Teoremi d'esame Geometria ed algebra lineare - parte 1

POSIZIONE DI DUE PIANI

• PARALLELI
  • COINCIDENTI ∞ PUNTI IN COMUNE
  • DISTINTI ➔ NO PUNTI IN COMUNE
• INCIDENTI
  • SE SI INTERSECANO LUNGO UNA RETTA

POSIZIONE DI DUE RETTE

• COMPLANARI
  • INCIDENTI
  • PARALLELE DISTINTE
  • PARALLELE COINCIDENTI
• SCHEIMBE ➔ NON ESISTE UN PIANO CHE CONTENGA LE DUE RETTE

POSIZIONE RETTA-PIANO NELLO SPAZIO

• INCIDENTI ➔ UN SOLO PUNTO IN COMUNE
• PARALLELI ESTERNI ➔ NESSUN PUNTO IN COMUNE
• PARALLELI CONTENUTA ➔ INFINITI PUNTI IN COMUNE

MATRICE SIMILE

Siano (A,B)ℓmℓ(K) n due che è nulla e B. A ∼ BSe esiste ma matrice P∈ℓnℓ(K) invertibile T.C.B = P^-1AP

Posizione di due piani

• Paralleli
  • Coincidenti → ∞ punti in comune
  • Distinti → no punti in comune
• Incidenti → se si intersecano lungo una retta

Posizione di due rette

• Complanares
  • Incidenti
  • Parallele distinte
  • Parallele coincidenti
• Schebe → non esiste un piano che contenga le due rette

Posizione retta-piano nello spazio

• Incidenti → un solo punto in comune
• Paralleli esterni → nessun punto in comune
• Parallela contenuta → infiniti punti in comune

Matrice simile

Siano (A,B)il(MK) n due che A è simile a B se essete una matrice P (MK) inwertwnle T.C.

B= P^-1 A P

TEOREMA UNICITÀ DELL'INVERSA

DI UNA MATRICE INVERTIBILE

Sia A ∈ Mn(ℝ) una matrice invertibile,

se ∃ B ∈ Mn(ℝ) : A·B = B·A = In allora ∃!B ∈ Mn(ℝ)

DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO:

∃ B ∈ Mn(ℝ) : AB = BA = In

∃ C ∈ Mn(ℝ) : AC = CA = In e C ≠ B

In = BA   C = In C

EGUALGLIO

C = InC = (BA)C = B(AC) = BIn → C = BIn

↳ C è un uguale a In C e a In B vorrà dire che:C = B

Teorema Caratterizzazione Matrici Invertibili

Sia \( A \in \mathcal{M}_n (\mathbb{R}) \) una matrice quadrata di ordine n:

1. \( AA^{-1} = I_n \)
2. \(|A| \neq 0\)

Allora:

\( A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{.agg.}(A) \)

Dimostrazione:

Occorre dimostrare che 1) \(\rightarrow\) 2)

\( \exists A^{-1} \in \mathcal{M}_n (\mathbb{R}): AA^{-1} = I_n \rightarrow |A| \neq 0\)

\(|AA^{-1}| = |I_n| = 1\)

Per Binet:

\(|AA^{-1}| = |A| |A^{-1}| = 1\)

Se \(a \cdot b \neq 0\), allora \(a \neq 0\) e \(b \neq 0\)

\(|A| |A^{-1}| = 1 \neq 0 \rightarrow |A| \neq 0\)

Occorre dimostrare che 2) \(\rightarrow\) 1)

\(|A| \neq 0 \rightarrow \exists A^{-1} \in \mathcal{M}_n (\mathbb{R}): AA^{-1} = I_n\)

\(\exists B \in \mathcal{M}_n (\mathbb{R}): B = \frac{1}{|A|} \text{agg.}(A)\)

\(C = AB = \omega h\)

\(B = A^{-1} \Leftrightarrow AB = C = I_n \Rightarrow C = I_n \Leftrightarrow (\omega h) = (\delta \omega h)\)

C = (δ_ik) = {1 se i=k, 0 se i≠k}

B = ¹⁄_|A| ogg(A) = ¹⁄_|A| (A₁₁A₂₁A₃₁A₁₂A₂₂A₃₂A₁₃A₂₃A₃₃)

B = ( ¹⁄_|A| A_k1¹⁄_|A| A_k2¹⁄_|A| A_k3 )

(c_ik) = ai₁¹⁄_|A|A_k1 + ai₂¹⁄_|A|A_k2 + ai₃¹⁄_|A|A_k3 = ¹⁄_|A|(am₁a_k1 + am₂a_k2 + am₃a_k3)

se i=k

(c_ik) = ¹⁄_|A|(ai₁A_k1 + ai₂A_k2 + ai₃A_k3) = ¹⁄_|A||A|=1

se i≠k

(c_ik) = ¹⁄_|A|(am₁A_k1 + am₂A_k2 + am₃A_k3) = ¹⁄_|A| 0=0

se i=k → c_ii = 1 e i ≠ k → c_ik = 0

(c_ik) = (δ_ik) → C = I_m → BA = I_m → B = A^-1

Teorema classificazione coniche e isometria di riduzione a forma canonica di una conica

Abbiamo 7 famiglie fondamentali di coniche:

1. Se I₃=0 e I₂<0 la conica è degenere ed di tipo iperbolico
2. Se I₃=0 e I₂>0 la conica è degenere ed di tipo ellittico
3. Se I₃=0 e I₂=0 la conica è degenere ed di tipo parabolico
4. Se I₃≠0 e I₂<0 la conica è non degenere (immancabile) di tipo iperbolico
5. Se I₃≠0 e I₂>0 la conica è non degenere (...) di tipo ellittico reale M I≠I₃<0
6. Se I₃≠0 e I₂≥0 la conica è non degenere (...) di tipo ellittico immaginario se I₃>0
7. Se I₃≠0 e I₂=0 la conica è non degenere (...) di tipo parabolico

...

ove f(t)=ƒ(x|y|z)=0 ma conica nel caso ...

allora esiste un sistema di riferimento cartesiano R(0,1|1|0) rispetto al quale l'equazione della conica diventa del tipo:

αX² + βY² + γ = 0

oppure:

βY² + 2γX + δ = 0

Teorema di Cramer

Un sistema di Cramer di n equazioni in n incognite ammette unica soluzione _V(v₁,v₂,...,v_n) ∈ ℝⁿ

v_i = |A|^-1 |A_i(b)|

sostituendo la n-esima colonna con la colonna dei termini noti otteniamo:

v_i = ^|A_i(b)|/_|A| ......... ecc....

Dimostrazione:

Per R.C. il sistema è determinato.

A_-V = _-b

A^-1(A_-V) = A^-1_-b → (AA^-1)_V=A^-1_-b

_V = A^-1_-b

dove possiamo vedere A^-1 = |A|^-1ogg(A)

v_i = (|A|^-1A_i1 |A|^-1A_i2...|A|^-1A_in) ( ^b₁/_b2 ... ^b_n ) = |A|^-1(b₁A_i1+b₂A_i2...+b_nA_in)

Sostituendo il termine noto nella n-esima colonna e sviluppando il determinante lungo quella colonna otteniamo

|A_i(b)| = (b₁A_i1 ... + ... b_nA_in) uguale all’espressione ricavata precedentemente

Relazione di congruenza modulo n è una relazione di equivalenza su ℤ

Su ℤ consideriamo le relazioni R così definite:

• aRb (≡) n∣(a-b)

1. Per ogni a ∈ ℤ a-a = 0n aRa

   Proprietà riflessiva provata

2. aRb segue che ∃k ∈ ℤ tale che: a-b = kn → b-a = (-k)n

   Proprietà simmetrica provata

3. Siano a,b,c ∈ ℤ tali che: aRb ∧ bRc

   Per aRc ∃h,k ∈ ℤ tali che: a-b = hn ∧ b-c = kn

   Ne segue che: a-c = (a-b) + (b-c) = hn + kn = (h+k)n aRc → a ≡ b (mod m)

   Proprietà transitiva provata

Allora si può dire

a ≡ n (mod m) da cui [a_i]ₘ = [b_i]ₘ

IN UN GRUPPO L'UNICO ELEMENTO IDEMPOTENTE È L'ELEMENTO NEUTRO

Sia (G, w) un gruppo, allora:

1. L'elemento neutro è unico
2. Ogni elemento del gruppo ammette un unico simmetrico
3. Se a ∈ G è un elemento del gruppo tale che awa = a, a = e

DIMOSTRAZIONE:

Siano e, e' ∈ G tali che

awe = ewa = a ∧ awe' = ewa' = a

prendendo "e" come elemento neutro,

e'we = e → e' = e ∧ e'we = e

UNICITÀ ELEMENTO NEUTRO

Siano a^i, a^n elementi di G tali che:

a^wa = a^iwa = e awa^n = a^nwa = e

allora:

a^n = a^iwe = a^iwa (awa^n) = (a^nwa) w a^i = ewa^i = a^i

UNICO SIMMETRICO

Sia a ∈ G tale che:

awa = a

Dato a' il simmetrico di a ∈ N tale che:

a' w (awa) = a'iwa → (a'iwa)wa^2 = e → ewa = a = e

TERZO PUNTO DIMOSTRATO

IN UN CAMPO VALE LA LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO

Sia K un campo, vi sono le seguenti proprietà:

1. ∀a∈K: a·0 = 0
2. ∀a,b∈K: a·b=0 → a=0 ∨ b=0

DIMOSTRAZIONE:

a∈K

1. a·0 = a(0+0) = a·0 + a·0a·0 è un elemento assorbente del gruppo (ℍ,+)
2. a,b∈Ka·b = 0

Se b≠0 non dobbiamo dimostrare niente, se b≠0 allora esiste il reciproco b^-1 di b

(a·b)b^-1 = 0·b^-1 → a(b·b^-1) = a·1 = a = 0·b^-1 = 0

IN UNO SPAZIO VETTORIALE V SU UN CAMPO K SI HA CHE λv = 0 SE E SOLO SE λ = 0 OPPURE v = 0

Sia V uno s.v. sul campo K, allora per ogni v ∈ V e per ogni λ ∈ K, vi è che:

1. λv = o ⇔ λ = 0 ∨ v = o
2. (-1) λ v = - (λ v) = λ (- v)

Dimostrazione:

Sia λ ∈ K, allora:

1. λo = λ (o + o) = λo + λo
2. Da cui λo = o

In maniera analoga se v ∈ V, vi è che:

o v = (o + o) v = o v + o vo v = o

Se λ ≠ 0 non dobbiamo dimostrare nulla, se λ ≠ 0 ∃ λ^-1 tale che:

λ^-1 (λ v) = λ^-1 o(λ^-1 λ) v = v = o