= 00 soluzioni• M-rlol.to ) -1,10 a) E. )(r r :Oo✗- - -• ,Etto% a) )( r✗o - -ttnfo )() nto> 1- )c-:O r pianoo r =- - -1ha( E' a)A A )a- ✗ =-itto )- -- -- - già-Mini• i PARTICOLARESOLUZIONEÌpfo) agi .cn//R-i/A-o)1-RM-fA1=M-p-- - -- AÈtà "☒--- .-- - _. .+ Pacerio altri( Pa -:'( TritaA) a)a)) :(( èEE PaPa AtaPa > ✗ ✗ ✗o =- -- - -a):( È ftp.fo )MIPAa >) Mp= =✗ =- fa E)a) ) èE( è)( > )Muroa ><× = -0 ×o ✗= =✗=- ~[ ] E)) )( ( MiroirE( E E.A Ao o ---. -- 1l "À( 1-)A. o o/' )/ FintoEl E ) < >>< A ✗ =-0= = )È Fiato ÈÈ Finto Ttp tifo )()A )✗-0 ✗ ✗+= =' ?IRI IRI'IRI HTPè( )A) () ( ÈÈ TTIOPa Pa ☒)Ao c-+: EQ✗= DELL'O ASSE✗ CENTRALE ✗-- - + .2IR /artPaA FtpTYA - ( )Pa- . =agg→ -- - ✓- --- -- ---{ À ttp( )PaC- ASSE CENTRALE =:a è✗ASSE CENTRALEM' IÀIIII/ pl III• := .IRT ' IRTPa E ASSE centrale = = =//4• // /FintoFip /piro / ttp) ) >,¢0 CENTRALEASSE /115 )(Pa 'Paa- E Minimo[ °=• Fip è Ò>= = a. =,E E#

Sistemi equivalenti

SISTEMI EQUIVALENTI:{ .it?..n. . .n(Rii roD(-R',M'(5 Pi }{ )(s' )Ìi (Pi o= , .sk; -1 .. .(DEFINIZIONE SISTEMA EQUIVALENTE[E' E '5=5 =>⇐{ IT' fo )( )5 0' =EQUIVALE S Itiro Ea)Itri .ir '()NB = ✗o+ -: > riva )(a) =M-krl.tt/o)+/o-r)xR ' rifornito )' SPROPRIETÀ S → S EQUIVALENTEcoppiaaSOTTRAESE SI ACCIUNCE unaSIODi BRACCIO NULLO)DEFINIZIONE ( SISTEMA EQUILIBRATO[ -0=5 È EEQUILIBRATO tiro :-O)ESEMPIO BRACCIODIcoppia NULCO: )(ÈPROPRIETÀ ÒSISTEMI =/ HANNO CENTRALELO ASSEEQUIVALENTI STESSOCRITERI Indicano sostituireTÀ sistemaRIDUCIBILIDI come unvettoridi applicati semplicepiùcon uno)(È itp ÒÒ1 I# 0# #, }{ }) E1-( pianodi vettori ecoppiaèPaS = + FipMOMENTO UGUALE~c- a, (ASSEPa Pa È "E DETTO RIDUZIONEDICENTRALE POLOÌR È ttp=• È coppia }{ LÀT c-i• +-pa ,ITIE " ;l CENTRALEassePOLO 0¢ a.Di CRiduzione{ }E)( 15 tiro'S = )o + a- =coppia,E Ò TT Ò( ) S2 =o SISTEMA= EQUILIBRATO= :, ttÒÈ Ó)( S3 Qualunque= Ito=/o : )= Di MOMENTOcoppia, :o)(È Ò Ttp -04 I:# , }{ E)( PAE AsseS Pa= CENTRALE,

Esempi e teorema

ESEMPI1) VETTORI LE D'RETTECONCORRENTI PUNTO: AZIONE STESSOPASSANO PER UNO)(Punto di concorrenzar:#÷÷ M'E Ò Ò(a)# =È NE ASSE CENTRALE RISULTANTEI MINIMIZZA DELIL MOMENTOMODULO{µ5 = 3D'NB EIL SISTEMA in,TEOREMA VARICNONDI ÓÈIPOTESI =/VETTORI CONCORRENTI: /}{ )µ ÀSITH DIr PUNTO CONCORRENZA: =,DIM .POLO ARBITRARIOO Pia) r>:{ ( ?- olivi(intro Tip r) =✗ :-; - }{a) )=/ :(r-dx.fi ( nèè .rs✗r: -2) VETTORI COMPLANARI Tutti E tiVETTORIi§ PP Èh ,•,• EE Òvaa- -0 Vii. ( # =)o Pa Ep1T • a):( ittoE Tiit 1-vivi to LTÒ ) )P>c- in=/ : tio ✗= -;;• , } 4{ ) criterio(È ètiro ) s> paI :O >== - PAE ASSE CENTRALE,È &Ogr