Teoria di Progettazione meccanica II

Materiali - Introduzione

I criteri di scelta dei materiali sono:

• Funzione per cui l’oggetto è pensato (sopportare un carico, resistere a usura e corrosione, condurre calore ed elettricità)
• Proprietà meccaniche (duttile, fragile, resistente a fatica)
• Modalità di rottura
• Lavorabilità per ottenere un certo componente in un determinato materiale
• Costi
• Considerazioni ambientali

Spesso la scelta dei materiali segue il progetto, ma quasi sempre la scelta del materiale e la geometria sono problemi accoppiati. A volte parte integrante del progetto di un prodotto è proprio lo sviluppo di un nuovo materiale perché con quelli esistenti non è realizzabile (es. palette delle turbine o compositi che hanno migliorato le applicazioni in campo aeronautico).

Materiali ingegneristici

I materiali ingegneristici si dividono in 6 grandi classi: metalli, polimeri, elastomeri, ceramici, vetri e compositi. In generale, le proprietà di un materiale finalizzato alla progettazione di qualcosa sono le seguenti:

• Costo (non dipende dal materiale in sé per sé)
• Densità
• Modulo elastico o di Young
• Resistenza
• Resilienza (capacità di resistere all’impatto)
• Capacità di smorzamento
• Limite di fatica
• Resistenza a frattura
• Capacità e diffusività termica
• Resistenza a creep (dovuta a un carico statico applicato ad alte temperature, il quale comporta una deformazione crescente nel tempo)
• Temperatura di fusione
• Calore specifico
• Temperatura di transizione vetrosa (passaggio da un comportamento elastico ad uno visco-elastico)
• Coefficiente di espansione termica lineare
• Resistenza agli shock termici
• Tasso di corrosione

Caratteristiche dei materiali

Metalli

• Alto modulo elastico
• Trattabili termicamente
• Formabili per deformazione plastica
• Duttili (snervamento prima della frattura)
• Soggetti a fatica e corrosione
• Soggetti a elevate sollecitazioni di contatto
• Bassa tolleranza alle cricche

Ceramici e vetri

• Elevata durezza
• Elevata resistenza a flessione elastica
• Fragili (resistenti a compressione ma non a trazione)
• Resistenti ad elevate temperature
• Costosi e difficili da formare

Polimeri ed elastomeri

• Basso modulo elastico
• Elevata resistenza
• Resistenti a corrosione
• Facili da formare
• Buona qualità relativa alla finitura superficiale
• Proprietà fortemente dipendenti dalla temperatura

Compositi

• Si intende fibre di qualcosa dentro una matrice polimerica (può essere anche metallica o ceramica)
• Alto modulo elastico
• Leggeri
• Resistenza specifica elevata
• Ottime prestazioni a temperatura ambiente mentre ad elevate temperature possono rammollire il termoplastico o bruciare il termoindurente

Rottura (failure) - Carta di attacco ambientale

La prima cosa da chiedermi quando progetto un componente è “in che materiale farlo perché non si rompa”. La modalità di rottura è connessa all’ambiente in cui si trova quel componente (ad esempio in un materiale polimerico la rottura per corrosione non c’è, viceversa il danneggiamento da UV non ci sarà se sono orientato verso materiali metallici all’aperto).

Una guida per vedere come i vari materiali rispondono nelle diverse condizioni ambientali è fornita dalla carta di attacco ambientale: Ci sono diverse condizioni ambientali (acqua salata, acqua aerata, radiazioni UV, solventi organici, alcalini e acidi forti) e ci sono le principali classi di materiali distribuite in ciascuna zona (metalli, polimeri, compositi, ceramici e vetri). Ci sono 4 gradi di resistenza lungo la direzione radiale (A, B, C, D) che indicano come il materiale reagisce a quella condizione ambientale: più il materiale si trova verso l’esterno (classe A) meglio resiste a quel tipo di attacco ambientale, mentre sarà più facilmente attaccabile quanto più verso il centro si trova (es: l’acciaio al carbonio è il peggiore contro l’acqua salata, oppure i materiali polimerici sono molto sensibili agli UV).

Criteri di valutazione dei materiali

Una volta trovati dei materiali candidati, vanno valutati molti altri aspetti come:

• La manufatturabilità, perché il materiale deve essere compatibile con il processo di produzione, quindi devo valutare colabilità, formabilità, lavorabilità alle macchine utensili, rivestibilità con barriere termiche (es: palette di turbine), trattamenti termici (sia massivi che superficiali: ad esempio, le ruote dentate hanno il problema non tanto sulla flessione quanto sull’usura dovuta allo strisciamento tra i denti, trattamento termico per aumentare la durezza superficiale).
• Il costo: la selezione del materiale in un design deve fornire il massimo valore (grado in cui quel materiale soddisfa una certa performance) con il minimo costo.

NB: un costo iniziale maggiore per un materiale di qualità migliore può essere “recuperato” durante la vita utile del componente (ad esempio un utensile in WC costa di più ma lo sostituisco dopo molto più tempo rispetto allo stesso utensile in acciaio).

Carte di selezione del materiale

Con più di 100K materiali e più condizioni tra cui scegliere, le tabelle di dati non sono il formato più conveniente, mentre sono molto più utili le rappresentazioni grafiche. Immaginiamo di dover fare la scelta su una caratteristica sola, ad esempio la conducibilità termica. Il grafico riporta la conducibilità termica per classi di materiali come una serie di barre che ne indicano il range. I materiali con conducibilità alta o bassa possono essere visti a colpo d'occhio. Se voglio una conducibilità sopra/sotto un certo valore posso tracciare la linea per quel valore e scartare tutti i materiali che stanno sotto/sopra. Si osserva subito che i metalli hanno alta conducibilità e i polimeri la hanno bassa, mentre i ceramici coprono l’intera gamma di valori.

Material index

Anche se ho un unico obiettivo (minimizzare la massa, il costo o massimizzare la rigidezza) e un solo vincolo (non si deve rompere, non si deve deformare più di un certo limite), il modello fisico alla base del componente che sto progettando tiene dentro diverse caratteristiche del materiale (tipicamente la densità c’è sempre quando c’è la massa o il costo). Si definisce Material Index (MI) un parametro in grado di dire come un materiale risponde a una certa funzione obiettivo.

Esempio: asta teso-compressa di sezione cilindrica

Funzione Asta teso-compressa

• Obiettivo: Minimizzare la massa
• Vincoli: Non si deve rompere
• Variabile libera: Materiale, Sezione resistente

Dall’equazione di vincolo isolo la variabile libera:

≥ → ≥

Sostituisco la variabile libera nell’equazione obiettivo:

= → ≥ → ≥

La massa dipende da 3 contributi: uno relativo alle condizioni di operative (carico applicato), uno relativo alla geometria e uno direttamente associato al materiale. Affinché la massa sia minima devo massimizzare il reciproco di quest’ultimo contributo (essendo fissati gli altri contributi) che viene definito MI, in questo caso:

= /

Se come vincolo anziché dire “non si deve rompere” avessi detto “non si deve deformare più di ” avrei proceduto come segue:

≥ = → ≥ → ≥ → ≥ = /

In questo caso per minimizzare la massa devo massimizzare un altro MI, ovvero .

I vari grafici sono generalmente forniti in scala doppio-log in modo da avere sempre una retta anche quando i MI presentano grandezze con esponenti diversi da 1. Ad esempio, la velocità del suono in un materiale è data da:

/=−

che non sarebbe una retta nel grafico. Passando ai logaritmi:

1 (log )log = − log → log = log + 2 log2 2 log

che è l’equazione di una retta di pendenza unitaria e intercetta.

L’intercetta è proprio il MI e tutti i materiali che si trovano sulla stessa retta hanno lo stesso MI (in questo caso la stessa velocità del suono) che aumenta man mano che la retta trasla verso l’alto. Se cerco un materiale che abbia una specifica velocità del suono metto la che mi interessa e ho una sola retta, se invece cerco il materiale con la più alta velocità del suono avrò una famiglia di rette parallele che aumentano di intercetta fino a che i materiali candidati non diventano poco fattibili per la realizzazione (es: diamante si troverà in alto ma non è utilizzabile).

Informazioni sui materiali

Per quanto riguarda le informazioni, ha senso considerare i materiali organizzati come un "regno". Le informazioni disponibili sono tipicamente di due tipi: informazioni strutturate (numeri, cioè le proprietà meccaniche come densità ecc) e non strutturate (info di supporto, possono essere specifiche o generali). Tra le info strutturate abbiamo proprietà numeriche (densità, modulo di Young ecc) e non numeriche (ad es: come si comporta in acqua di mare o se può subire una certa lavorazione, quindi o sono dati giudizi qualitativi (buono, eccellente, pessime) oppure giudizi di tipo booleano (si/no)). Tra le info di supporto specifiche ci sono linee guida di progettazione, casi studio, analisi delle rotture o applicazioni già consolidate, mentre tra le info di supporto generali troviamo informazioni sui fornitori, la normativa tecnica, lavorazioni specifiche di settore. Le info strutturate si trovano nei manuali e nelle schede dei materiali, mentre i dati non strutturati si trovano in rapporti, pubblicazioni scientifiche e articoli in rete.

Selezione di base dei materiali

L’insieme di partenza di "tutti i materiali possibili" viene ristretto dai processi di screening e ranking:

• Screening: si applicano limiti sulle proprietà del materiale per cui si eliminano tutti quei candidati che non possono fare quel lavoro
• Ranking: si mettono in ordine i materiali in base a una certa performance rappresentata da un MI in modo da trovare il materiale che fa quel lavoro nel miglior modo possibile

Fase di ranking

Nella fase di ranking bisogna definire:

• Funzione: che deve fare il componente?
• Vincoli: quali condizioni deve garantire? Ad es: non deve rompersi, non deve deformarsi più di
• Obiettivi: cosa deve essere massimizzato/minimizzato?
• Variabili libere: l’obiettivo può essere raggiunto sia cambiando il materiale che la geometria (posso aumentare o aumentare il diametro per diminuire).

Il problema di scelta del materiale è quindi contestuale alla scelta della geometria. Devo quindi definire la variabile libera geometrica (che non attiene alle caratteristiche del materiale) di cui mi devo liberare scrivendola in funzione delle caratteristiche del materiale.

Esempio: asta teso-compressa leggera e rigida

Funzione Asta teso-compressa (carichi assiali)

• Obiettivo: Minimizzare la massa
• Vincoli: Lunghezza è specificata. Non deve deformarsi più di: ≥
• Variabili libere: Materiale, Sezione resistente

Risolvo l’equazione di vincolo isolando la variabile libera:

≤ → ≤ → ≥

Elimino la variabile libera nell’equazione obiettivo usando il vincolo:

≥= /

Minimizzare la massa equivale a massimizzare il MI.

Esempio: trave leggera e rigida

Funzione Trave sottoposta a carichi trasversali

• Obiettivo: Minimizzare la massa
• Vincoli: Sezione trasversale quadrata. Freccia massima minore di: ≥ ; = 12
• Variabili libere: Materiale, Dimensione trasversale /12

Risolvo l’equazione di vincolo isolando la variabile libera:

≥ → ≥12 /12 /

Elimino la variabile libera nell’equazione obiettivo usando il vincolo:

≥ //= /

Minimizzare la massa equivale a massimizzare il MI.

Esempio: pannello leggero e rigido

Funzione Pannello sottoposto a carichi trasversali

• Obiettivo: Minimizzare la massa
• Vincoli: Freccia massima minore di: ≥ ; = 12
• Variabili libere: Materiale, Spessore del pannello /12

Risolvo l’equazione di vincolo isolando la variabile libera:

≥ → ≥12 12 /

Elimino la variabile libera nell’equazione obiettivo usando il vincolo:

≥ //= /

Minimizzare la massa equivale a massimizzare il MI.

Ragionando sulla sola flessione (escludendo il caso di trave teso-compressa che ha un carico di tipo molto diverso), il fatto che ci siano esponenti diversi (1/2 e 1/3) dice che un materiale migliore in un caso non è detto che lo sia anche nell’altro perché cambia la pendenza nel diagramma. Se i materiali A e C sono uguali nel caso di asta teso-compressa, non lo saranno più negli altri due casi dove il modulo di Young ha un esponente diverso da 1.

Nel diagramma, il MI indica la pendenza della retta nel caso 1 (asta teso compressa), mentre nel caso 2 avremo delle parabole: in generale, i MI sono nella forma: =

Se facciamo il logaritmo abbiamo: 1log = log + log/ che è l’equazione di una retta con pendenza. Pertanto, se i dati sono tracciati su un grafico log-log, tutti i punti su una linea di pendenza avranno lo stesso valore dell'indice di prestazione o Material Index M. In questo caso non cambia più la pendenza della retta al cambiare di M perché il MI è compreso nel termine noto, bensì cambia l’intercetta, per cui M definisce un fascio di rette parallele. I diagrammi si trasformano in questo modo: La pendenza è fissata e dipende dagli esponenti, in particolare la pendenza è/pari a. Quelle tratteggiate sono le cosiddette “linee guida”. Ovviamente nel diagramma log-log cambiano anche le posizioni dei materiali rispetto al diagramma non doppio-log.

Esempio: volano

Oltre ad accumulare energia cinetica, è un modo con cui riusciamo a regolarizzare dei flussi di energia discontinui come nel caso di MCI.

Funzione Volano, raggio fissato

• Obiettivo: Massimizzare il rapporto energia/peso (densità di energia)
• Vincoli: Non si deve snervare (deformarsi plasticamente). Deve costare ragionevolmente. Non si deve fratturare (non deve far propagare cricche)
• Variabili libere: Materiale

L’energia immagazzinata da un volano è: = =2 2. La massa è pari a: = 1=

Per trovare la miglior densità di energia devo trovare il più alto rapporto / : 4/. Non ho variabili libere geometriche, il che si traduce nel massimizzare trovando il valore di più alto possibile.

Per quanto riguarda il 1° vincolo, il volano ruota a per cui ogni pezzettino di massa è soggetto alla forza centrifuga per cui la tensione a cui è soggetto l’elementino sul bordo estremo del disco è pari a: 2 1> → < → < → massimizzare 2 2/.

Quindi, massimizzare significa massimizzare . Per quanto riguarda il 2° vincolo ho: 1> → massimizzare.

Per quanto riguarda il 3° vincolo ho: → massimizzare= √.

In questo caso il MI non è un rapporto, devo prendere il valore di più alto possibile.

NB: Si può usare la versione demo del file CES EDUPACK(ANSYS) per fare grafici anche non presenti sul libro (es: vs ).

NB: Se il volano è per un giocattolo per bambini (macchinina che devo strisciare e far andare da sola) la velocità massima non è che può essere chissà quanto alta. In questo caso l’obiettivo può diventare, anziché un rapporto energia/massa, energia/volume perché il giocattolo deve essere piccolo. Quindi:

= = → = → massimizzare4 4/ −

Quindi, massimizzare significa massimizzare . Quindi nel grafico devo vedere ciò che sta più a destra possibile, per cui mi ritrovo:

• Piombo: economico (si trova e si fonde facilmente) ma tossico
• Tungsteno: ha la più alta densità, ma costa molto ed è fragile
• Acciaio: buono ed economico, è la soluzione

Efficienza della forma

Quando i materiali vengono caricati a flessione, torsione o utilizzati come colonne sottili, la forma della sezione diventa importante. In molte applicazioni strutturali le forme geometriche delle sezioni sono disponibili commercialmente in alcune forme già definite (circolare, quadrata, ad I, a doppio T, pannelli sandwich). Il fatto che siano già disponibili le rende molto più economiche rispetto ad una forma “nuova”.