Teorema di Huygens-Steiner, teoremi di Koenig

Teorema di Huygens-Steiner

Il momento d'inerzia di un corpo rigido rispetto ad un asse, è uguale alla somma tra il momento d'inerzia rispetto ad un asse parallelo a quello dato passante per il centro di massa e il prodotto della massa totale per il quadrato della distanza

I_a = I_c + Md²

Insieme discreto di punti

Consideriamo il piano passante per P_i ortogonale agli assi ζ e ȃ

Siano C_i e A_i le intersezioni del piano con gli assi. Chiamiamoli:

• ȃ = A_iC_i
• h_i = C_iP_i
• h_i' = A_iP_i

Ottengo che: h_i' = h_i + ȃ

I_a = Σm_ih_i^'² = Σm_i(ȃ + h_i)^² = Σm_iȃ² + Σm_iR_i² + 2Σȃ Σm_ih_i

I_a = I_c + Md²

Teorema di Huygens-Steiner

Il momento d'inerzia di un corpo rigido rispetto ad un asse, equivale alla somma tra il momento d'inerzia rispetto ad un asse parallelo a quello dato passante per il centro di massa e il prodotto della massa totale per il quadrato della distanza

I_a = I_C + M d²

Insieme discreto di punti

Consideriamo il piano passante per P_i ortogonale agli assi ç ed â

Siano C_i e A_i le intersezioni del piano con gli assi.Chiameremo:

d = A_i C_i

h_i = C_i P_i

h_i' = A_i P_i

Ottengo che: h_i = h_i' + d

I_a = Σm_ih_i'² = Σm_ih_i'·h_i' = Σm_i(d + h_i')(d + h_i')

= (Σm_id² + Σm_iR_i² + 2dΣm_ih_i = 0

I_C)

I_a = I_C + M d²

Σm_ih_i = Mh_C0 perché h_C è posto sull'asse ç

1° TEOREMA DI KOENIG

In un sistema di riferimento inerziale, il momento angolare complessivo è dato dalla somma del momento angolare del centro di massa e di quello relativo al moto del sistema rispetto al centro di massa

→   ^N∑_i=1 r_i × m_iv_i = ^N∑_i=1 (r_CM + r_ci^') × m_i(v_CM + v_i^')

→   ^N∑_i=1 r_CM × m_i v_CM + ^N∑_i=1 r_CM × v_i^' m_i +

    + ^h∑_i=1 r_ci^' × m_i v_CM + ^h∑_i=1 r_ci^' × m_i v_i^' =

→   r_CM × ( ^N∑_i=1 m_i ) v_CM + r_CM × ^N∑_i=1 v_i^' m_i +

    + ^h∑_i=1 r_ci^' × m_iv_i^' + ^← ⊃ ∑ L_CM × m_i v_CM =

→   L = L_CM + r_CM × M_TOT × V_CM

Il Teorema di Koenig

In un sistema di riferimento inerziale l'energia cinetica totale di un sistema materiale è data dalla somma dell'energia cinetica nel centro di massa e di quella rispetto a un riferimento con origine nel centro di massa.

R è un sistema di riferimento inerziale R (Oxyz)

R' è un sistema di riferimento ideale con origine nel centro di massa e orientato rispetto a R

_rci il vettore posizione del c.i. rispetto a R

_ri il vettore posizione del punto P_i rispetto a R

_ri' il vettore posizione di P_i rispetto a R'

Derivando rispetto al tempo:

_vi = _vci + _vi

velocità di P_i rispetto a R

velocità del C.M. rispetto a R

velocità di P_i rispetto a R'

Sfruttando l'equazione ottenuta e la formula dell'energia cinetica, avremo:

K_t = ¹/₂ m_ivi² = ¹/₂ m_ivi · _vi = ¹/₂ m_i (_vci + _vi') (_vci + _vi') =

= ¹/₂ m_{i vci}² + ¹/₂ m_{i vi}'² + m_{i vi}' · _vci

Per ricavare l'energia cinetica totale

K = ∑ Ki = ∑ ₁/₂ mi v_CM² + ∑ ₁/₂ mi v_i^'2 + ∑ m_i v_i · V_CM =

= ₁/₂ V_CM² ∑ mi + ∑ ₁/₂ m_i v_i^'2 + V_CM ∑ m_i v_i

M_Tot

K = ₁/₂ M V_CM² + K^'

Teorema del momento angolare di un corpo rigido con asse fisso

Consideriamo l'asse z come asse di rotazione sappiamo che ℓ è parallelo ad esso.

Il raggio vettore r_i del punto P_i forma un angolo θ_i con l'asse z e un angolo β_i con la velocità v_i del punto P_i.

R_i è il raggio della traiettoria di P_i

R_i = &overline;r_i sin θ_i

L_i è il momento angolare del punto P_i rispetto al polo O, è ortogonale al piano individuato dai vettori r_i e vi.

Sappiamo per definizione

L_i = r_i x m_i v_i

Il modulo di L_i è:

L_i = m_i r_i (v_i) = m_i r_i (R_iw)

v_i = R_iw