Teoria lineare

Teoria elasticità lineare

Con il termine materiale elastico lineare si definisce, da un punto di vista puramente qualitativo, un materiale che, se sottoposto a carichi, subisce una deformazione (proporzionale alla tensione di carico) che scompare una volta rimossi i carichi stessi.

La teoria dell’elasticità raccolse il concorrente contributo di matematici, meccanici teorici, ingegneri… ma la prima vera teoria risale già da Newton, che propose l’idea secondo la quale la fisica dell’elasticità dipenda dalla proprietà di attrazione degli atomi che formano i corpi. Questa teoria venne avvalorata osservando che la capacità di attrazione delle particelle che formano i corpi può essere causata da numerosi fenomeni naturali (esempio: reazioni chimiche, fermentazioni ecc.).

Col passare degli anni, in seguito alle teorie di Musschenbrock e di Maziere, il quale definiva l’elasticità come una materia sottile esterna incuneatesi nei pori del materiale: ovviamente era una deduzione metafisica. I primi veri passi per liberare la spiegazione dell’elasticità furono compiuti da due scienziati italiani Belgrado e Riccati, facendo riferimento alle leggi dell’urto elastico, che faranno sì di buttare le prime basi sulla meccanica dell’elasticità poi ripresa successivamente da Saint Venant, Carnot ecc.

Teoria molecolare di Navier-Cauchy e geometria della deformazione

Solo grazie a Navier si riuscì a trasformare le vaghe congetture fisiche in una moderna teoria matematica dell’elasticità. Deduzione analitica, dando inizio alla.

Successivamente Cauchy riprese i suoi studi e ampliò il metodo di Navier; infatti, gli scienziati dell’800 continueranno ad attribuire grande autorità ai risultati di Navier-Cauchy.

Secondo il modello di Navier, il solido elastico è ricondotto a numerose particelle P, Q, …, P₀, Q₀, … materiali, che, poste inizialmente in P₀, Q₀, si portano dopo la deformazione in P₁, Q₁, cambiando la loro mutua distanza e generando forze interne d’attrazione o di repulsione reciproca.

Dunque, se le particelle sono distribuite nello spazio in modo caotico, il comportamento del materiale è lo stesso su ogni riferimento, ovvero le forze interne insorgenti in una generica molecola P non cambiano quando le molecole vicine si allontanano o si avvicinano di più ad essa in maniera orizzontale o verticale o secondo una qualsiasi direzione: per P la situazione intorno è sempre la stessa, a prescindere dall'orientamento. In fisica e ingegneria, questa caratteristica di comportarsi allo stesso modo in ogni direzione si chiama isotropia materiale.

Se invece le particelle sono disposte su un reticolo, quindi con un certo ordinamento, si avrà che la risposta alla deformazione sarà diversa a seconda della direzione per cui avviene la deformazione: si parla di comportamento anisotropo.

Studio della deformazione

Per lo studio della deformazione è sufficiente considerare due elementi lineari che si incontrano ortogonalmente in un generico punto continuo. Ricordiamo che si parla di spostamenti continui, in quanto mettono in relazione uno spostamento geometrico con una deformazione.

Siano P₀, (x, y, z) le coordinate di P₀, ovvero la posizione della particella nel continuo indeformato, e P la posizione della stessa particella nel continuo deformato. Definiamo spostamento di P₀, u(P₀), il vettore che congiunge P₀ con P.

Le sue componenti sono u_x, u_y, u_z, che supporremo funzioni di x, y, z, continue e derivabili quanto occorre, oltre che infinitesime con le derivate. Accanto a P₀ c'è, orizzontalmente, Q₀; e la particella inizialmente posta in Q₀ si porta in Q, subendo uno spostamento u(Q₀) che poco differisce da quello di u(P₀); infatti le coordinate di Q₀ sono (x + dx, y, z) e quindi, per la continuità delle funzioni u_x, u_y, u_z, si ha:

{ ∂u_x / ∂x
u_x(Q₀) = u_x(P₀) + (∂u_x / ∂x)_P0 dx
u_y(Q₀) = u_y(P₀) + (∂u_y / ∂y)_P0 dx

Dilatazione lineare

Si definisce dilatazione lineare in P₀ nella direzione x il seguente rapporto:

ε_xx = (PQ − P₀Q₀) / P₀Q₀ ≅ [dx + u_x(Q₀) − u_x(P₀)] / dx

Essendo P₀Q₀ = dx e PQ = dx + u_x(Q₀) − u_x(P₀), si ha dalla formula precedente che:

ε_xx = (∂u_x / ∂x)_P0

In generale, dunque, la dilatazione lineare nelle tre direzioni è descritta dalle:

ε_xx = ∂u_x / ∂x, ε_yy = ∂u_y / ∂y, ε_zz = ∂u_z / ∂z

Ricordiamo che sopra P₀ c’è R₀, e lo spostamento in R₀, u(R₀), sarà ancora legato a u(P₀) da relazioni del tipo:

u_x(R₀) = u_x(P₀) + (∂u_x / ∂y)_P0 dy

Scorrimento angolare

Definiamo poi scorrimento angolare γ_xy in P₀ la differenza tra l’angolo π/2 = Q₀P₀R₀ e l’angolo QPR, ovvero, q