Matematica
Analisi
Proamma:
1. Funzioni:
Funzione, dominio, immagine, grafico. Funzioni reali di una variabile reale: funzioni monotone,
simmetriche, periodiche, elementari. Funzione limitata, estremo superiore, estremo inferiore,
Massimo, minimo.
2. Introduzione alle proprietà locali e al concetto di limite:
Definizione di punto di accumulazione e teorema di Bolzano-Weierstrass. Insiemi aperti e
chiusi. Limite. Proprietà elementari dei limiti. Funzioni infinitesime e infinite. Limiti notevoli di
funzioni trigonometriche. Infiniti, infinitesimi e confronti. Simbolo di Landau.
3. Successioni e serie:
Successioni a valori reali. Il numero e. La completezza dell’insieme dei numeri Reali. Cosa sono i
numeri Reali. Sottosuccessioni. Criterio di Cauchy.
Sommatorie. Serie numeriche: definizione e proprietà elementari. Serie numeriche a termini
positivi: criterio del confronto, criterio del rapporto, criterio della radice. Serie a termini di
segno variabile: convergenza assoluta, criterio di Cauchy, serie a termini di segno alterno.
4. Ulteriori elementi della teoria dei limiti:
Asintoto orizzontale, obliquo e verticale. Esempi simbolo di Landau.
5. Funzioni continue da R in R:
Continuità: definizione e proprietà elementari. Punti di discontinuità. Continuità per successioni.
Teorema degli zeri. Continuità delle funzioni inverse.Continuità Lipschitziana, uniforme e
tramite limite. Continuità delle funzioni composte.
6. Calcolo differenziale: funzioni da R in R:
Retta tangente, derivata. Derivata destra e sinistra, punto angoloso, punto di cuspide. Proprietà
elementari della derivata. Derivate delle funzioni elementari. Estremi locali e derivate. Teorema
di Weierstrass. Teorema del valor medio e applicazioni: monotonia e derivata. Teorema di
Cauchy. Formula di Taylor con il resto di Lagrange. Teorema di de l’Hopital. Derivate successive.
Funzioni convesse e concave.
7. Integrali:
Definizione di integrale di Riemann. Condizioni sufficienti per l’integrabilità. Proprietà
dell’integrale. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Funzioni
primitive, integrale indefinito. Calcolo degli integrali. Integrabilità in senso improprio. Criterio
del confronto.
8. Equazioni differenziali ordinarie:
Definizione di equazione differenziale. Equazioni del primo ordine a variabili separabili.
Funzioni
FUNZIONI, DOMINIO, IMMAGINE, GRAFICO:
DEFINIZIONE :
Siano Y è
Y
X funzione fda
Una Corrispondenza
X
.
insiemi in
vuoti
non una
, Y
Y
da XeX
X
univoca ovvero solo
ogni elemento
associa
in ye
a e
uno un .
. f(x)
è
Tale detto y
funzione
valore della in scrive
elememento e Si
X : .
X funzione
L'insieme Y dice
della
dice dominio codominio
si
mentre
si , .
[(x
Il l'insieme XeXYXXY
grafico è l'immagine di
f
di f(x)) e
graff
: := :
,
dei
è XeXY Y
<f(x)
f funzione imf f(x)
valori
l'insieme =
della : :
=
:
= f(x))
FxeX
/yeY
imf f
In tale S
parole Che
altre y
:
=
: = .
graf f( X
(X 31)
sottolineiamo che = f(x)
Y
y >
y1
. = =
IX graf f
Ya) e -
. X
DEFINIZIONE :
Si IR
dice funzione IN
da dice
successione successione
una si
in reale :
I F IN -- IR
:
f(n) an
= - ,
[an) è
dice
An termine
Si seguente della
notazione
la successione
si n
usa e
:
l'indice An
del termine
ESEMPIO : 1
n -
lan)
Sia An
la termini =
successione con 1
n +
: E-
an = ⑧
=-
/INXIR
[(n ⑧
Az =
1
n - ne
Il e
grafico :
suo ne
: , An 0 - >
⑧
=
. 2 3
Proprietà
Dal grafico Tale
Ane
An
che An
si evince >
1
+ .
,
Può dedotta osservando
essere analiticamente che :
n 1 (n 2
1)
- + 2
-
am = = 1
= -
1
n 1
n
+ + 1
n +
2
Infatti n
nz
an 1 1 -1 an
=
1 -
+ -
=
, =
-
(n 11
+ 1
+
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE:
peculiarità
La IR è il
funzioni da dominio sia
delle
essenziale il
IR sia
in che
Ciò
ordinari
codominio introdurre
di elementare
insiemi modo
in
. consente
sono .
proprietà quali periodicità
alcune qualitative simmetrie
Monotonia ,
,
DEFINIZIONE MONOTONE
FUNZIONI
DI :
Siano CIR F
AX La f
X-IR dice
e si
: :
.
A XzEA f(x1)
Crescente f(x2)
.
1 ogni
in na
tali che
per >
X1 X1 Si
se Xz
> .
. , f(xz)
f(x1)
A A tali
2 Strettamente X1X2
. ogni che
Xz na
X1
per
crescente >
=
se Si
in .
,
.
Decrescente A f(x1)
A
.
3 f(x2)
ogni che
tali na
per X1Xz
se
in X1 =
:
X Si .
. , f(x1)
Strettamente tali
XzEA
A
. decrescente ogni f(X2)
4 per si na
X1X2
X1
in che
se <
. , .
La f A
è
AXIR se ,
dice decrescente
crescente in
Si dice
Monotona o Si
in A è strettamente
se f strettamente
monotona in
Strettamente decre
crescente o
A
in
scente .
È proprietà
che
utile rispetto
di
osservare le alle
talvolta monotonia si conservano
operazioni elementari .
DEFINIZIONE PERIODICHE
DISPARI
PARI
FUNZIONE E
DI :
.
XIR IR
f
Siano X-
e : .
la f f(-x)
-XeX AxeX f(x) XXX
dice
.
1 pari se
si e =
: .
. ExeX
fax)
EXEX -f(x)
La f dispari -XX
dice
2 Se
si e =
: .
. .
la f [
X XXxe
dice periodica
si
.
3 X
che
T3 T
tale
in o
se esiste =
x +
: f(x f(x)fxzX
T) =
+
inf(T XXX) f.
f(x) dice
f(x T) periodo
tal il numero
caso Si di
t 0
in
e > =
: +
=
FUNZIONI ELEMENTARI :
FUNZIONI POTENZA : X
f(x) è
IR
Dato la funzione questa
Potenza
detta dominio
il di
funzione
a e = :
,
dipende di
valore a
dal
funzione . . Determiniamo
f(x) X" NE/N è
cui dominio
in IR l'imma
tutto
Nei suo
il
casi con
= , [0 .
Axe f
X"o
è
gine inf
pari Poiche dom ha
si
n2
se a)
+
= ,
,
,
per IR
inf
dispari ottiene
si
n = . è
se
in IR
è
Inoltre se è dispari mentre
f crescente
allora
n strettamente
, ,
0]
1-0
pari è
f
allora decrescente crescente
strettamente
strettamente e
in in
,
To !
IR
. è monotona in
non
8) -
+
. è
è
Osserviamo è
f , dispari Infatti
infine dispari
che .
pari
pari se n
se
e
n :
1)"
x) f(x)
f ( VXEIR
( (
x) =
=
- - . "Per
X" X-"
( lf(x)
↳ f(x) (f(x)
dispari
f(x) X"
Per X- dispari Per
pari per n n 2 pari
=
= =
=
X *
4 (f(x) *
* x
Pari ~Pern
f(x) per f(x)
dispari
2 Per
Per 30 40
f(x) X
n = X =
= = =
LOGARITMICHE
FUNZIONI ESPONENZIALI E :
Data a) funzione a
f XeIR
=10 funzione
dice
a esponenziale
la con si
X +
+ :
, , .
proprietà
Segue dalle delle che XXEIR
potenze f(x)c0
flol XXeR
: *
1
1 1
= = .
,
,
perciò 10 a)
im+ a 1
Se +
+
= , .
proprietà
Infine è IR
strettamente
dalle crescente
f
delle se
che
segue in
potenze
, IR
è 10 1)
in
a decrescente
strettamente
mentre ae
se
1
> .
,
, a) loga
Ancora f
definisce
a e lo
per funzione
a X
per si logaritmica
+ 1 X +
ma la
+ :
, , ,
XeIR". è
+
fi1) IR
Si ha imf
si
ragionando prima ottiene
e
con ed
o come che
= =
è
,
1 Mentre decrescente
A
Crescente Oca
Strettamente se 1
se
strettamente .
4 logaX
f(x) f(x)
ax 0
4 a
a
as0 1 a
+ 1
+
-
= = ,
,
, ,
TRIGONOMETRICHE
FUNZIONI :
Le principali funzioni trigonometriche la funzione
seno
funzione e
coseno
sono la
,
tangente :
f sen(x) XIR
X 1
: con XIR
f cos(x)
x Con
1 ~
: keX)
(
x1R1 kπ
↑: + +
g(x)
x con
<
1 , [-1 1)
Imf
Si ha funzione hanno
funzione coseno
che che e
sia la sono
la seno = .
Periodiche di periodo 21 . è FKEY
Inoltre è
dispari
la pari
funzione coseno
mentre
funzione e
seno la ,
,
,
na
Si : 2ki)
[-Mu ,
/Crescente (
in 2ki +
+
è
Xi strettamente
senix)
· 2km)
[M/2 35/2
decrescente in +
kit
C
+ .
(crescente In it)
1)
in 2k 21k +
+
è strettamente
cosixi
Xi i
· , ]
[2k
decrescente in 2k
n +
+
, è
La è è
f-IR
funzione dispari
, di periodo
periodica
ha
tangente im it ed stretta
,
(-M/2 Ke
Km)
K
mente crescente ,
in Ciascun intervallo + 2 + ,
FUNZIONE LIMITATA, ESTREMO SUPERIORE, ESTREMO INFERIORE, MASSIMO E
MINIMO:
DEFINIZIONE : f
Sia X--IR
F La (rispettivamente inferiormente)
dice X
limitata
si superiormente se
in
: . è
imf
MEIR M/
f(x) XXX f(x)
(rispettivamente
M
esiste Che ovvero
= se
tale =
-
: ,
IR
(inferiormente)
superiormente di
sottoinsieme limitato
un .
X-IR è
F
La dice inferiormente X
limitata X
si superiormente
limitata
in se e
: in .
/f(x) XXEX
M
è McIR
Quindi f X che
in
limitata tale
esiste
se
solo
e
se : ,
imf IR
è
f(x) di
ovvero sottoinsieme limitato
se un
= .
DEFINIZIONE : .
X-IR
X
Sia La f
F (negativa
positiva
dice pos
insieme non
, neg
si
un e : non
. ,
AX
in Se f(x) XXA
2)
: O (rispettivamente <*
> . . M]
To
è
funzione
Per esempio la non in
negativa
cosX)
X-
: , .
IR
f(A)
f Allora è
X--IR
Sia AX
limitata . insieme
superiormente in un'
: IR fla)
di
avindi per
superiormente
limitato completezza estremo
ammette
e la
, ,
IR f A
di
Tale in
superiore detto superiore
è anche estremo
numero
in .
.
DEFINIZIONE : A
AX
Sia F Si
X-IR definiscono
.
+ 0
e
: :
,
/Supfal in
superiormente
e limitata
f
se
Supf : = altrimenti
è
GinffAl A
limitata
f inferiormente
se in
infa = altrimenti
(in) A
inferiore)
/rispettivamente di f
superiore
Sup dice in
si estremo .
(7
S + =
x
+
M = f(x)m 2
-
(7
Sp + =
x
-
m = f(x)m 2
+
DEFINIZIONE :
(MEIR) F
MEIR (minimo) EX
Globale di X-IR A
dice o
Massimo assoluto in
si se
:
A (minimo) fin
detto di
di A
esiste globale che
Massimo
punto tale
Xo e :
, ,
I M(f(x)
f(x) m) XXA Max
= ma fx
f
M
scrive
si
e : = =
f(xo) ( m)
f(Xo)
M
= = f(x)
(m-minf = al
e
locali
proprietà
alle
Introduzione limite
di
concetto
DEFINIZIONE : IR*
.
ECIR
Sia Un E
di accumulazione intorno
dice
punto per
si ogni di
se X
Xe U di
E diverso
di
Contiene intorno
ovvero X
se ogni
punto da per
X
un :
,
U1xY1E 0
+ . E
è dice
Per
E
punto si
Un ovvero
di isolato
Xe accumulazione
che non , :
En EXo)
JU U
E è di
intorno che
isolato Xo tale
Xo e =
l .
Ogni E E
infiniti
accumulazione
di di di
intorno punti
punto per
un contiene .
BOLZANO-WEIERSTRASS
DI
TEOREMA :
IR IR
Allora
E infinito accumulazione
limitato di
Sia almeno punto
in
esiste un
.
e
E
per .
DIMOSTRAZIONE : E
Essendo è
E an
finito prendo anche
limitato
Ane lo
E
successione
una essendo
, ,
na sottosuccessione converge Xo
una a
=> .
Questa Ogni limitata
dal
dimostrazione teorema
deriva seguente ha
successione
: finito
ad limite
sottosuccessione convergente
almeno un
una . 1R
Non
che infiniti
tutti insiemi
gli hanno di accumulazione
punto in
Nota per
un
: .
IN Bolzano-Weierstrass
è ciò di
contraddice teorema
il
ma
privo
esempio ne non
,
e
IN limitato
non
in quanto .
INSIEMI APERTI E CHIUSI: base
di
Il di concetti
introdurre
ci di ulteriori
intorno alcuni
permette
concetto .
EIR
Dato introduciamo classificazione
la seguente degli
topologica
sottoinsieme
un , CIE)
E
IR Indicheremo E
di il
elementi di
all'insieme
rispetto complementare
con
.
ClE)
IR IR E
rispetto a -
=
: .
DEFINIZIONE :
EIR e
Un
Sia dice
elemento X si :
. Bc(X) E
Eco
E
Punto esiste suo intorno contenuto
a se
interno in
1 un .
, ,
è CIE)
E
. Punto punto
2 a a
se inter no
esterno .
ne
E ne E
è
per se
di
punto interno
frontiera
.
3 non esterno a .
Gli insiemi : El
4 XEIR è di
JE per
frontiera
X
=
· :
E EuGE
· =
& El
/XIR
E è a
interno
X punto
· :
= E E
ed di
di
chiusura
E
dicono frontiera
rispettivamente di interno
Si .
, E
ER IR cioè
E è
Un dice aperto di
in E
ogni
insieme si se punto
elemento
se
= ,
EIR è
CIE)
. è L'insieme
chiuso
interno Un
E dice aperto
o
aperto
se
si
insieme
a . .
LIMITE:
DEFINIZIONE : *
IR
e*
X--IR le
XIR Allora
Siano f X dice
di accumulazione per
punto si
e un
Xo
: .
, emf(x)
limite e
di fixi intorno
ogni
che per
tende si scrive se
per a e
Xo
X e
: =
f(x)eV
l
di Per
definitivamente X-Xo .
,
In parole
altre : I l
di che
di Xo
U tale
intorno
V esiste un
intorno
ogni
Per
lin l
f(x) ,
= xeUnX-(Xol
f(x)eV ogni
Xo per
X >
- .
OSSERVAZIONI : IR
Dalla l f(x)
di
è in
def limite accumulazione
punto per
Segue oppure
il
.
1 che un
.
1 FIX)
è di
punto
un isolato . XoeX
di ,
XoX anche
definizione domf
si si
limite
Nella richiede
2 non
. e se non
= ,
f(xo) f(x)
Parole di dipende
richiede che V limite
altre il in
per
in non
X-Xo
= :
, ne da
dalla funzione alcuna
alcun modo valore nel
dall'eventuale punto
assunto Xo ,
informazione valore
tale
su . (UnX1-xol +*
X
La di accumulazione
Punto
condizione che
garantisce
per
che
.
3 sia
Xo U di
qualsiasi
Per Xo
intorno .
leR
Se dice funzione finito Per
che ammette X-Xo
limite
4
. anche la
si .
,
Vediamo formulazioni
alcune equivalenti
ora :
leIR XoeR V l V
Se possono
gli scritti
di
di essere segue
intorni nel
Xo
e e
· ,
(1-5 1 810
S) Dunque
(Xo-S
5)
nte modo E
Xo .
e
+ con
+ :
: ,
,
. ,
IfXI-21E
OSX-Xola
So XEX =
Va : .
, .
leIR
Se l scrivere
V di U di
intorni possono
gli come
si
N e
Xo e
+
= a
+
· , a)
(m
l Es0 MelR
e)
12-2 Dunque
e
e con
+
+ :
, , .
, 21 c
230 JmeIR xeX (f(x)
↓ E
m
x > =
: -
. . [-N m)
U
Se di diXo
V
ER le-o intorni si scrivono e
e
-o
gli co
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