Teoria di Teoria dei segnali

Slide 1 teoria dei segnali

Definizione di segnale

Segnale = una qualunque grandezza fisica variabile a cui è associata un’informazione. = ()

La definizione di segnale coincide con la definizione matematica di funzione.

Classificazione delle tipologie di segnali

• Analogico Tempo: continuo Ampiezza: Continua
• Tempo discreto: = ( ) Un segnale si definisce a tempo discreto se è possibile associare un valore di solo a valori discreti della variabile indipendente ordinabile dall’indice interno n Tempo: discreto Ampiezza: Continua
• Numerico (o digitale) Tempo: Discreto Ampiezza: Discreta
• Quantizzato Tempo: Continuo Ampiezza: Discreta

Proprietà elementari di segnali

Proprietà elementari di segnali determinati a tempo continuo

+∞2 2() = |()| = |()| Energia di un segnale: ∫ −∞ < ∞,

Un segnale si dice a energia finita se ovvero se l’integrale è convergente.

/21 2: = |()| Potenza media su un intervallo ∫ −/2

È il rapporto tra l’energia in un intervallo e la durata dell’intervallo.

/21̅ 2= lim = lim |()| Potenza media: ∫ −/2→∞ →∞

È la quantità quando va all’infinito. ̅ < ∞

Un segnale si dice a potenza media finita se.

Segnale periodico

/2 20() |()| < ∞

Dato un segnale periodico di periodo tale che: ∫0 − /20()

Si può dimostrare che ha energia infinita e potenza media finita. In particolare la P media è pari alla potenza media calcolata in un intervallo di tempo pari al periodo, cioè:0 /21 20 = |()| ∫ − /2 00

Dim: potenza media finita per un segnale periodico.

̅ = lim = 0→∞ /2 /21 1 0̅ 2 2= lim ∫ () = lim ∫ () →∞ →∞ 0−/2 − /20 0 0− +1 02 22 2= lim () + ⋯ + ∫ () =[∫ ] − →∞ 0 00 −02 20 01 12 22 2= lim [ () ] = () = ∫ ∫ 0 0 − −→∞ 0 02 2

Proprietà elementari di segnali determinati a tempo discreto

[],

Dato un segnale a tempo discreto si definisce:

+∞ 2∑ = |[]| Energia di un segnale: =−∞ < ∞

Un segnale si dice a energia finita se.

1 2∑ = |[]| Potenza media su N campioni: =−2+1

1 2∑ = lim |[]| Potenza media: =−2+1→∞ ̅ < ∞

Un segnale si dice a potenza media finita se.

Segnali periodici tempo continuo

Analisi armonica dei segnali periodici

x(t) può essere espresso come somma di oscillazioni sinusoidali di ampiezza, frequenza e fase opportune.

Serie di Fourier

Serie di Fourier in forma polare

()

Rappresentazione matematica che permette di analizzare un segnale periodico qualunque in modo semplice:

∞x(t) = + 2 ∑ cos (2 + )0 0 =1

Dim: per ottenere forma complessa.

Questa può essere espressa in una forma più conveniente per i calcoli:

∞ (2 + ) −(2 + ) + 0 0 x(t) = + 2 ∑ =0 2=1

=1∞ ∞ 2 − −2 = + ∑ + ∑ 0 00 =1 =1

∞ −1 Cambio variabile k in -k 2 − 2 = + ∑ + ∑ 0 − 00 −=1 =−∞ = = 1,2 …

Definendo: − = = ⋯ , −2, −1− − = 0 0

∞ −1 ∞ Serie di Fourier in2 2 () = + ∑ + ∑ → () = ∑ 0 0 0 forma complessa=1 =−∞ =−∞

Determinazione dei coefficienti

Dim: calcolo di determinazione di un’espressione per il calcolo del coefficiente.

∞ 2 −2 ∑() = moltiplicando entrambi i termini per e integrando nel periodo0 0 0=−∞

∞0 02 2−2 2 −2 ∫ () dt = ∫ ∑ dt0 0 0− −0 0 =−∞2 2

∞0 02 2 HP: la serie converge−2 2(−) ∫ () dt = ∑ ∫ dt0 0− − uniformemente0 0=−∞2 2

∙ = 10 000 2(−) (−) −(−)2 − [( − )]02 2(−) ∫ = | = =0 2( − ) 2( − ) ( − )− −0 0 0 002 2 0 20 = → ∫ 1 = 2 2(−) 0∫ = {0 −0− 202 ≠ → [( − )] = 00 = 2 2(−) 0∫ = {0 0 ≠ −02

∞0 0 2 2 −2 2(−) − ∫ () dt = ∑ ∫ dt = → = ∫ () 0 0 0 − − −0 0 =−∞2 2 ()

Questo permette di calcolare i coefficienti della serie di Fourier a partire dal segnale dato.

Criterio di Dirichlet

Condizioni sufficienti che garantiscono la possibilità di sviluppare un segnale in serie di Fourier:

02() ()dt < ∞)

• 1) Se è assolutamente integrabile sul periodo (vale a dire se verifica la condizione: ∫− 02()
• 2) Se è continua o presenta in un periodo un numero finito di discontinuità di prima specie()
• 3) Se è derivabile rispetto al tempo nel periodo, escluso al più un numero finito di punti nei quali esistono finite la derivata destra e sinistra

→ se il segnale presenta un numero finito di massimi e minimi nel periodo

→ Allora la serie di Fourier converge al valore assunto dalla funzione nei punti in cui questa è continua, e alla semisomma dei limiti destro e sinistro nei punti in cui presenta le discontinuità di prima specie.

Equazioni di sintesi e analisi per segnali periodici

➔ Equazione di analisi: permette di stabilire qual è il contenuto in termini di oscillazioni armoniche del segnale 01 2 −2 = ∫ () dt0 −00 2

➔ Equazione di sintesi: note le ampiezze e fasi delle varie armoniche (cioè noti i coefficienti di Fourier) permette di ricostruire il segnale dato a partire dalle proprie componenti frequenziali (armoniche)∞ 2 () = ∑ 0=−∞

Spettri di ampiezza e fase

j∠ = | |è in generale complessa: | |

• Spettro di ampiezza: grafico di ∠
• Spettro di fase: grafico di

Gli spettri di ampiezza e di fase del segnale sono discreti, in quanto sono definiti solo in corrispondenza delle frequenze armoniche.

Proprietà dello spettro di un segnale reale periodico

∗➔ = Simmetria per un segnale reale: − 01 2 −2 = ∫ () 0 −00 2 ∗ 0 0 01 1 12 2 2∗ −2 ∗ +2 −2(−) = ( ∫ () ) = ∫ () = ∫ () = 0 0 0 − − − −0 0 00 0 02 2 2∗→ = → i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier godono della proprietà di simmetria coniugata o − Hermitiana, ovvero:| | = | |∗ − = ↔ { -> simmetria Hermitiana− ∠ = −∠ −

• Spettro di ampiezza = simmetrico rispetto a k
• Spettro di fase = antisimmetrico rispetto a k

Linearità

➔ Linearità

() () () = ∙ () + ∙ (), = ∙ + ∙ Se e sono segnali periodici di periodo e allora0

Teorema di linearità: 0 01 12 2−2 −2 = ∫ () = ∫ [ ∙ () + ∙ ()] =0 0 −0 00 0− 2 2 0 0 2 2−2 −2 = ∫ () + ∫ () = ∙ + ∙ 0 0 − −0 00 02 2

Simmetria segnali pari

➔ () = (−) Simmetria segnali pari:

() = Se il segnale è pari, allora il coefficiente della serie è una funzione pari di k: −∗ ∗() = = = Se è anche reale, allora si ha, quindi il coefficiente è reale:− −

Dim: simmetria segnali pari.

() è pari. 0 0 0− −1 1 12 2 2−2(−) −2 −2 = ∫ () = − ∫ (−) = − ∫ () =0 0 0− − 0 0 00 0 02 2 201 2 −2 = ∫ () = 0 −00 2

Simmetria segnali dispari

➔ () = −(−) Simmetria segnali dispari:

() = −Se il segnale è dispari, allora il coefficiente della serie è una funzione dispari di k: − −∗ ∗() = − = = Se è anche reale, allora si ha, quindi il coefficiente è immaginario puro:− −

Dim:: simmetria segnali dispari.

0 0 0− −1 1 12 2 2+2 −2 −2 = ∫ () = − ∫ (−) = ∫ () =0 0 0− − 0 0 00 0 02 2 201 2 −2 = − ∫ () = −0 −00 2

Caratteristiche degli spettri

Un ritardo nel tempo non modifica lo spettro di ampiezza, ma solo quello di fase, perché:

• Spettro di ampiezza --> esprime quali sinusoidi (e con quali ampiezze) servono per sintetizzare il segnale di una certa forma
• Spettro di fase --> indica la fase iniziale di ogni sinusoide, che dipende dalla posizione del segnale da sintetizzare

Differenze tra onda quadra e triangolare

→ 0 → ∞ 1/Onda quadra: ampiezza per come 2

→ 0 → ∞ 1/Onda triangolare: ampiezza per come

L’onda quadra presenta discontinuità, cioè brusche variazioni temporali del valore del segnale; che non sono presenti nell’onda triangolare. Possiamo dire che le variazioni “brusche” comportano la presenza di armoniche di ordine più elevato.

In altri termini un segnale avente velocità di cambiamento molto alto per essere ricostruito necessita di molte componenti ad “alta frequenza”, cioè di molte armoniche di ordine superiore.

Viceversa un segnale a variazione “più lenta” ha un contenuto di armoniche a frequenze più basse.

Slide 2 segnali aperiodici tempo continuo

È possibile rappresentare anche un segnale aperiodico come una opportuna sovrapposizione di segnali elementari (sinusoidali).

−∞ + ∞) Una funzione non periodica (definita tra può essere rappresentata come somma di infinite funzioni −∞ + ∞. armoniche semplici di ampiezza infinitesima e di frequenza variabile con continuità tra

Questa rappresentazione è nota come trasformata continua di Fourier (TCF).

Dalla serie all’integrale di Fourier

() () = lim () il segnale può essere considerato il caso limite di un segnale periodico: →∞0 → ∞, → 0

Quando quindi si riduce la distanza tra due generiche frequenze armoniche e inoltre tende a ridursi0 0 l’ampiezza dei coefficienti.

() Per ovviare ciò possiamo scrivere come:

∞ /202 −2 () ) = ∑ ( ) , ( = ∫ () 0 0 0 0 0 − /20=−∞

(), () → ∞ → () Per quando: --> 0 → 0-->0 → --> ad un valore non discreto ma continuo,0→-->∑ ∫), ()( → ∞ → () Per quando: -->0 0 → -->0

+∞ +∞−2 −2()() = lim = () ∫ ∫0−∞ −∞ →∞0 →00()

, è una funzione complessa di quindi lo spettri di ampiezza è adesso continuo.

Equazioni di sintesi e analisi per segnali aperiodici

➔ Equazione di sintesi: permette di rappresentare il segnale come sovrapposizione di segnali elementari.

+∞ Antitrasformata di Fourier2() = ∫ () → (o trasformata inversa di Fourier)−∞

➔ Equazione di analisi: permette di determinare il peso che le varie componenti frequenziali (a tutte le −∞ +∞) () possibili frequenze variabili con continuità da a hanno nella composizione di

+∞ Trasformata continua di−2() = ∫ () → () Fourier del segnale−∞

Criteri di esistenza

() ().

Condizioni sufficienti per la rappresentazione del segnale attraverso la propria trasformata di Fourier.

1. Prima condizione sufficiente:

+∞ 2|()|() = < +∞ Se il segnale ha energia finita: ∫ −∞

→ () allora la trasformata esiste (cioè l’integrale nella relazione di analisi è convergente)

→ () allora la rappresentazione del segnale come integrale di Fourier (antitrasformata) coincide quasi ovunque con il segnale originario.

2. Secondo criterio sufficiente, meno restrittivo, è il criterio di Dirichlet.

Simmetria degli spettri

() () = () + () può essere rappresentata in forma polare o in forma rettangolare:

() = () = parte reale, parte immaginaria()

Supponiamo che sia una funzione reale, a