Algebra lineare e geometria - Appunti di teoria completi

Algebra lineare e geometria

Sommario

• Matrice ...................................................................................................................................................... 4
• Tipi di matrici ............................................................................................................................................ 4
• Somma di matrici ..................................................................................................................................... 8
• Prodotto scalare ...................................................................................................................................... 8
• Prodotto di matrici ................................................................................................................................... 9
• Potenze di una matrice quadrata ........................................................................................................10
• Matrici invertibili e inversa di una matrice quadrata ...............................................................................10
• Sistemi lineari .........................................................................................................................................12
• Sistemi di equazioni lineari ......................................................................................................................12
• Matrici ridotte per righe ..........................................................................................................................12
• Operazioni elementari di riga e matrici equivalenti .................................................................................14
• Come ridurre una matrice ..................................................................................................................15
• Interpretazione matriciale .......................................................................................................................15
• Rango di una matrice ..............................................................................................................................15
• Risoluzione di sistemi ..............................................................................................................................16
• Come risolvere un sistema lineare .....................................................................................................16
• Equazioni matriciali .................................................................................................................................16
• Determinanti ..........................................................................................................................................19
• Calcolo dell’inversa di una matrice ..........................................................................................................21
• Ancora sull’inversa di matrici ..................................................................................................................22
• Il metodo di Cramer ................................................................................................................................23
• Calcolo del rango con il criterio dei minori ..............................................................................................23
• Sistemi lineari parametrici ......................................................................................................................23
• Risoluzione di un sistema lineare parametrico di 3 equazioni in 3 incognite ........................................24
• Risoluzione di un sistema lineare rettangolare parametrico ................................................................27
• Risoluzione di un sistema lineare con due parametri ...........................................................................29
• Vettori .....................................................................................................................................................31
• Sistema di riferimento .............................................................................................................................32
• Somma di vettori ....................................................................................................................................32
• Prodotto di un numero per un vettore ....................................................................................................33
• Componenti di un vettore .......................................................................................................................33
• Prodotto scalare .....................................................................................................................................34
• Prodotto vettoriale .................................................................................................................................36
• Prodotto misto ........................................................................................................................................38
• Rette e piani .............................................................................................................................................39
• Equazioni di rette ....................................................................................................................................39
• Posizioni relative di due rette ............................................................................................................................................................................................42
• Equazioni di piani ....................................................................................................................................44
• Posizioni relative di due piani ..............................................................................................................46
• Posizioni relative di un piano e una retta .................................................................................................47
• Distanze tra insiemi .................................................................................................................................48
• Fasci di piani ...........................................................................................................................................53
• Spazi vettoriali ......................................................................................................................................54
• Sottospazi vettoriali ................................................................................................................................55
• Come stabilire se un insieme è un sottospazio vettoriale ...................................................................56
• Operazioni fra sottospazi ........................................................................................................................59
• Dipendenza e indipendenza lineare ....................................................................................................59
• Combinazioni lineari ...............................................................................................................................59
• Come stabilire se un insieme di vettori è un sistema di generatori ....................................................60
• Come ricavare le equazioni cartesiane da un sistema di generatori ...................................................62
• Dipendenza lineare .................................................................................................................................63
• Come stabilire se un insieme di vettori è linearmente indipendente .................................................64
• Basi di uno spazio vettoriale finitamente generato .....................................................................64
• Il metodo degli scarti ..............................................................................................................................65
• Basi di uno spazio vettoriale ....................................................................................................................65
• Come calcolare le componenti di un vettore rispetto a una base .......................................................66
• Dimensione di uno spazio vettoriale finitamente generato......................................................................68
• Dimensione di sottospazi ........................................................................................................................68
• Rango e dimensione ................................................................................................................................69
• Completamento a base ...........................................................................................................................70
• Come completare a base ....................................................................................................................71
• Come trovare una base dello spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo ........................72
• La formula di Grassmann ........................................................................................................................73
• Come determinare dimensione e base della somma di due sottospazi ..............................................74
• Come determinare dimensione e base dell’intersezione di due sottospazi ........................................75
• Applicazioni lineari ...............................................................................................................................76
• Definizione di applicazione lineare ..........................................................................................................76
• Applicazione lineare definita da una matrice .......................................................................................77
• Immagine e nucleo di un’applicazione lineare .........................................................................................78
• Applicazioni lineari iniettive e suriettive ..................................................................................................79
• Isomorfismi .............................................................................................................................................81
• Applicazioni lineari fra spazi di dimensione finita ....................................................................................82
• Come studiare esistenza e unicità di un’applicazione lineare definita da immagini di vettori ............82
• Matrice associata a un’applicazione lineare ............................................................................................83
• Come determinare la matrice associata a un’applicazione lineare .....................................................84
• Come trovare la dimensione e una base del nucleo ...........................................................................86
• Come trovare la dimensione e una base dell’immagine .....................................................................88
• Endomorfismi .........................................................................................................................................89
• Autovettori e autovalori ...................................................................................................................89
• Autovalori, autovettori e autospazi di endomorfismi ...............................................................................89
• Autovalori, autovettori e autospazi di matrici ..........................................................................................91
• Come trovare gli autovalori e gli autospazi di una matrice .................................................................92
• Diagonalizzazione .................................................................................................................................93
• Diagonalizzazione di matrici ....................................................................................................................93
• Diagonalizzazione di matrici simmetriche ................................................................................................95
• Il teorema di Cayley-Hamilton .................................................................................................................95
• Spazi vettoriali con prodotto scalare .............................................................................................97
• Prodotti scalari ........................................................................................................................................97
• Basi ortonormali .....................................................................................................................................99
• Matrici ortogonali .................................................................................................................................101
• Diagonalizzazione ortogonale per matrici simmetriche .........................................................................102
• Forme quadratiche .............................................................................................................................104
• Forme quadratiche reali ........................................................................................................................104
• Forme quadratiche definite...................................................................................................................105
• Come stabilire se una matrice è (semi)definita positiva, negativa o indefinita ................................106
• Trasformazioni nel piano .................................................................................................................109
• Elissi, iperbole, parabola .......................................................................................................................109
• Rototraslazioni nel piano ......................................................................................................................114
• Coniche ..................................................................................................................................................117
• Coniche e la loro riduzione a forma canonica ........................................................................................117
• Riduzione della forma canonica per cambiamento di coordinate .....................................................118
• Determinazione del tipo di una canonica ..............................................................................................122
• Sfere e circonferenze nello spazio ..................................................................................................127
• Sfere nello spazio ..................................................................................................................................127
• Circonferenze nello spazio ....................................................................................................................128
• Piano e retta tangenti a una sfera .........................................................................................................131
• Intersezione di due sfere .......................................................................................................................131

Matrici

Una matrice di tipo a coefficienti in \(\mathbb{R}\) è una tabella di numeri reali disposti su righe e colonne. I singoli numeri si dicono entrate o componenti della matrice. Dentro una matrice ogni coefficiente occupa una ben precisa posizione, identificata dalla riga e dalla colonna a cui appartiene. Si chiama dimensione di una matrice il prodotto tra il numero di righe e il numero di colonne.

L’insieme delle matrici a coefficienti reali si indica con \(\mathbb{R}^{m \times n}\). Più in generale, se gli elementi di una matrice da righe e colonne appartengono al campo \(\mathbb{K}\) si scrive \(\mathbb{K}^{m \times n}\), oppure \(\mathbb{M}_{m,n}(\mathbb{K})\).

Definizione: Due matrici sono uguali se hanno la stessa dimensione e se sono uguali i coefficienti che hanno la stessa posizione.

Tipi di matrici

Matrice quadrata: matrice in cui il numero delle colonne è uguale al numero delle righe.

Matrice riga: è una matrice di tipo (1, n), ossia è formata da una sola riga, indipendentemente dal numero delle colonne. Le matrici riga vengono usate per riportare le componenti di un vettore, motivo per cui vengono anche dette vettore riga.

Matrice colonna: è una matrice formata da una sola colonna, ossia del tipo (m, 1) e viene anche detta vettore colonna. Spesso la distinzione tra vettore riga e vettore colonna non è importante; in particolare, di solito si identificano gli insiemi \(\mathbb{R}^1\), \(\mathbb{R}^2\) e \(\mathbb{R}^3\) con \(\mathbb{R}\), esattamente come quando si scrivono le coordinate cartesiane di un punto nel piano (vettori di \(\mathbb{R}^2\)) o nello spazio (vettori di \(\mathbb{R}^3\)).

Vettori riga e vettori colonna non sono solo casi particolari di matrici; infatti, data una qualsiasi matrice \(A\), possiamo considerare i suoi vettori riga e i suoi vettori colonna \(A_1, A_2, \ldots, A_m\) e \(B_1, B_2, \ldots, B_n\).

Se cioè abbiamo una sola riga e una sola colonna (e, quindi, anche una sola entrata), si preferisce identificare \(\mathbb{R}^{1,1}\) con \(\mathbb{R}\).

Matrice nulla: matrice avente tutte le entrate nulle.

Invece, la tabella non è una matrice. Sia \(A\) una matrice. Ad ogni sua entrata \(a_{ij}\) rimangono associati due numeri interi positivi, gli indici \(i\) e \(j\): della riga e della colonna al cui incrocio si trova e vengono detti rispettivamente indice di riga e indice di colonna dell’entrata \(a_{ij}\) e si dice entrata in posizione \((i, j)\).

Spesso, per indicare nelle formule l’entrata in posizione \((i, j)\) si scrive \(a_{ij}\). Similmente, la matrice \(A\) si può indicare con le notazioni: \(A = [a_{ij}]\). Tale notazione significa che \(A\) è la matrice le cui entrate sono i numeri \(a_{ij}\) con gli indici \(i\) e \(j\) che variano da 1 a \(m\) e da 1 a \(n\) rispettivamente. Se \(A\) è quadrata si può scrivere anche come \(A_{n \times n}\).

Quando le dimensioni della matrice sono fissate, a volte conviene indicare le entrate con lettere distinte. Per esempio, una matrice \(2 \times 2\) generica può essere indifferentemente indicata con: \(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\).

Definizione: L’opposto di una matrice è la matrice di segno opposto, indicata con -A, la cui entrata \((-a_{ij})\) coincide con l’entrata opposta alla \((i, j)\).