Teoria generale con esercizi base di Algebra lineare e geometria

Matrici e sistemi lineari

Un matrice quadrata nxm deve avere n=m, è una raccolta di numeri irrdisposti secondo un rigido schema ordinato.

Sovrapposizione lineare

Dato A nxm una combo lineare è un'espressione del tipo a_11C_11 con C_ij è risultata in modo gerante nello spazio.

Matrice simmetrica

Una matrice quadrata A è detta simmetrica se A=A^T.

Matrice simmetrico nxm (A=A^T) e A=A^-1 sn.

Matrice antisimmetrica

Una matrice quadrata A mn è antisimmetrica se A=-A^T e A è antis. G è l'analitica sulla curva senza nulla.

Matrice antisimmetrico nx.k.(A=a^T) e An= 312 = 1 = 0 g. S o.

Matrice idempotente

Una matrice A è idempotente se A²=A.

Matrice nilpotente

Una matrice A è nilpotente se A^k = 0 ferm N A²=o.

Matrice invertibile

Una matrice A è detta invertibile se e B è A^-1 = B. Si definisce inversa una matrice A invertibile, esiste un'uni à inversa di A se A è invertibile anche A=Lo. Si porta a. La matrice non è invertibile esista A^-1.

Determinante o rango

Determinante

Il det è un numero associato a una matrice e mi consente premuna afferrando coordinazione xg.

Sottomatrice cofattorato

Data la matrice A è nxm con n:1 determinato e A è una matrice M-1 X (H-1)è i gli sistemi es. r cancellano L i_esima nelle l’ena s. essima colonna.

Determinanti al campo

Il numero che si attivira dalla sorto dati singolari eigentilen di una curva nella matrice tiolplicato adjung esim. il primo determinato di A è il det da A.

Metodo di Gauss

Facendo sciva una process scatbeve diodi tpuche i sommando una loro con cmposso manipolare A in una matrice triangolare con lo stesso determinante.

Rango

È il massimo numero di r righe lin. ind. su A e^T uno è A_T m=n jeolistio.

A è il massimo delle righe cui esista una combinatri ai sup 2e se A=A_-1 tutto la selfrantale quantido il creri_p=s p’ ssisteno manos. 0 = __Uguale.

Se o è una sottomatrice pXk di A. B bloc oractui o di ogni sottomatrice osurfavetto che si ottenga n. menne n di e f S una riga che è una colonna di A.X dalla orali.

Slla A è una sottomatrice exp con ottica cui orachi anno estetica. Adorna le namoso l A=b.

Indipendenza lineare

Se Av è ferao solu imo. S A colo una combinazione lineare cho un n matrici nulata quello con tiyi coefficienti = A o o.

Sistema lineas

Dato una matrici A e una Ax (A+S)= OAT. A= oTx B.

Seconda parte inversa

Se e una matrici inversistica, A é ca triaspusa occurr matricie dei lavorofficeumolta porti A^-1: = OTA.A= AxA^-1 (2-JBA) A.

Un matricc _Brac inves _{Deve inv nell in umi nascia di anixie ir}disposti esecuendo n righie e n codoningsottrazione linearesando l aln una codro comg lineare Ė un espressione del tiposaa-chak con cĖ rl risutando Ė un movo gelitunto nelle speitch dmatrice simmetricauna martrice quadramawa si dice simmetrica se A = A^T. Ś2 si l’insieme delcematrici simmetriche M_nx/ L(A) È Ś_II = A2 (SR) = 211-231.

Matrice anti-simmetrica

Un mat&-&pt M quanta’a̅ e rm Ē antisimmetrica Ćg A = A2 .A = (Açl GEYH).

Matrici anti-simmetriche M_{nx. L(A2)} = E M K▒A⊂O⊂= (A^T).

Una matzice AEMZ si dice idotpotento soe.

Submatrice mi dotanuna mat p qr  ul una matzice AEMZ si dice inlpotento so      sken n AE  e.

Matrice invertibile

Una matrice A 83 $ bulg invertibile se 3’82tml AB. = AB = 7 . B sii olglo inversasul    &sj  ģuna matrice A  v’ invertibilse A invertibile anc&e ie A Ė Lo sts dotato la matrice nov    invertibile dotta<^{-1 Dot}147 st ⊂ ⊂⊂ok⊂A2    A ⊂.

Determinante di rango

Determinante

41’det Č un matrice associata a uma matrice Ė in o alofarando cioti anncoc csottot&cotramecinosanto la matrice every lr prem detestoral a chieq a uma ‘matrice Ṃ(A) i’ny37 c chiti amlants a ceng e cangucolando g 1 disina pile e cs destin gacoraumrange meman Ÿdetermiti dalalodertonati dapiacale numora che si ottievus derri sotra darimcinclv ecuetid in unal matricci moltiplicata aduni pref. Il priemlu com mancioŠ.

Metodo di Clauss

Faciamo soso deŪ nccess scoitrol duic ouched Ē somnamedo un loro corlo con ilipossi & ucsummal a una mari­.La matrix (con) stat oitrango li v jot massire mangt rus ietichl d ino siu aesiM Mti A=T)(V AÕ ²e koČ il più gennao multopli lrrl dwi cesistus una fut urtempica. A exp. ZVZ)AK A ĞG3500.

Illetic lax k almogy a oreringo p s sisistinu umaro ol tiocusasrqsua ∪M uma sotrotcttalv PKC D LRE sloc graticu qu m una ciruc a una colonna 01 || e c Ā c2um sottmatricioremannos & atanta c&pwct rile cogaisy loraltex o uma cica a uma colonn oi a ouuma4^epty x' dergaodieis/^o ⊂ZM A X dixia,Qublisssima uma sotorotcttalv exlc con dixhx qu oxotal manooth−6t adomana leor mango os.

Indipendenza lineagena

Ala & ; firl sumw ino sz a non una comirtazione lineale cio che Ėk uma matrice nuleas qucate con u'1n’ cofficitaoAn = A O  lods steptge non Œtodis sinsondate fun macrici aerin (AE)  (E ATA)=EEYTA. DTC E D II’B B;hodromi pk tilz inversap lumn masico vo s wotriciso, ATA e ^-1 ca i’īapossa occili matirice otc comtatora McPLY flicn tplcat foy 2.P.2.1 &ffull;nrk plend dama iivalakon oftes dceta 17A7 ẖA7 ( -2' ∗dota’ acapacosinvrsa della matrico.

Sistemi lineari

Sistema lineare

Un sistema lin. MM è un sistema con MM equazioni di primo grado in NN incognite.

Sistema omogeneo associato

Il sist. omogeneo associato a il sistema lineare G è chiamato tutti i termini noti sono 0 anche to si dicono ammette una soluzione bananas.

Soluzioni di rango

Un sistema ammette una/una severino se gi sono sg rango di rrango di una matrice differenza i vi sol carattere.

Prova di esaurto

(x + y + (3-k)z = y kx + y + kz = 2 kx + yz = 2 DET A = V₁z -2k V₁R V₁(k-2) g V₂ = 0 V₂K=2 PERM V₂ = 0 A = (1 1 3) (0 0 0) (0 0 2) Vg d = 2 Vg A = 2 Vg B = 3 sodo R-C F SODI PSOL P₂ = 3?(x+y+x+2) xs yF = 0 2+F=+1 = 2x₁ = x₂ = x₃ =

Spazi vettoriali

Spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale è un insieme non vuoto i cui egiamenti sono chiusivettoriali con ottimismo di somma tra due vettori e prodotto tra un vettore e un numero.

Vettori applicati

In due pnmi. Un vettore coordinato applicato in o bi unsegmento bognato cic 0 umese l o al conecrto punto P.

Un vettore cactoriale c bero i y 3 uno classe di regolenza di vettorirelativi e ali in capo vetmi uno insieo di vettori applicati tutti doplicatiper uno fmma che caisa sodo il punto di applicazione.

Sottospazio vettoriale

Uno sottospazio non vuoto di uno spazio vettore si dice sottospaziovettoriale se questo 6 chiuso respeito nia somma e a il prodotto.

Span

L'insorgo di tutti vettori che si ottengono conizo coniananzioni limparedi 1 e2.... e0 equ un sottospazio vettoriali.

Genokatori

Dei vettori L si dicono generatore se appartanengo allo span.

Base di

Una base di uno spazio vettorgali O uno n-upla ordiname di vettorid che sono lintamiamente indipendenti e ganianano V.

Base infinima

L infeino i vettori tal che criminique scegliano un nutraadi una insegn l infimo uno limgncatain napnionun. ocei vettordi a V e conianengicinintr v o littito frmo di dissi.

Applicazioni lineari

Sia uno spazi vettoriali. Una funzione T:V V T:V V si dice extraimpmabile si e additiva e ortofiono. ADD (U