Teoremi d'esame Geometria ed algebra lineare - parte 2

In uno spazio vettoriale V su K finitamente generato ogni vettore V si esprime in modo unico come combinazione lineare di vettori di una base B

Sia V uno spazio vettoriale su K e B {v̅₁, v̅₂, ..., v̅_n} una base allora ogni vettore V̄ ∈ V si esprime in modo unico come combinazione lineare dei vettori della base.

Dimostrazione

Se:

V̄ = a₁v̅₁ + a₂v̅₂ + ... a_nv̅_n

Se:

V̄ = b₁v̅₁ + b₂v̅₂ + ... b_nv̅_n

Allora ho che:

a₁v̅₁ + a₂v̅₂ + ... a_nv̅_n = b₁v̅₁ + b₂v̅₂ + ... b_nv̅_n

Applicando gli assiomi su spazio vettoriale:

(a₁-b₁) v̅₁ + (a_n - b_n) v̅_n = 0̅

Poiché v̅₁, v̅₂, ... , v̅_n sono L.I.

a₁-b₁ = a₂-b₂ = ... = a_n = b_n = 0

Da cui

a_i = b_i

In uno spazio vettoriale V su K finitamente generato ogni vettore V si esprime in modo unico come combinazione lineare di vettori di una base B

Siano V uno spazio vettoriale su K e B {v₁, v₂,..., v_n} una base allora ogni vettore V ∈ V si esprime in modo unico come combinazione lineare dei vettori della base.

Dimostrazione

Se:

V̅ = a₁v̅₁ + a₂v̅₂ + ... + a_nv̅_n

Se:

V̅ = b₁v̅₁ + b₂v̅₂ + ... + b_nv̅_n

Allora vuol dire che:

a₁v̅₁ + a₂v̅₂ + ... + a_nv̅_n = b₁v̅₁ + b₂v̅₂ + ... + b_nv̅_n

Applicando gli assiomi su spazio vettoriale:

(a₁ - b₁) v̅₁ + (a_n - b_n) v̅_n = 0̅

Poiché v̅₁, v̅₂, ..., v̅_n sono L.I.

a₁ - b₁ = a₂ - b₂ = ... = a_n = b_n = 0

Da cui

a_i = b_i

Somma e intersezione di due sottospazi vettoriali U e W di uno spazio vettoriale V sono sottospazi vettoriali di V

• U ∩ W ≤ V
• U + W ≤ V

Dimostrazione

• 0̅ ∈ U poiché U ≤ V
• 0̅ ∈ W poiché W ≤ V
• 0̅ ∈ U ∩ W ⇒ U ∩ W ≠ ∅
• v̅ + v̅' ∈ U ∩ W ⇒ v̅ + v̅' ∈ U ∩ W
• v̅ ∈ U U ≤ V ⇒ v̅ + v̅' ∈ U
• v̅' ∈ W W ≤ V ⇒ v̅ + v̅' ∈ W
• Siano λ ∈ R, v̅ ∈ U ∩ W ⇒ λv̅ ∈ U ∩ W
• v̅ ∈ U ⇒ λv̅ ∈ U
• v̅ ∈ W ⇒ λv̅ ∈ W ⇒ λv̅ ∈ U ∩ W
• 0̅ ∈ 0̅ + 0̅ ∈ U + W ≠ ∅
• Siano v̅, v̅' ∈ U + W ⇒ v̅ + v̅' ∈ U + W
• v̅ ∈ V + W ⇒ ∃u̅ ∈ V, ∃w̅ ∈ W t.c. v̅ = u̅ + w̅
• v̅' ∈ V + W ⇒ ∃u̅' ∈ V, ∃w̅' ∈ W t.c. v̅' = u̅' + w̅'
• v̅ + v̅' = (u̅ + w̅) + (u̅' + w̅') = (u̅ + u̅') + (w̅ + w̅') ∈ U + W

Continua

CONTINUA → CONTINUA_̅

M_̅ ∈ U ⇑ _̅U + _̅U ∈ V

_̅W_̅ ∈ W ⇑ _̅W + _̅W ∈ W

∀ λ ∈ K, _̅V ∈ U + W ⇑ λ_̅V ∈ U + W

_̅V ∈ U + W ⇑ ∃ _̅M_̅ ∈ U, ∃ _̅W_̅ ∈ W t.c. _̅V = _̅M_̅ + _̅W_̅

λ_̅V = λ(_̅M_̅ + _̅W_̅) = λ_̅M_̅ + λ_̅W_̅

ε U ε W

_̅M_̅ ∈ U ⇑ λ_̅M_̅ ∈ U

_̅W_̅ ∈ W ⇑ λ_̅W_̅ ∈ W

W ⊂ V

Immagine e nucleo di un'applicazione lineare

Sono rispettivamente sottospazi vettoriali di U e V.

Siano V e M due S.V. nello stesso campo M e una f: V -> M un'applicazione lineare, allora:

• Kerf = {_v ∈ V | f(_v) = ₀ → Kerf ≤ V}
• Imf = {_n ∈ M | ∃ _v ∈ V : f(_v) = _n} → Imf ≤ M

Dimostrazione

f(₀) = ₀ → ₀ ∈ Kerf → ₀ ∈ Imf

• Se _v1, _v2 ∈ Kerf, allora

f(_v1 + _v2) = f(_v1) + f(_v2) = ₀ + ₀

Se λ ∈ K e _v ∈ Kerf

f(λ_v) = λf(_v) = λ₀ = ₀

Il nucleo di f è un sottospazio vettoriale di V

• Se _n1, _n2 ∈ Imf ∃ _v1, _v2 ∈ V t.c. _n1 = f(_v) e _n2 = f(_v1)

_n1 + _n2 = f(_v) + f(_v) = f(_v + _v1) ∈ Imf

Se λ ∈ K e _n ∈ Imf con _n = f(_v)

λ_n = λf(_v) = f(λ_v) ∈ Imf

Un'applicazione lineare f: V → U è iniettiva se e solo se Kerf = {₀^V}

f è iniettiva se e solo se Kerf = {₀^V}

Dimostrazione

Supponiamo che f sia iniettiva e che _v ∈ Kerf allora

f(_v) = ₀^V = f(₀^V)

Ne segue che Kerf = {₀^V}

Ora supponete che Kerf = {₀^V}, sono _v1, _v2 ∈ V t.c. f(_v1) = f(_v2)

Allora:

₀^V = f(_v1) - f(_v2) = f(_v1 - _v2)

V₁, V₂ ∈ Kerf = {₀^V} → _v1 - _v2 = 0 → _V1 = _V2

Relazione di similitudine è una relazione di equivalenza su ₙ()

• Per ogni A ∈ ₙ() risulta A ≃ A (Proprietà riflessiva)
• A,B ∈ ₙ(), se A ≃ B, allora B ≃ A (Proprietà simmetrica)
• A,B,C ∈ ₙ() se A ≃ B e B ≃ C allora A ≃ C (Pr. transitiva)

Dimostrazione

• A ≃ B

ul>

A = P⁻¹ A P

Se P₂ = Iₙ e A ≃ B allora B = P⁻¹ A P

Se Q = P⁻¹

B = P⁻¹ A P ⇒ PB = (P⁻¹ A P) = AP ⇒ PB P⁻¹ = (AP) P⁻¹ = A

A ≃ PB P⁻¹ = Q⁻¹ B Q

• B = P⁻¹ A P

e = Q⁻¹ B Q

Se S = P Q

e = Q⁻¹ (P⁻¹ A P) Q = (Q⁻¹ P⁻¹) A (P Q) = S⁻¹ A S

Se A, B ∈ M_m(ℝ) A ∼ B allora

• |A| = |B|
• p_a(n) = p_b(n)
• n(A) = n(B)     Punto 3 non richiesto nella dim.

Dimostrazione

• A ∼ B (⇒) ∃ P ∈ GL(m, ℓK?):  B = P^-1AP    per T. BINET   |B| = |P^-1AP| = |P^-1| |P||A|:  |P| = ^|P₀|/_|P0|  |A| = |A|
• p_a(n) = p_b(n)     per definizione di p. caratteristico    p_B(n) = |B - nI_m| = |P^-1AP - nI_m| = |P^-1AP - P^-1nI_mP|               = |P^-1(A - nI_m)P|

    per T. BINET     p_B(n) = |P^-1(A-nI_m)P| = |P^-1| |A-nI_m| |P|                  = |A-nI_m| = p_a(n)

Teorema L.I. di due autovettori relativi a distinti autovalori

Se A è una matrice di ordine n e valgono le n due autovczo ad distavano due autov I can X y ancosti rispettivamente a eᵐ, le.

Allora X e Y sono L.I.

Dimostrazione

AX = λX

AY = μY

• pAX + bY = Oₙ₁
• pA(aX +bY) = A ⋅ Oₙ₁ = Oₙ₁
• aλX - bμY
• cX + bY = Oₙ₁
• pM(aX + bY) = μ ⋅ Oₙ₁₁ = Oₙ₁
• aμX + bμY = Oₙ₁→ amX = - bμY
• aμX = aλX = - bμY → amX - aλX = Oₙ₁ → a(μ-1)X = Oₙ₁
• X ≠ Oₙ₁
• a(μ-λ) = 0
• poiché μ ≠ λ → a = 0
• Se a = 0, Y ≠ Oₙ₁

b = 0

Un sistema di n incognite è un sottospazio vettoriale di R^m

Se S mu spazio aereno esogenso da un equasione. Se L' incognite sono S⊆R^m

Dimostrazione

Sono [img] y[img]

S A[img]=O_m,1 A y = O_m,1

per el T.H. di concepto return di vetorespon vettore hanno:

• [img]yS: [img]y
• [img]yS:[img]yS

• [img]yS A([img]+y)є O_m,1
• A([img]+y)=A[img] + Ay є O_m,1+O_m,1 є O_m,1
• A [img] є O_m,1
• A[img]= [lambda]A[img] є O_m,1

H⊆R^m [exist] sigma un equazione N R N Incognite H⊆S

Formula distanza punto-piano

Fissato nello spazio un riferimento metrico R(_O,_x,_y,_z) e analoghi P_o(x_o,y_o,z_o) e un piano π: ax + by + cz + d = 0

Allora la distanza di P_o da π è data da:

d(P_o, π) = |ax_o + by_o + cz_o + d| / √a² + b² + c²

Dimostrazione

La retta perpendicolare a π che passante attraverso (a, b, c) e passa per P_o, il punto H appartiene a π, dunque le coordinate di H sono: (x_o + ah, y_o + bh, z_o + ch)

H ∈ π (π) = a(x_o + ah) + b(y_o + bh) + c(z_o + ch) + d = 0

h = - ax_o + by_o + cz_o + d / a² + b² + c²

d(P_o,π) = d(P_o, H) = √(a²h² + b²h² + c²h²) = |h| √a² + b² + c² = |ax_o + by_o + cz_o + d| / √a² + b² + c²