Teorema di Huygens-Steiner, teoremi di Koenig

Teorema di Huygens-Steiner

Il momento d'inerzia di un corpo rigido rispetto ad un asse, equivale alla somma tra il momento d'inerzia rispetto ad un asse parallelo a quello dato passante per il centro di massa e il prodotto della massa totale per il quadrato della distanza.

I_a = I_c + Md²

Insieme discreto di punti

Consideriamo il piano passante per Pi ortogonale agli assi c ed a.

Siano Ci e Ai le intersezioni del piano con gli assi. Chiameremo:

d = Ai Ci

h_i = Ci Pi

h_i' = Ai Pi

Ottengo che: h_i' = h_i + d

I_a = sum mi h_i'² = sum mi h_i' . h_i' = sum mi (d + h_i)(d + h_i) == (sum mi d² + sum mi Ri² + 2d sum mi h_i)

I_a = I_c + Md²

sum mi h_i = M h_c o perché il c.m. è posto sull'asse c

Teorema di Huygens-Steiner

Il momento d'inerzia di un corpo rigido rispetto ad un asse, equivale alla somma tra il momento d'inerzia rispetto ad un asse parallelo a quello dato passante per il centro di massa e il prodotto della massa totale per il quadrato della distanza.

I_a = I_c + Md²

Insieme discreto di punti

Consideriamo il piano passante per Pi ortogonale agli assi c ed a.

Siano Ci e Ai le intersezioni del piano con gli assi. Chiameremo:

d = Ai Ci

h_i = Ci Pi

h'_i = Ai Pi

Otterrò che: h'_i = h_i + d

I_a = sum mi h'_i² = sum mi h_i' . h'_i = sum mi (d + h_i)(d + h_i) == (sum mi d² + sum mi Ri² + 2d sum mi h_i)

I_a = I_c + Md²

1' teorema di Koenig

In un sistema di riferimento inerziale, il momento angolare complessivo è dato dalla somma del momento angolare del centro di massa e di quello relativo al moto del sistema rispetto al centro di massa.

r_i = r_CM + r_i'

Derivando rispetto al tempo:

V_i = V_CM + v_i'

L = sum r_i x m_i v_i = sum (r_CM + r_i') x m_i(V_CM + v_i')

Momento angolare complessivo = sum r_CM x m_iV_CM + sum r_CM x v_i' m_i ++ sum r_i' x m_iV_CM + sum r_i' x m_iv_i' == r_CM x sum m_iV_CM + r_CM x sum v_i' m_i ++ sum r_i' x m_iv_i + sum r_i' x m_iV_CM =

L = L'_CM + r_CM x M_TOT . V_CM

II teorema di Koenig

In un sistema di riferimento inerziale, l'energia cinetica totale di un sistema materiale è data dalla somma dell'energia cinetica rispetto di massa e di quella rispetto ad un riferimento con origine nel centro di massa.

R è un sistema di riferimento inerziale R (Oxyz)

R' è un sistema di riferimento ideale con origine nel centro di massa orientato rispetto a R

r_CM il vettore posizione di CM rispetto a R

r_i il vettore posizione del punto Pi rispetto a R

r_i' il vettore posizione di Pi rispetto a R'

r_i = r_CM + r_i'

Derivando rispetto al tempo:

v_i = v_CM + v_i'

Velocità di Pi rispetto ad R

Velocità del C.M rispetto ad R

Velocità di Pi rispetto a R'

Sfruttando la relazione ottenuta e la formula dell'energia cinetica, avremo:

K_i = 1/2 m_i v_i² = 1/2 m_i v_i · v_i = 1/2 m_i (v_CM + v_i') (v_CM + v_i') == 1/2 m_i v_CM² + 1/2 m_i v_i'² + m_i v_i' · v_CM

Per ricavare l'energia cinetica totale:

K = sum K_i = sum 1/2 m_i V_CM² + sum 1/2 m_i v'_i² + sum m_i v'_i · V_CM == 1/2 V_CM² sum m_i + sum 1/2 m_i v'_i² + V_CM sum m_i v'_i

K = 1/2 M V_CM² + K'

Teorema del momento angolare di un corpo rigido con asse fisso

Consideriamo l'asse z come asse di rotazione, supponiamo che w è parallelo ad esso.

Il raggio vettore r_i del punto P_i forma un angolo θ_i con l'asse z e un angolo di pi/2 con la velocità v_i del punto P_i.

R_i è il raggio della traiettoria di P_i

R_i = r_i sin θ_i

L_i è il momento angolare del punto P_i rispetto al polo O, è ortogonale al piano individuato dai vettori r_i e v_i.

Sappiamo per definizione: L_i = r_i x m_i v_i

Il modulo di L_i è: L_i = m_i r_i v_i = m_i r_i (R_i w)

v_i = R_i w

Relazione che lega la velocità tangenziale a quella angolare